14-15第一学期微积分I高等数学期末试卷及答案(A卷)

1、1 一、计算下列各题：（每小题 4 分，共 36 分）1求极限)0(21lim1pnnppppn。2求2cos( )xtxf xedt的导数。3求由曲线3yx，1x，2x，0y所围成的图形面积。4计算广义积分20 xx e dx。厦门大学微积分i课程期末试卷试卷类型：（理工类 a卷）考试日期 2015.1.212 5计算定积分123021sin21xxdxx。6求方程2xydydx的通解。7求不定积分2(1)(1)xdxxx。3 8求方程1yyxx的通解。9已知11y，21yx，231yx都是微分方程2222x yxyy的解，求此方程的通解。二、计算下列各题：（每小题 5 分，共 30 分）1

2、 求极限20)(02sinlimxdtexxtxx。4 2. 计算322sincoscos2cosxxxxdxx。3设函数)(xyy由方程1cos020322dttdtexyt决定，求dxdy。4. 求微分方程32yy满足初始条件00|1,|1xxyy的特解。5 5求曲线xttxf0dsin)(相应于x0的一段弧的长度。6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2( )(/)v tt米秒，其受到与运动方向相反的阻力( )5 ( )f tv t（牛顿），求物体在时间间隔0,1 （单位秒）内克服阻力所作的功。三、计算下列各题：（每小题 6 分，共 24 分）1求微分方程32()()1dyx xyxxy

3、dx的通解。6 2设0a，求直线231aaxy与x轴，y轴所围三角形绕直线ax旋转一周所得旋转体的体积。3. 设 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程sinyyyx的 一 个 特 解 为2312cossin,55xxyeexx 试确定,，并求出该方程的通解。7 4. 设)(xf为),(上的连续函数，且当0 x时满足函数方程：1000)(1()()()(2dxxfxdtttfdtxtfxfxx， 求)(xf。四、证明题：（每小题 5 分，共 10 分；其中第 2 题和第 3 题任选一题）1设( )f x可导，120(1)2( )ff x dx，证明：(0,1)，使得( )0f。8 2. 证

4、明：22002ln(sin )ln(sin 2 )ln2x dxxdx，并利用此等式计算20ln(sin)x dx。3设)(xf和)(xg均在,ba上单调不减的连续函数（ba） ，证明：bababadxxgxfabdxxgdxxf)()()()()(。9 参考答案一、计算下列各题：（每小题 4 分，共 36 分）1求极限)0(21lim1pnnppppn。解：原式111010111lim11pnppniix dxxnnpp。2求2cos( )xtxf xedt的导数。解：2cos( )2sinxxfxxeex。3求由曲线3yx，1x，2x，0y所围成的图形面积。解：图形面积2423111544

5、xax dx。4计算广义积分20 xx e dx。解：原式2002xxx exedx200002222xxxxx exee dxe。5计算定积分123021sin21xxdxx。解：原式11230021sin21xxdxdxx2400112sincos2uduudu。6求方程2xydydx的通解。解一：2xydydx，22yxdydx，22yxdydx，得原方程的通解：122ln 2ln 2yxc， 即220yxc，其中1,c c为任意常数。解二：令 uxy，则1yu，从而原方程化为21uu，分离变量积分：121ududx，1ln 2ln(21)ln 2uuxc，把 uxy代入得原方程的通解：

6、220yxc，其中1,c c为任意常数。7求不定积分2(1)(1)xdxxx。10 解：原式211112121xdxxx211112121xdxdxxx2111ln(1)arctanln1422xxxc。8求方程1yyxx的通解。解：1( )p xx，( )q xx，原方程的通解是( )( )( )p x dxp x dxyq xedxce11lnln2()dxdxxxxxxedxcexedxcexc xxcx 。9已知11y，21yx，231yx都是微分方程2222x yxyy的解，求此方程的通解。解：11y，21yx，231yx是原方程的解，21yyx，231yyx是其对应的齐次方程的两个

7、线性无关的特解，于是原方程的通解是2112123112()()1yycyycyyc xc x，其中12,cc为任意常数。二、计算下列各题：（每小题 5 分，共 30 分）1 求极限20)(02sinlimxdtexxtxx。解：原式222002000sinlimlimlim11xxuuxxxxxe due duexx。2. 计算322sincoscos2cosxxxxdxx。解：3coscosxx是偶函数，sin2cosxxx是奇函数，原式3202coscosxxdx322200442cossincos33xxdxx。3设函数)(xyy由方程1cos020322dttdtexyt决定，求dxd

8、y。11 解：对方程两边关于x求导，得4622cos() 30yeyyxx，所以4263cos()2ydyxxdxye。4. 求微分方程32yy满足初始条件00|1, |1xxyy的特解。解：令( )p yy，则ypp。于是原方程化为32ppy，对该方程分离变量积分得2411122pyc，其中1c为待定常数。00|1,|1xxyy，即010|1,|10 xyxypy，1c=0，从而2py，即2yy。解方程2yy， 得其解1yxc，其中 c 为待定常数。0|1xy，1c。所以原方程满足初始条件的特解是110 xy。5求曲线xttxf0dsin)(相应于x0的一段弧的长度。解：xttxf0dsin

