递推数列求通项公式

1、递推数列求通项公式的常用类型递推数列求通项公式是高考的常见题型，现将递推数列通项公式的一些常用类型进行归类并给出解题的根本思路,以供参考。类型1 形如an 1 an f n的递推式根本思路：利用迭代累加法，将an an 1 f n 1 ，a n 1 an 2 f n 2，n 1a2印 f 1，逐次迭代累加，得：an a1f k n 2 。k 1例1、数列an满足a1 1, nan 1n 1 an1 nN*，求数列an的通项公式。解：把 nan 1 (n1)an1两边同除以an 1得ana令 bn°，那么 bn 1nbn1.从而bnbi2n 1.类型2 形如an 1 f n a n的递

2、推式根本思路：利用迭代累加法，将 an f n 1an1，an 1 f n 2 an 2，例2、数列an前n项和为分析:利用公式an解：因为nan 12Sn从而an 1a2 f 1 a1，逐次迭代累加,Sn,且C1,nan1 2Sn n2 a1a2n 1an .故 an qn得:an a1 f 1 f 2 f 3，求数列an的通项公式。2,把条件中的5消去.a3an 2 3a2a3an 1 2ann 1 an 2an n 1 an.舟兮童汁务6 n,所以an n.类型3形如 an 1 pan q p 1, p 0,q0的递推式根本思路:可用待定系数法，设an1p an，与式子相比拟得,从而数列

3、anJ成等比1 p数列易得ann 1-gp p例3、数列an满足a11,an 12an 1 nN ，求数列an的通项公式。解:因为a11,an 12an1，得 an 112 an 1所以an 11ga112n 从而得an21.例4、数列an中，设an0,a11,anga2126 nN ，求数列an的通项公式。分析:看见anga；2'n126这种等式，一般采用把等式两边同时取对数的方法进行转化解:因为 an Oanga：62 ,所以2log2 an 1log 2 an6,令 bn lOg 2 an，有 2bn 1bn6，那么 bn 1，所以bn从而 bnlog2l 2 g2 n2故 an

4、2222 n类型4 形如an 1pan0的递推式根本思路：将an 1 pann 1f n两边同除以p ，得an 1n 1pannp,令bn?nnp,那么 bn 1bnnnr，由此仿照p类型1可求出bn ,从而求出an .例5、数列an前n项和为2Sn,且 a11,an 1 2S1 n，求数列an的通项公式。解:求 n 2时，由 an 1 2Sn2n n 1,有 an 2Sn 11,.，得an 1an2 an2n 2，即 an 1 3an 2n两边同除以3n 1得斗3n 1On3n2n 23n 1，令bn黑,那么bn1bn2n 2飞Lb1从而bn2 1 131 11321"2 n 11

5、13n 1 131 2n 12n 13n故an1也适合.类型5 形如an 1 f n a n g n的递推式根本思路：设辅助数列将1,那么 an1an g n ,即 h n 1 an 1 h n an令bnn an，那么 bnbnn 1 g n转化为类型1的递推式，可求出bn,从而求出an.n 2 an解:由nan 1n2 ann得ann 21ann人h nn2n令,那么有h n 1h nh n1nn 2取h 1丄,得hn 112n 2g n 1由式有h n 1an 1h n anh n 1 ，即例6、数列an满足a1 1, nan 11，.n n 13 2 1,2gl亠.g g1gh 1n

6、2 n 15 4 3n 2 n 1an 1an1n 2 n 1n 1 n n2 n 1 .n n N* ，求数列 an的通项公式。令bnan，那么bnn 1 nbn从而bnbl3 2n 皿故anbn6 n 1类型6形如an 1pan qan 1 n 2的递推式根本思路:(1)当 p q1时，那么an11q anqan 1，即 an 1 anq an an1，那么an 1an成等比数列，从而an 1ana2ain 1q，仿照类型1可求出an当pq 1时，存在实数x1, X2满足an1X1 anX2 an X£n 1，与等式比拟，得 X1X2P 必 X2q ,把 x1, x22看作一元二

