专题五二次函数与幂函数(2021年高考数学一轮复习专题)

1、专题五二次函数与幕函数一、题型全归纳题型一幕函数的图象及性质【题型要点】1.巧识幕函数的图象和性质当>0时，函数在第一象 限内单调递增在直线R=I右侧，帑臥数 的指数由下向上逐渐增大当<0时，函数在笫一象限内单调递减2.幕函数的图象与性质问题的解题策略(1) 关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幕函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等.(2) 关于比较幕值大小问题，结合幕值的特点利用指数幕的运算性质化成同指数幫，选择适当的幕函数，借 助貝单调性进行比较或应用.(3) 在解决幕函数与苴他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思 想方法，即在同一坐标系下画出两

2、函数的图象，数形结合求解.【例1】已知幕函数f=2"%gn*)的图象与X轴$轴没有交点，且关于 >，轴对称，则加的所有可能 取值为【解析】因为慕函数y=xw2 2ffl 3(N*)的图象与X轴、Iy轴没有交点，且关于P轴对称，所以加一2加一30 且 7w22?/;-3(wN*)为偶数.由胪一2加一30 得一1 <n<3,又 JrIN*,所以加=1, 2. 3,当加=1 时， 加22加一3 = 123 = 4为偶数，符合题意：当m=2时，m2-2w-3=4-4-3 =-3为奇数，不符合题 意：当加=3时，胪一2加一3 = 963=0为偶数，符合题意.综上所述，加=1,

3、 3.【例2】幕函数>-=x)的图象过点(4,2),则幕函数y=x)的图象是()【解析】设幕函数的解析式为y=x,因为幕函数y=x)的图象过点(4, 2),所以2=4%解得=, 所以,其定义域为O, ÷)且是增函数，当OVXVl时，其图象在直线V=X的上方故选C.题型二 求二次函数的解析式【题型要点】求二次函数解析式的方法根据已知条件确龙二次函数的解析式，一般用待左系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：丿三个点的坐标卜宜选用一股式 顶点坐标)(巳知(对称轴FH宜选用頂点式 p 大(小)、与母两交点的EH选用冠刃【例1】已知二次函数T(X)满足2)=-h X-

4、I)=-1,且XX)的最大值是8,试确立此二次函数的解析式.【解析】解法一(利用一般式):"4+2b+c= 11设(x)=2 + bx+c(0)由题意得Va b+c= 1,Aac-Ira=_4,解得橋=4, 所以所求二次函数的解析式为a)=-4a-2+4x+7.C= 7.解法二(利用顶点式)：设1(x)=d(-加F+"(O).大I为夬2)=7( 1),夬一1)=一1,所以抛物线的对称轴为X= 一 =M所以1 1 2(1A2加=2又根据题意函数有最大值&所以 =&所以XX)=Q X一一 +8.因为2)=-h所以a X一一 +2 I2 丿I 2)S=-L 解得

5、a=4,所以4(x)=-4 X- + 8 = 4x2+4x+7.2丿解法三(利用零点式)：由已知得o + l = 0 的两根为x=2, X2=-E 故可设(x)+l=(x2)(x+l),4 ( -1) c,即fix)=ax2-a-2a-l.又函数有最大值8,即石=8.解得a=-4或a=0(舍去),所以所求函数的解析式为(x)= 4x2+4x+7.型三二次函数的图象与性质命题角度一 二次函数图象的识别问题【题型要点】确泄二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确左二次函数图象的开口方向.二是看对称轴和最值，它确龙二次函数图象的具体位宜.三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与轴的

6、交点、与X轴的交点，函数图象的最髙点或最低点等.从这三个方而入手，能准确地判断出二次函数的图象.反之，也可以从图象中得到如上信息.【例l(2020陕西榆林一中模拟)如图是二次函数y=axbxc图象的一部分，图象过点出一3, 0),对称 轴为x= l.给出下面四个结论：2>4ac:2ab=l；a-b+c=0:5a<Z>.英中正确的结论是()A. B. ®®C.D. ®【答案】B【解析】因为二次函数的图象与X轴交于两点，所以b2-4acX),即b2>4ac,正确：对称轴为X=-1,即 寺=1, 2a-b=0,错误：结合图象，当x= l时，JAo

