传热学讲义—第二章

1、第二章稳态导热 本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力第一节 通过平壁的导热 1-1 第一类边界条件研究的问题：（1）几何条件：设有一单层平壁，厚度为，其宽度、高度远大于其厚度（宽度、高度是厚度的10倍以上）。这时可认为沿高度及宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度方向发生变化。（属一维导热问题）（2）物理条件：无内热源，材料的导热系数为常数。（3）边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度和，。（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。方法1 导热微分方程：采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一

2、维稳态导热问题（温度只在 x 方向变化）。导热微分方程式为：（2-1）边界条件为：，（2-2）对式（2-1）连续积分两次，得其通解：（2-3）这里、为常数，由边界条件确定，解得：（2-4）最后得单层平壁内的温度分布为：（2-5）由于、均为定值。所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度），（2-6）热流密度为：（2-7）若表面积为 A, 在此条件下 , 通过平壁的导热热流量则为 :（2-8）考虑导热系数随温度变化的情况：对于导热系数随温度线形变化，即，此时导热微分方程为：解这个方程，最后得：或说明：壁内温度不再是直线规律，而是按曲线变化。对上式求导得：因为，所以曲线是向上凸的

3、；曲线是向上凹的。通过平壁的导热热流密度为：式中，则 从上式可以看出，如果以平壁的平均温度来计算导热系数，则平壁的热流密度仍可用导热系数为常数时的热流密度计算式：多层平壁（复合壁）的导热问题多层壁（复合壁）：就是由几层不同材料叠加在一起组成的平壁。 以下讨论三层复合壁的导热问题，如图所示。假设条件：层及层间接触良好，没有引起附加热阻（亦称为接触热阻）也就是说通过层间分界面时不会发生温度降。 多层平壁的导热已知各层材料的厚度为：、，导热系数为：、，且均为常数。多层壁的最外两侧表面分别维持均匀稳定的温度和，且。求：该多层平壁中的温度分布和通过平壁的导热量。设两个接触面的温度分别为和。此问题是无内热

4、源一维稳态导热。整个过程是由三个换热环节串联而成，每个环节的热流密度是相等的。（三层平壁单位面积的总热阻等于各层热阻之和）因为每层平壁的温度分布都是直线，各层中直线的斜率是不同的，所以多层平壁中的温度分布是一条折线。对于n层多层平壁，热流密度：1-2 第三类边界条件研究的问题：（1）几何条件：设有一厚度为的无限大平壁。（2）物理条件：无内热源，材料的导热系数为常数。（3）边界条件：给出第三类边界条件，即：在处，界面外侧流体的温度为，对流换热表面传热系数为；在处，界面外侧流体的温度为，对流换热表面传热系数为。求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。常物性、无内热源、一维稳态导热过程的导热微分方

5、程式仍为：边界条件：解得：求出、，就可得出平壁中的温度分布：补充：对于上述的常物性、无内热源、一维稳态导热问题，如果给定第二类边界条件，会出现什么情况？第二类边界条件： 和 由于是无内热源，稳态导热，所以，这意味着，上述两个条件是一致的，实际上就是一个条件。根据这样一个条件，不能求出方程的通解 中的两个待定常数和。问题的解为不定解。所以，对于一维稳态导热问题，必须具有两个独立的边界条件才能确定出惟一的解。第二类边界条件下的温度分布曲线：根据，得，所以平壁内的温度分布曲线为已知斜率的一簇平行直线。第二节 通过复合平壁的导热工程上会遇到这样一类平壁：无论沿宽度还是厚度方向，都是由不同材料组合而成复

6、合平壁。在复合平壁中，由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的温度场是二维或三维的。如：空斗墙、空斗填充墙、空心板墙、夹心板墙。复合平壁中，由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的温度场是二维或三维的。简化处理：当组成复合平壁的各种不同材料的导热系数相差不大时，可近似当作一维导热问题处理。复合平壁的导热量：式中，两侧表面棕温差；总导热热阻。第三节 通过圆筒壁的导热工程中常用圆管作为换热壁面，如锅筒、传热管、热交换器及其外壳。圆筒受力均匀、强度高、制造方便。3-1 第一类边界条件研究的问题：（1）几何条件：单层圆筒壁面，内半径为，外半径为，长度为，长度远大于壁厚。（忽略轴向热流，热流