9、)(，( )sinfxx，于是这段弧的长度001sinldsxdx20sincos22xxdx200sincos4sin422xxdxudu。6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2( )(/)v tt米秒，其受到与运动方向相反的阻力( )5 ( )f tv t（牛顿），求物体在时间间隔0,1 （单位秒）内克服阻力所作的功。解：依题意得功微元24( )( )( )( )5( )5dwf t ds tf tv t dtvt dtt dt，其中( )s t为位移函数，所以物体在时间间隔0,1 （单位秒）内克服阻力所作的功1114500051wdwt dtt（焦耳） 。三、计算下列各题：（每小题 6

10、 分，共 24 分）1求微分方程32()()1dyx xyxxydx的通解。解：令 uxy，则1yu，代入原方程得伯努利方程32uxux u.又当0u时，令1zu，则2zu u，即2uuz。于是方程化为3zxzx.12 解方程得其通解3xdxxdxzx edxc e2211322xxx edxc e2211322xxx edxc e21222xxce。所以原方程的通解是211222xxyxce，即212212xyxxce，其中 c 为任意常数。显然当0u时，即 yx是原方程的解。2设0a，求直线231aaxy与x轴， y 轴所围三角形绕直线ax旋转一周所得旋转体的体积。解一：以 y 为积分变量

11、，则210,ya，体积微元223262dvaa ydyaa ydy，所以旋转体的体积2211262001233aavdvaa ydy。解二：以x为积分变量，则0,xa ，体积微元3212 ()xdvaxdxaa，所以旋转体的体积320012 ()aaxvdvaxdxaa223300222() dd3aaaxxxxaa。3. 设 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程sinyyyx的 一 个 特 解 为2312cossin,55xxyeexx 试确定,，并求出该方程的通解。解：2312cossin ,55xxyeexx2314sincos ,55xxyeexx2318cossin,55xxy

12、eexx把,y y y代入原方程，比较恒等式中2,cos,sinxxeexx系数得方程组：13 10,8420,3130,555131,555解此方程组得3，2，2。所以原方程为 3 22sinyyyx，其对应的齐次方程的特征方程为2320rr，解得其特征根121,2rr，于是该方程的通解是21231cossin55xxyc ec exx 。4.设)(xf为),(上的连续函数，且当0 x时满足函数方程：1000)(1()()()(2dxxfxdtttfdtxtfxfxx， 求)(xf。解：记10(1( )af xdx，则当0 x时，200( )( )( )xxtfxfdttf t dtaxx0

13、0( )( )xxxf u dutf t dtax，即00( )( )( )xxf xxf u dutf t dtax， （0 x） 。)(xf在),(上连续，上式的右端函数00( )( )xxxf u dutf t dtax是连续的，并且可导。因此)(xf在),(上可导，并有00( )( )( )xxf xxf u dutf t dtax，,x。.上式两边对x两次求导可得：0( )( )xfxf t dta， （同理，( )fx可导）.( )( )fxfx，从而，xxececxf21)(。 由积分方程可得：0)0(f，从而有120cc.由积分方程可得：10(0)(1( )faf x dx，即

14、1120(0)(1)xxfc ec edx。（或10(1)( )1ffx dxa） ，于是有1121c ec e，.联立、得121eec，221ece。所以)(1)(2xxeeeexf。14 四、证明题：（每小题 5 分，共 10 分；其中第 2 题和第 3 题任选一题）1设( )f x可导，120(1)2( )ff x dx，证明：(0,1)，使得( )0f。证：)(xf可导，)(xf连续。于是由积分中值定理，110,2，使得12101( )()2f x dxf。又已知120(1)2( )ff x dx，所以1(1)()ff。)(xf在1,1上满足罗尔定理的条件，1,10,1 ，使得( )0

15、f。2. 证明：22002ln(sin)ln(sin 2 )ln 2x dxxdx，并利用此等式计算20ln(sin )x dx。证: 20ln(sin 2 )ln 2xdx2200ln(2sincos )ln 2ln(sin )ln(cos )xxdxxxdx2200ln(sin )ln(cos )x dxx dx,2222000ln(cos )ln(sin )ln(sin )xux dxu dux dx,20ln(sin2 )ln2xdx202ln(sin ) x dx。于是2222000012ln(sin)ln(sin 2 )ln 2ln(sin 2 )ln 22x dxx dxdxx

16、dx又222000211ln(sin 2 )ln(sin )ln(sin )ln(sin )22uxx dxu duu duu du22002ln(sin)ln(sin)ln(sin)vuu duv dvu du,222000ln(sin 2 )ln(sin )ln(sin )x dxu dux dx。于是得201ln(sin)ln 22x dx。3设)(xf和)(xg均在,ba上单调不减的连续函数（ba） ，证明：bababadxxgxfabdxxgdxxf)()()()()(。证：作辅助函数( )( ) ( )( )( )xxxaaaf xxaf t g t dtf t dtg t dt，)(xf和)(xg均在,ba上连续，( )f x在,ba上可导。于是15 ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )xxxaaafxf t g t dtxaf x g xf