北师大版初中数学九年级《二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与一元二次方程》说课稿

1、北师大版初中数学九年级二次函数 y=a(x-x1)(x-x2)与一元二次方程 说课稿尊敬的各位评委、各位同仁：大家上午好 !今天我说课的题目是二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与一元二次方程 ，我将从学习内容分析、学情分析、学习目标与重难点、学法与教法、教学过程设计、板书设计六个方面来汇报。一、学习内容分析（一）、教材分析函数是一种重要的数学思想，函数和方程是初中数学学习的重点和难点，在学习中具有举足轻重的作用和地位。本节课是数学导学案九年级（全）第二章二次函数第6 课时。在这之前，学生已经学习一次函数与一元一次方程、二元一次方程组之间的关系；本课时也将为高中学习打好基础，作好铺垫，在教学

2、中有着承上启下的作用。（二）、学案分析本课时主要内容是探讨二次函数两根式与一元二次方程的关系。旧学案的学习目标学生读起来比较抽象，因此我对它的用语作了适当的修改，学习准备我作了补充，解读教材和挖掘教材部分也作了适当的改动。挖掘教材6 弦长公式我放在资源链接，这个地方改为已知两根式求对称轴。达标检测我增加了一道二次函数与y=h 相交的综合测试题。具体见附件（三）中考考点分析二次函数和一元二次方程的关系是中考的一个重要考点，近几年经常在b 卷的压轴题出现。二、学情分析1、学生已经学习了二次函数一般式、顶点式及其图象和性质，一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经学习了一次函数和一

3、元一次方程、二元一次方程和一次函数的关系，因此，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，可以利用类比的方法让学生在自学的基础上进行小组合作交流学习。2、我校“金凤凰”初三学生基础参差不齐，两极分化已经形成，个体差异比较明显。为了让每个学生都得到不同的发展，我在教学过程中采用了分层教学。3、学生思维已经从形象思维向抽象思维转化，但形象思维仍占主导地位，数形结合是学生掌握知识的较好方法。三、学习目标与学习重、难点根据新课标的要求及九年级学生的认知和发展水平，结合学情，我制定本节课的学习目标与学习重、难点如下学习目标：1、会将二次函数一般式转化为两根式2、理解并掌握二次函数的图象与x 轴

4、（或 y=h ）交点的个数与的关系学习重点 ：学习目标2学习难点：能够综合运用二次函数与一元二次方程的关系解题四、学法与教法由于九年级学生已经具备一定的抽象思维能力，在八年级时已经学习了一次函数与一元一次方程的关系，因此，采用类比的方法在学生自主 预习的基础上放手让学生大胆地猜想、探究 ，小组 合作 交流，同时老师适时引导学生探究，在每个环节及时评价。学法：自主 +探究 +合作教法：引导学生自主+探究 +合作五、教学过程设计为了充分发挥学生的主体性、小组合作学习的作用和教师的主导辅助作用，我在教学过程中设计了六个环节： 1、学习准备； 2、解读教材； 3、挖掘教材； 4、反思小结； 5、达标测

5、评； 6、资源链接先介绍我的小组建设情况：我的每个小组是6 人，并且按照学生的数学成绩结合综合能力为小组成员编号，1 号最好，然后依次递减。座位安排按照好差交替。我的这节课是在学生自主预习的前提下，学生讲解，老师适时引导；教师评价、自我评价、学生评价等多元化评价贯穿整个教学过程。一、学习准备1分解因式： x2-2x-3 ； 2解方程： x2 -2x-3=03、回顾一次函数与一元一次方程的关系：一次函数 y=x+5 与 x 轴的交点坐标是，一元一次方程x+5=0 的解是。你发现了什么？4、回顾一次函数与二元一次方程组的关系：一次函数y=x+5 与 y= 2x 1 的图象的交点坐标与方程组125y

6、xyx的解是什么关系？结论：要求两个函数图象的交点坐标，就是把两个函数图象的表达式组成方程组，方程组的解就是交点坐标。在这个环节旧学案只有1、2 题，他的意图是复习分解因式，用分解因式法来解一元二次方程，为本节课作铺垫，但我认为做的还不够，没有抓住重点。因此我的新学案增加了两道题。我这样设计的理由是：八年级时学生学习了一次函数和一元一次方程的解，以及和二元一次方程组之间的关系，因而，本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，可以利用类比的方法让学生在自学的基础上进行小组合作交流学习。这一环节我请每个小组基础较差的4 号或 5 号同学口答。如果回答不够完整，其他学生可以补充或评价，教师根据

