《群与代数表示论》课程大纲

1、群与代数表示论课程教学大纲课程基本信息(Course Information )课程代码(Course Code)MA3111/MA323*学时(CreditHours48*学分(Credits)3*课程名称(Course Name)群与代数表示论Represe ntati on Theory of Groups and Algebras课程性质(Course Type)专业方向选修 A组授课对象(Audie nee)数学与应用数学专业本科生授课语言(Language ofIn strueti on)中文(如果需要，亦可用英文教学)*开课院系(School)数学系先修课程(Prerequisi

2、te)数学分析，高等代数(包括多项式理论和空间解析几何)，初等数论，抽象代数授课教师(Instruetor)司梅课程网址(CourseWebpage)*课程简介(Deseription)群与代数表示论是继抽象代数之后的一门代数学课程，是数学与应用数 学专业的选修课。这门课程不仅是代数方向的重要课程之一，还在量子物理、量 子化学等领域有广泛的应用。这门课程的主要内容包括群表示、特征标理论、代 数的表示。利用这些结果研究有限生成Abel群结构、有限维向量空间上线性 变换的Jordan标准型和有理标准型的统一处理，从而使学生感受到高观点下 不同对象的统一。本课程也阐明Hilbert基定理和零点定理，

3、从而建立几何对象与代数对象的对应关系。在教学的过程中，通过结合具体的例子，使学 生理解结构与表示之间的联系，进一步提高其抽象思维能力，为学习代数学和 其它学科奠定坚实的基础。*课程简介(Deseription)The represe ntati on theory of groups and algebras is an eleetive eourse for un dergraduates in mathematies, whieh is a sueeessive eourse of Abstraet Algebra. It is an important basis of algebra,

4、 and is widely used in quantum physies, quantum ehemistry, ete. It studies the representation of groups, eharaeter theory and the representation of algebras. Further, it studies the strueture of fin ite gen erated Abel groups, Jorda n no rmal form and rati onal no rmal form of linear transformation

5、on finite dimensional veetor spaee. The aim of this is to make students to know that different objeets can be unified. It also studies Hilbert's basis theorem and Hilbert's Nullstellensatz . This gives the relation of algebra to geometry. The students can un dersta nd the relati on betwee n

6、the strueture and the represe ntati on by see ing some explieitexamples. It further train and stre ngthe n their in terest and ability of abstract thinking, such that a solid foun dati on in algebra will be built for their further studies.课程教学大纲（course syllabus）*学习目标(Lear ningOutcomes)第1章 群表示 （21学时，

7、对应代码 A3, A4, A5 , B1, B2, B3, C1, C2, C4）1.1群表示的基本概念（3学时）疋义与例子；矩阵表示；置换表示；表示的张量积。Schur引理；有限群的有限维复表示是酉表示（类似地，有限群的有限维实 表示是正交表示）；从而群中元作为表示空间上的可逆线性变换是可以对角 化的。1.2 Maschke 定理（2 学时）Maschke疋理（有限群G在域F上的任一表示均是元全可约的当且仅当F的 特征不整除G的阶）的证明和意义；正则表示的不可约分解；不可约表示的 个数、不可约表示的维数、G的阶二者之间的关系。1.3特征标的基本概念（3学时）特征标的定义和11条常用性质；单位

8、特征标；正则特征标；特征标表；有 限Abel群的特征标。1.4第一正交关系（2学时）第一正交关系的表述和证明并强调其意义；不可约分解的重数、表示等价的 判别法、不可约性的判别法。1.5分裂域上不可约常表示个数的群论意义（4学时）主要定理（群的分裂域上不可约常表示个数等于群的共轭类的个数）的证明；第二正交关系；举例。1.6特征标表计算举例（3学时）对称群S 4,交替群A 4,二面体群Dn, 8阶群的特征标表。1.7从特征标表读群的结构（4学时）体现表示与结构的联系：如何从特征标表读出正规子群、单性、换位子群、 中心、可阶性、幕零性等。大作业布置（对应代码 A3, A4, A5, B1, B2,