7、次方程x pxq 0的两根,容易求出X1,X2 .故那么an 1X1an成等比数列，可得an 1X1an0称为递推式an 1pa n qan 1的特征方n 12a2 x1a1 x2 ，仿照类型4可求出a*.把方程x px q程，其中x1,x2是特征方程 x2 px q0的两个根，那么有以下结论：当人X2 时,annnX1X2 ;当 X1x时，ann £当 x r cosi sin , x2r cos i sinn时,an r cos nsinn ,其中是由初始值确定的常数例7、(2021广东咼考理科)设p, q为实数，是方程X2px q0的两个实根，数列Xn满足 X1 p ,X22p

8、 q,Xn PX. 1 qXn 2 5 3,4,).(1)证明：p，q ; (2)求数列Xn的通项公式；(3 )假设P 1 , q1，求Xn的前n项和Sn .4解：(1)略.解法1：因为p，q 故 xnpXn 1 qXn 2Xn 1Xn 2 n 3从而xnX 1Xn 1Xn2 n 3令ynXnxn 1n 2，那么y2X2X12pq p22于是，yn 1yn 2n 2y2nn 3故当n3 时,XnXn 1y nXn 1nXnn 122Xn 2n 1nn 2X2n33n44n 1nnn 1n 22n 1n又因为:X1,X222故当n1 时，Xnnn 1n 22n 1nn 1n 1故当时，Xn;当时

9、，Xnnn 1.，其特征方程为x2 px q 0.,2是方程x px q 0的两个实根那么x1p2，X2 p q22 2当时那么XnA n 1B n 1.2A 由ABBX1J2X2A -2解得：B -2 ，所以 XnA n 1 B n 1n 1n 1解法2:由可知，该数列是二阶齐次线性递归数列n时那么xnA nBA nB为 2 ,A 12解得：，所以Xnx23. B 1解法3:设xnsXn 1 t(Xn1 sXn 2)，那么 Xn(st)Xn 1stXn 2，由 XnpXn 1 qXnst消去t,得s2ps q 0,2s是方程x px0的根，由题意可知,S2当时,此时方程组stP的解记为q(X

10、n 1XnXn t2Xn 1分别是公比为由等比数列性质可得Xn即XnXn 1t1 Xn 1xn2), XnXn 1t1(Xn 1xn 1两式相减，得(2p q, X1n 2)Xn1 (X2Q X2(X2Xi)X2n 2(X2X1)n! 2X1)I 2s1、n 2,xn(X2(X2nX1)nX1nS2或s2t22),的等比数列,XnXi)xnn1 (X22Xi)xn 1n，即Xn当时,即(st)24stXnXn i(X2即方程x2 px0,得(s t)2X1) n2，Qq0,0有重根，t，不妨设sXnXn 1即XnXn 1n，等式两边同时除以数列 是以1为公差的等差数列,XnnX1(n综上所述，

11、Xnn 1 n 1,(3)把 p 1 ,Xn12(1)nnq 1代入41(2)n(丄)32n,(PX(丄)n23弓3类型7形如aaancan根本思路:般的，设(1)当时，可令bnanan24丄)22/、n.n g-)(2)O,ad be 0是递推关系an 1can4qt(X2Xn 1n 11)0，由可知 n 2X1)解得Xn1 , Xn3专)3的递推式，那么bn为等比数列；1、n.n 巧)2申2K-的特征方程Xd时，可令bn,那么bn为等比数列.1 咱3 (n3 c 0,ad cx d3)(i)nbe 0例8、在数列an 中，B 4, an 13an 2 ,求数列an的通项公式。an 4解:由

12、于an 13a 2的特征方程an 42, X21,所以an 112an 25a nan 410，两式相除得an 1an 12an1，那么数列2旦为等比数列.an 2因为ai4,所以a11a12丄，所以an 12an2，所以an5n 12n 15n 12n 2 '例9、在数列an 中,a2a, an 12a求数列an的通项公式。解:由于an 12a2的特征方程an显然an，得 an 1所以数列是首项为类型8根本思路:an2ax 2a的两根为x1xanan 1 aX2anaanaa1 a a1 1-，公差为1的等差数列a形女口 an 1 aan b 、，can d c0的递推式,所以，所以anan