7、,即ab+c>Q,错误：由对称轴为x= 1知，b=2a,又函数图象开口向下，所以av,所以5a<2a,即5a<b,正确.故选B命题角度二二次函数的单调性及最值问题【题型要点】二次函数的单调性及最值问题(1) 类型：对称轴、区间都是给立的：对称轴动、区间固左：对称轴定、区间变动.(2) 解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴, 结合配方法，根拯函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.【例1】求函数+2-+1在区间一 1, 2上的最大值.【解析】y(x)=+)2+l品所以介)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为X=-G当V*即 a&

8、gt;+时,y(x)ma =(2)=4+5 一当一 即处一削寸，(x)max = 一 1)=2 2,4 + 5, a>-22, -2【例2】函数金)=aF+(a3)x+l在区间一 1, +-)上是递减的，则实数a的取值范围是【解析】当a=0时，Hx)=-3x+l在一 1, +©上递减，满足条件.a<0当a0时，Xx)的对称轴为X=守，由心)在T，+8)上递减知<3-a 解得-3<0.综上，a的取值范围为一3, 0故填一3, 0命题角度三 一元二次不等式恒成立问题【题型要点】1不等式恒成立求参数取值范围的思路一是分离参数：二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为

9、求函数的最值或值域.2. 记牢一元二次不等式恒成立的条件6T>0,(l)a2+bx+c>0(a0)恒成立的充要条件是 Ib4ac<Q.6f<0,a2+b+cv(a)恒成立的充要条件是仁 4 Cb一4ac<Q.【例1】已知函数J(X)=X2+jx-i,若对于任意xM,加+ 1,都有y(Rv成立，则实数加的取值范围 是.【解析】作岀二次函数金)的草图，对于任意x加，加+1,都有XX)V0,则有ys)v°'即,f (加+ 1) <0>/W2+?/2-1<0»(加+ 1) 2-n (w + l) IvO,解得一 <7W&

10、lt;0.【例2】已知函数A)=2+2x+l,x)>x+*在区间一3, 1上恒成立，则斤的取值范囤为【解析】由题意得x2+x+l>k在区间一3, 1上恒成立 设能)=x2+x+1, XT, 1,则 g(X)在一3, 1上递减所以 g(x)mm=g(T)=l.所以XI.故斤的取值范用为(一 1)题型四分类讨论思想在二次函数问题中的应用【题型要点】二次函数是单稣函数(在左义域上只有一个最值点的函数)，X=寺为其最值点横坐标，任英 两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间 的位巻关系、二次函数开口方向进行分类讨论，研究其最值【例1】已知

11、函数用)=x2+2c + l在区间一 1, 2上有最大值4,则实数的值为.【解析】：(x)=(x÷l)2÷l-.(1) 当=0时，函数金)在区间一 1, 2上的值为常数1,不符合题意，舍去；(2) 当QO时，函数Xx)在区间一 1, 2上是增函数，最大值为(2)=8+l=4,解得=|；(3) 当GVO时，函数夬x)在区间一 1, 2上是减函数，最大值为夬一 1)=1 一=4,解得心一3.【例2】已知函数x)=-2zx÷l在区间2,习上单调且有最大值为8,则实数r的值为.【解析】 函数x)=-2tr+l图象的对称轴是x=6 函数在区间2, 5上单调，故芒2或5.若2

12、,则函数心)在区间2, 5上是增函数,9故Xx)ma=y(5)=25 10r+l = 8,解得f=g若r5,则函数沧)在区间2, 5上是减函数，3 93此时fc(x)m3=y(2)=44r+l = 8,解得=了与5矛盾.综上所述，综上可知，的值为©或一3.二.高效训练突破一、选择题1. (2020洛阳一中月考)抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，与X轴的两个交点分别位于原点两侧, 则, b、C的符号为()A a<0. b<0. c<QB. <0, b>0, c>0C. <0, b<0, c>QD <0, b>0