7、学生的回答情况补充或评价。二、解读教材在这一环节，我认为旧学案编的不够好，二次函数两根式给出的比较突然，学生不清楚来由，并且这两道题的顺序颠倒了。 我认为应该先认识两点式，然后再是一道二次函数与x 轴交点的个数与的关系的例题。5、二次函数的两根式（交点式）设方程)0(02acbxax的两根为1x，2x)0(2acbxaxy)(2acxabxay根据根与系数的关系：_2121xxxx)(21212xxxxxxay_)(_)(_ay所以二次函数)0(2acbxaxy的另一种表达式：y=a(x-x1)(x-x2) （a0）叫做二次函数的两根式又称交点式。即时练习 1：下面是否是二次函数的两根式，如果

8、是请指出a, 1x，2x;如果不是，你能否变成两根式（1）)3)(1(xxy（2）) 1(3xxy（3）)33)(62(xxy即时练习 2：将下列二次函数化为两根式：（1）y=x2+2x-15 ；（2）y= x2+x-2；（3）y=2x2+2x-12；我这样设计的理由是新课程标准倡导，有效的数学学习不是单纯的依赖模仿与记忆，而要通过动手实践，自主探究与合作交流了解其必要的推理过程，这样做学生更加清晰地明白二次函数交点式是怎么得到的。紧跟的即时练习能让学生更加清楚地识别二次函数的两根式，以及如何将二次函数一般式转化为两根式即时练习 1 的（1） （2）题口答， （3）题派 1 组基础较好的3 号

9、学生在侧黑板1 展示并讲解；特别要注意（2）小题一个根为0， （3）小题如何转化成两根式，转化后a, 1x，2x分别是多少？小组代表讲解完后，其他学生评价或补充。即时练习 2 派 2、3、4 组基础较好的3 号在侧黑板2 展示并讲解，讲解完后其他学生评价或补充。6 在坐标系中画出二次函数y= x2 -2x-3 的图象，研究抛物线与x 轴的交点，你发现了什么？（提示： x 轴所在直线的表达式可以写成y=0）结论：对于抛物线y=a(x-x1)(x-x2)（a0 ） ，当 y=0 时,就是方程 a(x-x1)(x-x2)=0, 所以1x，2x既是方程 a(x-x1)(x-x2)=0 的，也是抛物线y

10、=a(x-x1)(x-x2) 与 x 轴的的横坐标。我这样设计的理由是：通过一个具体的例子，并且用到数形结合的思想，让学生更加直观地初步体验二次函数与 x 轴的交点个数与关系。这样做符合学生由特殊到一般的认知过程，为挖掘教材作铺垫。这道题我派5 组基础较好的2 号在前黑板左面展示并讲解，讲解完后其他学生评价或补充。我根据情况补充或评价三、 挖掘教材在这个环节，旧学案设计的意图是通过观察、对比，然后归纳出二次函数图象与x 轴交点的个数与关系，但是他只讨论了a0 的情况，没有谈到a0 的情况，而且他的设计不便于对比、联系。因此，我改动如下： 7 二次函数图象与x 轴交点的个数与关系x y o （1

11、）当 a0 时二次函数表达式草图与 x 轴的交点的个数一元二次方程 = 二次函数与 x 轴交点个数与的关系y= x2+2x-2 x2+2x-2=0 y=x2+2x+1 x2+2x+1=0 y=x2+2x+2 x2+2x+2=0 （2）当 a0 时二次函数表达式草图与 x轴的交点的个数一元二次方程 = 二次函数与x 轴交点个数与的关系y= x22x+2 x22x+2=0 y=x22x1 x2-2x-1=0 y=x22x2 x22x-2=0 结论：二次函数与x 轴的交点个数与一元二次方程根的判别式的关系: 我这样设计的理由是学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。帮助学生在小

12、组合作和交流学习，体会到成功的快乐。通过表格对比，数形结合更加清楚直观地展现出一元二次方程根的判别式与二次函数与x 轴交点个数的关系。表格我将派1-6 组的 1 号在前黑板展示 ,每组做一行， 这样做的目的是加强组与组的合作。这个环节给学生充分的时间观察、对比、交流，进而发现规律。在充分交流、讨论的基础上，小组派代表谈谈他们发现的规律，其他学生评价或补充。即时训练 3： （1）抛物线 y=x2-(a+2)x+9 与 x 轴只有一个交点，则a= 。（2）已知二次函数y=mx2-2x+1 的图象与 x 轴有两个交点，则m 的取值范围为。在这一环节，我把旧学案两道题的顺序交换了，我这样设计的理由是：