7、只沿径向）（2）物理条件：无内热源，圆筒壁材料的导热系数为常数。（3） 边界条件：圆筒壁内、外表面分别维持均匀稳定的温度和，且。（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）求：圆筒壁内的温度分布及通过圆筒壁的导热量。根据以上条件知，这是一个常物性、无内热源、一维、稳态导热问题。由于温度场是轴对称的，所以采用圆柱坐标系。导热微分方程为：圆筒壁边界条件为： 微分方程的通解为：根据边界条件，得出： 和 则圆筒壁的温度分布为： 或 由此可见，圆筒壁中的温度分布呈对数曲线，而平壁中的温度分布呈线性分布。 圆筒壁的导热量在无限大平壁中，热流密度是常数，但在圆筒壁中，不同半径处的热流密度并不相等。（，但不等于

8、常数，它是的函数）在稳态情况下，通过长度为的圆筒壁的导热量是恒定的，即： W （A是圆筒壁的面积，在不同的处，有不同的A值）在圆筒壁内，取一个半径为，厚度为的微圆筒壁来分析，此时，则：， 而 解得： （可见，及无关，通过整个圆筒壁面的热流量不随半径的变化而变化，在不同的处，通过的热流量是相等的。）将写成热阻形式，则： W式中，是长度为的圆筒壁的导热热阻，通过每米长圆筒壁的热流量为：单位长度圆筒壁的导热热阻为：多层圆筒壁的导热多层圆筒壁：由几层不同材料紧密结合所构成的圆筒壁。利用串联热阻跌价原理求解。该部分自学。例2-4 自学。注意：求各层直径时，应是。对于圆管外，用几层材料进行保温时，应将导热

9、系数少的材料设置在内侧。对平壁有这种要求吗？3-2 第三类边界条件研究的问题：（1）几何条件：单层圆筒壁面，内半径为，外半径为，长度为，。（2）物理条件：无内热源，圆筒壁材料的导热系数为常数。（3） 边界条件：已知一侧的流体的温度为，对流换热表面传热系数为，一侧流体的温度为，对流换热表面传热系数为，且>。求：圆筒壁内的温度分布及通过圆筒壁的导热量。这是一个常物性、无内热源、一维、稳态、导热问题。由于温度场是轴对称的，所以采用圆柱坐标系。导热微分方程为：圆筒边界条件为： 在第一类边界条件中，已求出圆筒壁内的温度变化率： 根据傅立叶定律的表达式，任意处，单位长度圆筒壁的导热量为：这样，可将边

10、界条件式改写为：而圆筒壁的导热量为：在稳态导热过程中，可见在上述三个方程中，又三个未知数：、和，方程是可解的。解得： W/m或 W/m也可表示为：式中，传热系数，表示冷、热流体之间温差为1时，单位时间通过单位长度圆筒壁的传热量，W/(m·K)。单位长度圆筒壁的传热热阻为：根据可求出圆筒壁中的温度分布。对多层圆筒壁，热流体通过圆筒壁传给冷流体的热流量为：例2-5 课后自学。思考题 若平壁及圆筒壁的材料相同，厚度相同，温度条件相同，且平壁的表面积等于圆筒的内表面积，试问：哪一种情况导热量大？3-3 临界热绝缘直径工程上，为减少管道的散热损失，常在管道外侧覆盖热绝缘层或称隔热保温层。问题：

11、覆盖热绝缘层是否在任何情况下都能减少热损失？保温层是否越厚越好？为什么？分析圆管外覆盖有一保温层的情况。对于冷、热流体之间的传热过程，给定第三类边界条件，则传热过程的热阻为：下面分析一下随保温层外径的变化情况。对于一个管道进行分析时，中的前两项热阻的值是确定的，在选定了保温材料后，也就确定了。这样，的后两项热阻的数值随保温层的而变化。当，但对，随着的增大（保温层加厚），先是逐渐减小，然后又逐渐增大，有一极小值。（相应地，先增大，然后减小，有极大值）对，随着的增大，先是增大，然后减小，有一极大值。临界热绝缘直径：对于总热阻为极小值时的保温层外径。令 得 （只取决于和，不一定大于）从图中可见：（1

12、）当时，如果管道保温后的外径在之间，这时管道的传热量反而比没有保温层时更大，直到时，才起到减少热损失的作用。（2）当时，及均是的单调函数，用保温层肯定能减少热损失。的大小及和有关，主要取决于管道周围的环境，难以人为控制，但可以通过选用不同的保温材料来改变的值，使，以达到只要使用保温材料就能保证减少热损失的目的。（工程上，一般均会大于，只有当较小时，才需要注意临界绝缘直径的问题。工程上，尽可能要求）思考题 解释现象：某厂一条架空敷设的电缆使用时发现绝缘层超温，为降温特剥去一层绝缘材料，结果发现温度更高。答：电缆外径小于了临界热绝缘直径时，导热热阻随半径增大的变化率小于对流换热随半径减小的变化率，