13、, CVo【解析】由题意知抛物线开口向下，故v.由抛物线与X轴的两个交点分别位于原点两侧得do.所以c>0.再由顶点在第一象限得一守X),所以b>02. 二次函数Xx)=2+加+5满足条件-1)=3)则几2)的值为()B. 6A5C. 8D. 与a, b的值有关 1 + 3【解析】因为函数J(X)=ax2+bx+5满足条件夬一 1)=夬3),所以J(x)=ax2+bx+5的图象关于X=-=I 对称，则y(2)=X0)=5.故选A.3. 如图是V=XS ®y=XbI (3)v=ax在第一象限的图象，则a, S c的大小关系为()A. c<b<aB. a<b

14、<cC. b<c<a D a<c<b【解析L根据幕函数的性质，可知选D.4. (2020辽宁第一次联考)设函数y)=x若Xd)刁3),贝J()A a2>b2B. a1<trC. a<bD. a>b【答案】A.【解析】：函数/(X)=J=(W)L令=,易知y=k在第一彖限为单调递增函数.又),所以a2>b2. 故选A.5. 对任意的x-2,l.不等式W+2-0恒成立，则实数的取值范围是()A(8, 0B. (8, 3C0, +)D3, ÷)【解析】设=2+2(x2,1),英对称轴为X=-I,所以当X=I时，金)取得最大值3 G

15、所以30,解得Q3.故选D.6. (2020石家庄市模拟(一)若函数/(x)=x2+x+b的图彖与X轴的交点为(1, 0)和(3, 0),则函数介)()A.在(一8, 2)上递减，在2, +oo)上递增B.在(一co, 3)上递增C.在1, 3上递增D.单调性不能确宦【解析】：由已知可得该函数图象的对称轴为x=2,又二次项系数为IX),所以XX)在(一co, 2)上是递减的， 在2, +oo)上是递增的.7. (2020福建连城一模)己知函数(x)=2x2-x+l(<0),若XlVXx+x2=0,则(x)与金2)的大小关系是 ()A. )=(X2)B. MX2)C. Xx1)<(x

16、2)D.与X的值无关【解析】：由题知二次函数XQ的图象开口向下，图象的对称轴为x=£因为X1+X2=O,所以直线X=X1, X=R关于直线X=O对称，由Xl<A-2,结合二次函数的图象可知XXl)勺(X2). 258. (2020甘肃甘谷一中第一次质检)若函数y=-3-4的圧义域为0, 小值域为- ,-4 ,则加的取值范围是（）AO, 43（3、25【解析】：二次函数图象的对称轴为x=y且/I-=-y, 3）=0）=-4,结合函数图象（如图所示）9. (2019-襄阳五中期中)已知, b, C9 都是常数，a>b, c>d.若(x)=2 019-(-)(-b)的零点

17、为G d, 则下列不等式正确的是()A a>c>b>dB. a>b>c>dC. c>d>a>bD c>a>b>d【解析】x）=2 Q19-（-d）（-b）= -2+（+A）-+2 019,又»=»=2 019, G d 为函数金）的零点，且a>b, c>d.所以可在平而直角坐标系中作出函数几力的大致图象，如图所示，由图可知c>>b>d.故选D.10. （2019杭州测试）若函数x）=-2x÷l在区间a, +2上的最小值为4,则实数的取值集合为（）A. -3,3B.

18、 -L3C. -3,3D. -1, -33【解析】因为函数XX）=X2-2x+l=-l）2的图彖的对称轴为直线X=L x）在区间e +2上的最小值为 4,所以当 al 时，金皿=/S)=( 1)2=4, =-l(舍去)或 =3;当 +2l,即 1 时，金)迥=/ +2)=(+l)2=4, =l(舍去)或 =-3:当 <l<+2,即一 1 VaV 1 时，(x)mm=/(I) = O4.故 的取值集 合为一3,3.故选C.二、填空题1二次函数的图象过点(H),对称轴为x=2,最小值为一 1,则它的解析式为.【解析】依题意可设XX)=(-2)2 l(>0),又貝图象过点(0,1)