13、第（2）小题还要考虑0m的情况，交换顺序后，符合学生由浅入深，由易到难的做题习惯。这两道题我将派6 组和 7 组中等成绩的4 号和 3 号在后黑板展示并讲解，讲解完后， 其他学生评价或补充，教师根据情况补充或评价。8旧学案在这里探讨的是弦长公式，但是弦长公式在初中数学中用的很少，所以我把弦长公式放在资源链接，这个环节只探讨：根据二次函数交点式求对称轴和两个交点的距离。已知抛物线y=a(x-x1)(x-x2) （a0）与x 轴的交点坐标是a （x1，0）和 b （x2，0） ，那么抛物线的对称轴为x=221xx，点 a、点 b之间的距离为ba=21xx即时训练 4：抛物线 y=2(x-2)(x5

14、) 的对称轴为，与 x 轴两个交点的距离为。我这样设计的理由是：实施分层教学，拓宽优生的知识面和视野，让优生更优。这道题我派7 组基础较好的2 号上黑板展示并讲解，其他学生评价或补充。四、 反思小结 二次函数与一元二次方程的关系知识点1 二次函数y=ax2bxc的图象与x轴的 交点有 三种情况，交点横坐标就是一元二次方程ax2bxc=0的。知识点 2抛物线 y=a(x-x1)(x-x2)（a0）与x 轴的交点坐标是a （x1，0）和 b （x2，0） ，那么抛物线的对称轴为 x=221xx，点 a、点 b之间的距离为ba=21xx=21xx我这样设计的理由是：教学过程中， 学生往往对所学的知识

15、和探究的问题感觉比较零乱，没有一个系统的、一般的理解与认识。所以安排这一教学环节来及时地把问题和学习内容进行整理和归纳，给学生系统化的认知。本节课我将始终关注学生能否在老师的引导下积极主动地按所给的条件进行学习，能否在小组活动中大胆尝试并表达自己的想法从而发现结论，在同学讲解后，能否作出适当的评价或补充。本节课我选择教师评价、自我评价、学生评价等多元化评价，对不同的学生有不同的评价标准，尊重学生的个体差异，把评价贯穿于教学活动的全过程，发挥评价的功能，以帮助学生认识自我，建立信心。【达标测评 】 （分层达标a层全做， b层做 1-6 题， c层 1-5 题）1抛物线 y=-9(x-4)(x 6

16、)与 x 轴的交点坐标为。2抛物线 y=2x28xm 与 x 轴只有一个交点，则m= 。3二次函数y=kx23x4 的图象与 x 轴有两个交点，则k 的取值范围。4抛物线 y=3x25x 与两坐标轴交点的个数为（）a3 个b2 个c1 个d0 个5与 x 轴不相交的抛物线是 （）ay=3x2-4 by=-2x2-6 cy=-x2-6 dy=-31(x+2)2-1 6已知二次函数y=x2mxm2求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点。7抛物线 y=mx2(32m)xm2（m 0 ）与 x 轴有两个不同的交点。（1）求 m 的取值范围；（2）判断点 p(1，1)是否在此抛物线上？已知抛

17、物线y=x2-(a+2)x+9 与 y=3 只有一个交点，则a 的取值是多少？我这样设计的理由是：对本节课所学内容进行及时的反馈矫正；实施分层教学，针对不同学生，有不同的标准。旧学案的学习重点提到了二次函数与y=h 相交的情况，但是整篇学案却没有与之相关的题出现，因此我在达标测试这一环节，增加了与之相关的第8 题，有助于优生拓展知识面。【资源链接】：弦长公式：抛物线与x 轴的两个交点的距离叫弦长（如下图中的ab）已知抛物线)0(2acbxaxy与 x 轴的交点坐标是a（x1，0）和 b（x2，0） ，法一：ba=21xx=221)(xx=212214)(xxxx根据根与系数的关系：acxxab

18、xx2121得到：ba=21xxaacb42法二：ba=21xx=aacbbaacbb242422=aacb42即时训练：二次函数y=x2(m3)xm 的图象如图所示。（1）试求 m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？（2）当 m 为何值时，方程x2(m3)xm=0 的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为m，与 x 轴的交点 p、q，求当 pq 最短时 mpq 的面积。我这样设计的理由是：通过对问题的拓展既可以深化教学内容，也可以给学有余力的同学以启示和数学思维的拓展。六、板书设计：课题： 二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与一元二次方程前黑板：（分成 3 份）o x x1 x2 y a b 解读教材6 题：在坐标系中画出二次函数 y= x2 -2x-3 的图象，研究抛物线与x 轴的交点，你发现了什么？挖掘教材7（1）当 a0 时（表格略）挖掘教材7（ 2）当 a0 时（表格略）侧黑板 1（分成两份）即时练习1：下面是否是二次函数的两根式，如果是请指出 a, 1x，2x;如果不是，你能否变成