13、使散热能力随半径增加而增加。剥去一层绝缘材料后，半径减小，散热能力下降，绝缘层温度更高。第五节 通过肋壁的导热第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：为了增加传热量，可以采取哪些措施？（1）增加温差，但受工艺条件限制。（2）减小热阻：1）金属壁一般很薄（很小）、热导率很大，故：导热热阻一般不大，可忽略。2）增大h1、h2，(但提高h1、h2并非任意的)。3）增大换热面积A。强化传热的基本思路：强化传热降低热阻降低串联热阻的最大项（主要矛盾）对流换热热阻 在表面传热系数不变的情况下，要降低对流换热热阻，就必须扩大对流换热面积。其方法之一就是对传热表面进行肋化（加装肋片）。肋片：指依附于基础表面上

14、的扩展表面 常见肋片的结构：针肋、直肋、环肋等应用：工程应用十分广泛，如汽车水箱、空调系统的蒸发器、冷凝器、锅炉的空气预热器、省煤器、散热器等。肋片导热的作用及特点：作用：增大对流换热面积及辐射散热面，以强化换热 特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热， 肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即： const 。 肋片分析的任务：确定沿肋片高度方向的温度分布；确定肋片的散热量。一、通过等截面直肋的导热（稳态情况下）等截面直肋：从平直基面上伸出，而本身又具有不变截面的肋。设肋片的高度为，宽度为，厚度为。肋片的横截面积为，肋片的横截面的周边长度为。肋基的温度为=const，金

15、属肋片的导热系数为，周围流体的温度为，肋片及流体的对流换热表面传热系数为。求：肋片中的温度分布及通过该肋片的散热量。采用直角坐标系，原点设在肋基处。为简化分析，作以下假定：（1）肋片的宽度很大不考虑温度沿该方向的变化肋片的温度分布是二维温度场，即，此时传热情况是：在方向，即沿肋片高度方向，热量从肋基以导热方式导入，随后热量继续沿方向传递；在方向，通过对流换热从肋片表面向周围介质散热。（2）导热系数和表面传热系数均为常数。（3）大，肋片沿厚度方向的温度变化很小 可认为任一横截面上的温度分布几乎是均匀的，截面上各点温度及截面中心的温度一致温度只是在沿肋片高度方向发生明显变化，温度分布是沿方向的一维

16、温度场。（4）肋片顶端视为绝热。从能量平衡入手分析该问题：在距肋基处，取一微元，研究该微元的能量平衡。在x处导入的热量，应等于处导出的热量和从表面传入流体的热量，即： 根据傅立叶定律和牛顿冷却公式有：由于是微元段，认为各处温度是相同的整理得：记 1/m 则 从导热微分方程式来分析上述问题：这里的肋片导热是常物性、有内热源、一维、稳态导热。（为什么按有内热源来处理？原因：肋片表面及周围流体的对流换热，可表示为：，而根据分析作出的简化是：，这样得出：，这是不合理的。所以在这种情况下，无法用导热及对流换热间的关系来描述出对流换热。为了反映出这部分对流换热的热量，这时可以把对流换热看作是及导热同时存在

17、的内热源，对流换热是从肋片带走热量，所以应为负的内热源。）导热微分方程为： 由于肋片沿x方向的对流换热量是变化的，所以内热源强度也沿x方向变化。对微元段分析其内热源强度：该段的对流换热量为：是正值则微元段 内热源强度为：则描述等截面直肋的导热微分方程式为：边界条件： 引入过余温度：则上述方程变为：解得等截面直肋温度分布为：令，得肋端的温度为：据能量守恒定律知，肋片散入外界的全部热流量都必须通过 x=0 处的肋基截面。据傅里叶定律得知通过肋片散入外界的热流量为：而 W几点说明：（1）上述推导中忽略了肋端的散热。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，可以获得较精确的结果。若必须考虑肋端对流散热时，可

18、采用一种简便的方法：即用假象高度代替实际高度，然后仍认为端面是绝热时的计算式来计算肋片的散热量。这种想法是基于：为了照顾端面的散热而把端面面积铺展到侧面上去。（2）上述分析近似认为温度场是一维的。对于肋片，当时，这样分析引起的误差不超过1%。对于短而厚的肋片，温度场是二维的，上述算式不适用。实际上，肋片表面上表面传热系数h不是均匀一致的，这时需要用数值解法。（3）敷设肋片不一定就能强化传热，只有满足一定的条件才能增加散热量。设计肋片时要注意这一点。（参考传热学俞佐平等编）例2-6 一铁制的矩形直肋，厚度，高度，宽度。已知肋片材料的导热系数，肋表面及周围介质之间的表面传热系数，肋基的过余温度。求

