2022考研数学一真题及答案解析（全）

1、2021考研数学一真题答案解析92021考研数学真题及答案解析数学(一)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)e'T a(1)函数 /(x尸| 二F'X” ,在 x = 0 处l,x = 0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.)可导且导数不为0.【答案】D.-1【解析】因为lim/(x)=lim£- = 1=/(0),故/(%)在冗=0处连续；x->0ktO y故/'(0) = ；,正确答案为D.£sl_i因

2、为lim一/,上一二lim吐二I。 x-0 io x-03。 x 2(2)设函数/(x,y)可微,且/(x + l,e*) = x(x + l)t f(x,x2)=2x2nx ,则叭 1,1) =(A)dx + dy.(B) dx-dy.(C)dy.(D)-dy.【答案】C.(解析】/'(x + Lex) + e"f；(x +1,/) = (x +1)2+2x(x + 1)(x, x2) + 2xf (x, x2) = 4x In x + 2xx = 0 fx = 1分别将 ，带入式有y = 0 1y = l工q I)+AL I) = I,而,I)+2方(1,1)= 2联立可

3、得工'(1,1) = 0,月(1,1) = 1，#(1,1) = (l,l)dx + /；'(1,l)dy = dy,故正确答案为 C.(3)设函数/-(x)=-一-在x = 0处的3次泰勒多项式为ax +笈2 +，则 1 + X(C) a = -l,b = -l,c =.7 (B)q = 1,6 = 0,c =.6(D) a = -lyb = 19c =. 6【答案】A.【解析】根据麦克劳林公式有3f(x) = in:= x-+ o(x3) -l-x2+o(x3) = xx3 +(?(x3)1 + x |_6 J67故。= 1,6 = 0,。=，本题选A.6(4)设函数/(x

4、)在区间0,1上连续，贝啖="T8 白 I 2n )2n 2n ) n(O蛀/传平.)嗯力仔)22n )n1。念 2n) n【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将(0,1)分成份，取中间点的函数值，则'f(x)dx = limZ/| !-1-,即选 B.Jomek=i (2 ) n(5)二次型/(占“2，七)=(玉+)2 +(+七)2 一(七一%)2的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)l,l.(C) 2,1.(D)l,2.【答案】B.【解析】/(x1,x2,x3) = (x, +x2)2 +(x2 +x3)2 -(x3 -x,)2 = 2x22 + 2xtx2

5、 + 2x2x + 2xtx301P所以/= 121,故特征多项式为J10>2 -1 -1AE-A= -1 -2 -1 = (2+ 1)(2-3)/1-1 -1 A令上式等于零，故特征值为-1, 3, 0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.T(6)已知%=013、1 » 记 /31 CCy j P? = CC-f k, 03 = Cty l/3 ，2夕22若片，/32,夕3两两正交，则小 (依次为5 12 2 【答案】A.5 1 (B)2 2(D) 一二2【解析】利用斯密特正交化方法知见， 典，'0、2故选A.故/区2(7)设48为阶实矩阵，下列不成

6、立的是(AOy(A AB z、NoJ?%)叫 ° " = 2,(A BA .(A Ol ,、(c)rU=产叫胡"=2«) 【答案】C.(4 O 【解析】(A)r.=厂(4) +r(/7) = 2厂(4).故Z正确.i O A 4,(4 AB (A O (B)N8的列向量可由力的列线性表示，故r丁 =rt = r(A)+r(Ar)=2r(A)./ J I。/ J(QBA的列向量不一定能由A的列线性表示.(A BA "1(D)8Z的行向量可由N的行线性表示，厂丁 ="" = N/) + N/ )=2r(/)-O A ) 10 A