19、.所以4 1 = 1,所以a=*,所以x)=(-2)2-l.2. (2020咁肃兰州一中月考)已知函数3是幕函数，且在x(0. +oo)上递减，则实数m【解析】：根据幕函数的左义和性质，得胪一加一 1 = 1解得加=2或M= 1,当M=2时，x)=x3在(0, +oo)上是减函数，符合题意；当加=一1时，y(x)=l在(0, +oC)上不是减函数，所以ZW=2.3. 设函数金)=皿2_皿一 1,若对于xr, AV)<o恒成立，则实数加的取值范围是.MV0,【解析】：当加=0时，T(X)=-XO,符合题意当0时，金)为二次函数，则由)<oIM成立得I n即 lJVU,MV0,Z 、，

20、、C解得一4SV0.故实数加的取值范围是(一4, 0.I (-?n) 2-4m× (-1) <0,4. 若函数金)=W-2x+l在区间a,卄2上的最小值为4,则a的取值集合为【解析】：因为函数-v)=Xl-2x+ I=(X-I)2,对称轴x=l,因为(x)在区间a, a+2上的最小值为4,所以当 1 时，y(x)mm=y(a)=(a 1)2=4,解得 a= 1(舍去)或 a=3,当 a+2l,即 a-l 时，Xx)+2)=(÷ 1 )2=4,解得 a=l(舍去)或 a= 3,当 *1勺+2,即一IVaVI 时，)mm=y(I)=O4,故 a 的取值集合为一3, 3.5

21、. (2020重庆(区县)调研测试)已知函数y) = -2x2 + WA- + 3(0w4, 0<-l)的最大值为4,则加的值为.【解析】：v) = 2x2+nix +3 = -23,因为0w4,所以Ol,所以当X=芋时，血取得最大值，所以背+3=4,解得w=22.6 (2019-河北师大附中期中)若函数&) = 2-2x÷3在一1, +oo)上单调递减，则实数加的取值范圉为【解析】当加=0时，(x)=-2x+3在R上单调递减，符合题意；当XO时，函数金)=wx2-2x+3在-1. +oo)上单调递减，只需对称轴A-=-b且m<Q,解得一 13<0,综上，实

22、数加的取值范囤为-1,0.7.泄义：如果在函数y=x)k义域内的给立区间e切上存在xo(v°vb),满足冗士“尹辺儿,则称 Da函数y=)是S，可上的“平均值函数“，Xo是它的一个均值点，如Iy=J是一 1, 1上的平均值函数，0就是 它的均值点.现有函数XX)= W+mr+1是一 1, 1上的平均值函数，则实数加的取值范用是.【解析】：因为函数x)=+w + 1是一 1, 1上的平均值函数，设X。为均值点，所以f I ：| =?M=Xxo)»即关于XO的方程一ao+wo÷ 1 =In在(1, 1)内有实数根，解方程得XO=I或XO=TM-L所以必有一 1V加一I

23、vl,即0<w<2,所以实数加的取值范围是(0, 2).三、解答题1.(2019杭州模拟)已知值域为一 1, +oo)的二次函数/(x)满足夬一l+x)=( 1一力，且方程用)=0的两个实 根 XI, X2 满足PrI-X2=2.(1) 求(x)的表达式：函数g(x)=(x)-b在区间-1,2±的最大值为犬2),最小值久一 1),求实数上的取值范围.【解析 由(-l+x)=(-l-)可得y(x)的图象关于直线X=-I对称，设(a)=a(x÷ 1 )2+7»=<7X2+2ax÷a +%0),由函数Xx)的值域为一1，+8),可得A=-I,

24、根据根与系数的关系可得x1+x2=-2, xlx2=i +% 所以X】_X21=寸(XI +x2)24X1X2=、y严=2,解得 =l,所以y)=x2÷2x.(2) 由题意得函数或T)在区间1,2上单调递增，又g(x)=x)-Ax=-伙一2讥所以g(x)的对称轴方程为XIc-22=V，则-b即®,故斤的取值范囤为(一8, 0,2. (2020Jl宁第一次联考)已知幕函数XX)=(刖一I)?/ T3(加GR)在(0, +oo)上单调递增.(1) 求加的值及沧)的解析式；若函数或I)= 一茁(X)2+2x+l-。在0, 2上的最大值为3,求实数的值.【解析】：幕函数金)=("Ll)2'M3(w7R(0, +©上单调递增，(?；/ 1)