19、肋片的散热量和肋端的过余温度。解 ，因此可以用解析法进行计算。1 求肋片的散热量则 假象的肋高：2 求肋端过余温度二、肋片效率 （fin efficiency）由等截面直肋的导热分析知，肋片表面温度从肋基至肋端是逐渐降低的。所以肋片表面的平均温度必然低于肋基温度。肋片表面平均温度的高低，直接影响着肋片表面的对流换热量。于是，提出了一个如何评价换热壁面加肋后的散热效果问题。肋片效率就是衡量肋片散热有效程度的指标。肋片效率定义：肋片的实际散热量及假设整个肋表面都处于肋基温度时的理想散热量的比值。对等截面直肋，的计算：可见，肋片效率是小于1的。影响肋片效率的因素有：肋片的几何形状和尺寸、肋片材料的导

20、热系数、肋片表面及周围介质的表面传热系数。随的变化情况：当时，时，的值变化不大，趋于1。 这时可以认为及成反比关系（），。当值一定时，随着肋片高度 的增加，开始散热量增加迅速，后来逐渐减小，最后趋于已渐进值。（当超过2.7后，增加对散热量没有作用，这反映出肋片高度增大到一定程度后，如果再继续增高，就会导致肋片效率的急剧降低，达不到进一步增大肋片散热量的效果）数值大的肋片，其肋端的过于温度低 肋片表面的低 肋片的效率低。数值较小时，肋片具有较高的效率（参看课本图2-16）。所以，在一定时，取较小值是有利的。，小 取决于肋片的几何形状和尺寸。的肋片经济适用。（在某些场合下，采用变截面肋片，可提高，

21、也减轻肋片重量）实际上，一般将及的关系绘成图。这里给出了矩形直肋和等厚度环肋的及的关系图。图中横坐标已进行了变换。是肋片的纵剖面面积。对等截面直肋：，其中，对等候度环肋（剖面为矩形）：，其中，l 计算肋片散热量的一般步骤：（1）根据参数计算（按公式或者查图表）（2）计算（假定肋表面所有温度及肋基温度相等）（3）设计肋片：选择形状、计算；考虑质量、制造的难易程度、价格、空间位置的限制等。思考题1 肋片高度增加引起两种效果：肋效率下降及散热表面增加。因而有人认为，随着肋片高度的增加会出现一个临界高度，超过这个高度后，肋片导热热流量反而会下降。试分析这一观点的正确性。答：这一观点是不正确的，计算公式

22、表明，肋片散热量：，及的的双曲正切成正比，而双曲正切是单调增加函数，所以散热量不会随高度增加而下降。2 对于一等截面直肋，设肋根温度为，周围介质温度为，且。试定性画出沿肋高方向的温度分布，并扼要分析在设置肋片时，肋片高度是否越长越好。答：肋片温度随高度成指数关系下降。肋片高度增加时散热表面增加，单肋效率下降，虽然换热量也在增加，但因换热器的体积、重量和成本增加，肋片并非越高越好。肋片散热量及的双曲正切成正比，而双曲正切是以1为极值的单调增加函数，为1.5时，其值已超过0.9。第五节 通过接触面的导热两个固体表面直接接触时，即使宏观上看来是非常平整的表面，他们的表面也仍是粗糙的，是点接触，而非面

23、接触（接触只发生在一些离散的接触面上）。这样就给导热带来额外的热阻接触热阻。接触热阻(thermal contact resistence)：由于接触面间的不密实而产生的附加热阻。接触热阻导致在接触面上出现温差，对传热不利。接触热阻： K/W 在不变时，则 在不变时，则1 产生并影响接触热阻的主要因素：（1） 接触表面的粗糙度；（2） 表面接触时施加压力的大小；（3） 两接触面之间形成的空隙中气体的热物性。2 减小接触热阻的措施：（1）减小接触表面的粗糙度；（2）增加接触压力；（3）在两接触表面之间加一层具有高导热系数和高延展性的材料；（4）在接触面之间涂以具有良好导热性的油脂。（减小气体存在空间）。当接触热阻及接触固体的导热热阻相当时，应考虑接触热阻对导热过程的影响。思考题：1、一常物性、无内热源的单层长圆筒壁，内、外半径分别为和，其内、外表面分别维持均匀恒定的温度和。试分别就>和<两种情况，定性画出壁内温度分布曲线，并作简要解释。（6分）2、无限