7、 )本题选C.(8)设Z, 8为随机事件，且0<P(6)<l,下列命题中不成立的是(A)若尸(Z|8) = P(Z),则 P(4| 分)=尸(4).(B)若P(川8)>尸(,则尸(1|耳)P(3)(C)若P(* 5)> P(川B),则 P(A B)> P(A).(D)若 P(41 / U 3) > 尸(彳| / U8)，则 PQ) > P(B).【答案】D.【解析】尸(Z|ZU8) =尸(/(/U8)尸(4U8)P(N)P(A)+P(B)-P(AB)P0 力 U 8) = P()(/U8) = P(lB) = P(B) -P(AB)尸(NUB)尸(ZU

8、 8) P(A)+P(B)P(AB)因为尸(川ZU6)>尸(1|ZU8)，固有P(Z)>P(6) 尸(Z8),故正确答案为D.(9)设(洛),(X2，1；),(X“,毛)为来自总体的简单随机样本，令_1 n _1 n 人 _e =从2,反=£x,y = =又-y,则，=| 1=122(A) ©是夕的无偏估计，) n22(B)。不是夕的无偏估计，。(句= %. + % J n(C)。是e的无偏估计，球)=b+ % 2沟% 7n(D)。不是6的无偏估计，0伍)=%+至二2四.巴一【答案】C.【解析】因为x,y是二维正态分布，所以反与歹也服从二维正态分布，则反-在也服

9、从二维正态 分布，即 E(J) = E(N_P) = E(灭)E(歹)=从_4=6，D(0) = D(X-Y) = D(X) + D(f) -cov( J,f) =+<7?- 2/7<T|Cr.?.,故正确答案为 C.n(10)设X1,X2,X|6是来自总体N(,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：”0：410,乩：>10.(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为少=反之_ I 16其中又=Z*,，则 = 11.5时，该检验犯第二类错误的概率为16 ,=)(A)l (0.5)(B)l-(1)(C)l (1.5)(D) 1 (2)【答案】B.【解析】所求概率为尸又&

10、lt;11反M1L5)，4_z ._ X 11.5 11 11.5. =,.、PX < 11 = P < .=1 .22,故本题选B.二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置 上.)(11)r+® dxx + 2x + 2【答案】【解析】7t4r*30 dx _J。x2+2x + 2J0dx/ q、+oo 7CTC 71arctan(x+ l)|0 =-(12)设函数y = y(x)由参数方程，x = 2e +/ + l,x<0 _ . d2y,2 确定，则f ,二。y = (t-)e+t,x>Q dx'2【答案】，旦

11、 d2y _ (4e' +4招'+2)(2/ +1) -(4冶 +27)2drT =t idx1(2/+以3, my. u, dy Ate' +2t 【解析】由-=-, dx 2e +1120将f = 0带入得咨|,二。=三 ax3(13)欧拉方程f / +号，_ 43=0满足条件y=1,/(1) = 2得解为y =【答案】%2.【解析】令=/,则孙'=电,空，原方程化为邑? 一纣=0 ,特征方程为“ dtdx2 dxdx1A2-4 = 0,特征根为4=2,4 =-2,通解为 =。1'+。2"2'=。俨2+。2汇2,将初始条件XI) =

12、 l,y(l) = 2带入得£ = 1，G = 0，故满足初始条件的解为y = x2.(14)设Z为空间区域(x,y,z)x2+4y2 <4,0<z<2)表面的外侧,则曲面积分 jj x'dydz + y2dzdx + zdxdy -.E【答案】47r.【解析】由高斯公式得原式=(2x + 2y + l)d= J：dzJJ dxdy = 4万.(15)设/ =今.为3阶矩阵，4为代数余子式，若力的每行元素之和均为2,且|/| = 3,& + 41+41=-3【答案】2P、【解析】A 11,Aa = 2,a =HI .而/ = 41241“22,23，

13、32“33,A，则"的特征值为回，对应的特征向量为4i +4i + 4i - a ,(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中, 再从乙盒中任取一球.令分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则x与y的相关系 数.【答案】5【解答】联合分布率(x,y)(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)、31、105cov(x,y)= (, ox=(,0y = 5,即0打13510 >5,12 2)1、12>三、解答题(本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本题满分