9、B3, B4, C1, C2, C3,C4）第 2 章 模论 （21 学时，对应代码 A3, A4, A5，B1, B2, B3, C1, C2, C4）2.1 环上的模（4学时）基本概念；用模来统一 Abel群、域上向量空间、和域上向量空间的线性变 换；交换环上自由模的秩的唯一性。2.2 模的构造（2学时）直和；张量积（泛性质）；双模（伴随对）。2.3 半单模（2学时）环上单模及其存在性；Schur引理；半单模的等价刻画。2.4 Jorda n-H"older 定理（1 学时）合成列；Jordan-H"older定理的意义。2.5 Artin 模和 Noether 模（4

10、 学时）作为有限维推广的降（升）链条件；Artin模和Noether模及与合成列存在的关系；Fitting 引理；Artin 环和Noether环。2.6 Wedderburn Artin 定理（2 学时）单环（单代数）的例子；半单代数（指有限维）；单代数是半单代数；半单 代数的结构定理（Wedderburn Artin 定理）表述及证明；半单代数上的不 可约模。2.7 主理想整环上有限生成模（4学时）主理想整环上有限秩自由模的子模；主理想整环上矩阵的等价关系；主理想 整环上有限生成模分解为自由模的挠模地直和；主理想整环上有限生成挠模 分解为循环模的直和；不变因子理想和初等因子理想。2.8 应

11、用：有限生成Abel群的结构（2学时）将1.7中结论应用于整数环上的有限生成模，得到有限生成 Abel群的结构。大作业布置（对应代码 A3, A4, A5, B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3,C4）第3章计算代数几何基础（6学时，对应代码A3, A4, A5，B1, B2, B3, C1, C2, C4）3.1 Hilbert 基定理（2学时）Hilbert 基定理的证明与重要意义。3.2 交换环的整性扩张（2学时）整性；为Hilbert零点定理的证明服务。3.3 Hilbert 零点定理（Nullstellensatz） （2 学时）Hilbert 零点疋理的证明与重要意

12、义；代数族与根闭理想的对应（几何对象与代数对象的对应）。*教学内容、进度 安排及要求(Class Schedule& Requireme nts)教学内容学时教学方式作业及要 求基本要求考查方 式群表示的基本概念3课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业Maschke 定理2课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业特征标的基本概念3课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业第一正交关系2课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业分裂域上不可约常 表示个数的 群论意义4课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业特征标表计算举例3课堂讲授与讨论布

13、置作业预习、听 课、小结、习题作业从特征标表读群的 结构4课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业大作业0、中 .、fz. f-» tm 课堂布置大作业完成面谈环上的模4课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业模的构造2课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业半单模2课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业Jorda n-H"older定理1课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业Arti n 模和 Noether 模4课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业Wedderbur nArti n 定理2课堂讲授与讨论

14、布置作业预习、听 课、小结、习题作业主理想整环上有限 生成模4课堂讲授与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业应用：有限生成Abel群的结构2课堂讲授 与讨论布置作业预习、听 课、小结、习题作业大作业0、中 .、fz. f-» tm 课堂布置大作业完成面谈Hilbert 基定理2课堂讲授与讨论预习、听 课、小结、 习题预习、听 课、小结、习题作业交换环的整性扩张2课堂讲授与讨论预习、听 课、小结、 习题预习、听 课、小结、习题作业Hilbert零点定理2课堂讲授与讨论预习、听 课、小结、 习题预习、听 课、小结、习题作业大作业0、中 .、fz. f-» tm 课堂布置大作

15、业完成面谈*考核方式(Gradi ng)最终成绩由平时作业、大作业与期未考试成绩组合而成。各部分所占比例如 下：平时作业与大作业：30%考试：期未70 %*教材或参考资料(Textbooks &Other Materials)教材：群与代数表示引论冯克勤、章璞、李尚志，中国科技大学出版社，2003。参考资料：1. 有限群表示论，曹锡华、时俭益，高等教育出版社，1992.2. 有限群和紧群的表示论，丘维声，北京大学出版社，1997.3. Lin ear Represe ntatio ns of Finite Groups, J.P.Serre, GTM 42. Spri nger-Verlag, 1927.4. 代数基础，陈志杰，华东师范大学出版社，2001.5. Basic Algebra II, Natha n J