14、10分)求极限limx->0ex-lsinx7【答案】2【解析】解:lim1 + Jo"力1ex -1 sinx7= limx->0sinx-l - er dt(ex -l)sinx又因为 J。'/力= J；(l + /2+o(72)辿=x + /x3+O(x3),故原式=limx->0+ o(x')(l + x+ x3 +o(x3)-x - -x2 +o(x2)X21x2+o(x2) 1=lim 二zox2 2(18)(本题满分12分)1X设/(x) = e-M +x"+i( = l,2,)，求级数£%(x)的收敛域及和函数.(

15、 + 1)MQX-4- (1 - x) ln(l - X)+ X, X G (0,1)【答案】S(x)= l-e-,x = e-【解析】 皿吟加卦口高叫收敛域入三0018 Y + l 8 丫"+152()= -；+，= Z：E-T =_xln(l_x)_ln(l-x)-V|n= ( + 1)m=1 /i=l + 1= (l-x)ln(l-x) + x, xg (0,1)S2(l) = limS2(x) = lS(x) = ,.v->r -Tee+ (1 - x) ln(l - x) + x, x e (0,1),x = l(19)(本题满分12分)x2 +2y2 z = 6y，

16、求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.4x + 2y+ z = 30【答案】66【解析】设拉格朗日函数£(x,y,z,4)= z? +2(x2 +2j/ -z-6)+ (4x+ 2y+z-30)Lx = 2x2 + 4w = 0Ly = 4yA, + 2” = 0Lz =2z 2 + w = 0x2 + 2y2 z = 64x + 2+ z = 30解得驻点：(4,1,12),(-8,-2,66)C上的点(-8,-2,66)到xoy面距离最大为66.(20)(本题满分12分)设DuR?是有界单连通闭区域，/(D) = jf(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为。.D(1)

17、求/(?)的值.(2)计算J(xe' +4r' + y)dx + (Aye2 +4y2 +4' - x)dy 廿1八“十1、4.田力-,其中3D,是D的正向边界.【答案】F.【解析】(1)由二重积分的几何意义知：/(D) = JJ(4 x2_y2)db,当且仅当4 一/在。上 D大于0时，/(D)达到最大，故C2+歹2<4且/(D1)=J：a6(4r2)4厂=8万.补。2：/+4_/=/(尸很小)，取。2的方向为顺时针方向，(xex +4v +y)dx + (4ye" "" -x)dyr (xe' +4v +y)<&am

18、p; + (4ye, +4r -x)dy r5Dt+dD2* +4y犯(xe'-TL +y)iZx + (4ex-+4r -x)dyx2 + 4y2-er j xdx + 4ydye' J yx xty = a= 71 r dD2r 5D2r D,(21)(本题满分12分)< a1-P已知/= 1a -1 .、一 1 -1 a)(1)求正交矩阵P,使得尸NP为对角矩阵；(2)求正定矩阵C,使得。2 = g + 3)E - A. f【答案】(1) p =1P1 后 o【解析】2. a-11-1A-a1= (4_q + 1)2(4_"2) = 0得 4=。+2,4 = 4=。-1 当4 =4 + 2时(a + 2)E /)= -1 J当 4=4=a-l 所-1211的特征向量为4= 1-U令尸=%同-U1耳1耳1一耳(-100的特征向量为% =-11、°1正1正1F1忑2巫(2) PTC2P = PTa + 3)E -A)P = (a + 3)E - A44,a-ax)2021考研数学一真题答案解析(n pTCPP'CP =n pT CP =22,故。=P-153_31353>(22)(本题满分12分) 在区间(0,2)上随机取一点,Y 丫,令2=一.X(1)求X的概率密度；(2)求Z的概率密度.求畤)将