椭圆与双曲线的对偶性质100条A4

1、1 |PF11 |PF2 | = 2a222 标准方程：笃爲=1|PFi|a2 b23. e：1d14. 点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角5. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去 长轴的两个端点6. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离7. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切&设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则 PF1F2在边PF2 （或PF1）上的旁切圆，必与 A1A2所在的直线切 于 A2 （或 A1）.Pl - P2 时x2 y29椭圆 牙"（a>b>o）的两个顶点

2、为 A（-a,0） ,A2（a,0），与y轴平行的直线交椭圆于a bAiPi与A2P2交点的轨迹方程是10若Po（x。, y。）在椭圆11若Po(xo, yo)在椭圆2 2x_i_=1a2 b22 2x yXoX yoy2 2 =1上，则过Po的椭圆的切线方程是 -020 1.a ba2 2笃每=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为a bb2Pi、P2,则切点弦PlP2的直线方程是竽辔“a b22x y12. AB是椭圆2a b=1的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，贝y kOM kAB13若Po ( xo, yo )在椭圆14若Po (xo, yo)在椭圆2 2 . y_ a2

3、b22 2 0 . y_ a2=1内，则被15 若 PQ是椭b2x2 + a2 b=1内，则过2y_2=1 (12aPo所平分的中点弦的方程是 2a2x2axoxyoy2xoyo22abb2_ 2 .a2+ " wb22Po的弦中点的轨迹方程是 2= -y°ybo ） 上对中a2 b2心张直角的弦，则1 12(n =|0P|,r2 H OQ |). b2 2x_. y_2aa216 若椭圆b2（ a> b> 0）上中心张直角的弦LRa2 B2； 皿2 b4B2ba2A2 b2B217.给定椭圆 C1 : b2x2，a2y2 二 a2b2 (a>b>o

4、), C2:给定的点Fo（xo, yo）,它的任一直角弦必须经过 C2上一定点M（所在直线方程为b2x2a2y22 ,2 / a - b (_22 xo,abAx By =1 (AB 丸),则2 _b2-(22 ab)，则(i)对G上任意a b2,2a -b?yo).a2 b（ii）对C2上任一点Po（xo,y°）在G上存在唯一的点 M，使得M的任一直角弦都经过R点.则直线BC有定向且kBCb 0 (常数)._ 2a y。21 m b2 .1 -m aB,C两点,2 2x y18.设P)(x0,y0)为椭圆(或圆)。二 2=1 (a>0,. b> 0)上一点，P1P2为曲

5、线C的动弦，且弦P0P1, P0P2a b斜率存在，记为ki, k 2,则直线P1P2通过定点M (mx(),-my0) (m = 1)的充要条件是 k1 k22 219过椭圆 笃与=1 (a>0, b>0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于a b2220.椭圆笃爲=1 a b的焦点角形的面积为22 2x y25.椭圆一22a> b> 0)上存在两点关于直线a2b2l : y = k(xx0)对称的充要条件是2x0/2 匚22:(a_b )2.2. 2a b k二，则椭圆(a >b > 0)的左右焦点分别为 F1, F 2,点P为椭

6、圆上任意一点.F1PF22a n2孑 b2yS fPF b tan , P( 1 c b tan , tan)F122 c；2 c 2x2 y221 若P为椭圆 2 =1 ( a> b > 0)上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2是焦点，.PF1F2 =:a b任 a Ca PZPF2F- =-,贝Utan cot .a c 222 222 .椭圆'与=1 (a> b > 0 )的焦半径公式：a b|MF1pa ex0 ,| MF? |=a-ex0( F'-cQ) , F2(c,0) M(x0,y°).2 223.若椭圆笃*笃=1 (a&g

7、t; b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为L,则当a b0 v e< 2-1时，可在椭圆上求一点 P,使得PF1是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项2 224 . P为椭圆笃每=1 ( a > b > 0 )上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则a b2a -1AF21PA| I PF1匸2a | AR |,当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立26. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直

8、.x =acos2128. P是椭圆(a> b> 0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2.ly=bs in®1+si n2®2 2 2 229 .设A,B为椭圆与告二k(k 0,k=1)上两点，其直线AB与椭圆令召=1相交于P,Q ,则a ba bsin2:,其中AP =BQ.2 2x y30 .在椭圆2=1中，定长为 2m (ov m< a)的弦中点轨迹方程为a bb2b2x2ttan厂2，当 y = 0 时，：二 90".a y2 231.设S为椭圆冷 2 =1 （a> b >0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭

9、圆上移动，记|AB|= I ,a b2aM （x。，y。）是 AB 中点，则当 I 一 GS 时，有（X°）maxcIc(c a2 -b2, e )；当 I S 时，有2ea(Xo) maxV4b2 ,（x0）mi n =0.2b2 2x y2 22 2232.椭圆 2 =1与直线Ax By 0有公共点的充要条件是 A a B b_C .2 b22 2（x* 纠 1与直线 A x B y C有公共点的充要条件是a2b22By。C）.2x y2 =1 （a>b>0）的两个焦点为 F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在b33 .椭圆2 2 2 2A a B b

10、- (Ax0234.设椭圆 2aPF1F2 中，记.F1PF2a斗si not= a,NPF1F2 = B,NF1F2P=Y，则有sinx2，a2y2二a2b2 (a>b> 0)的长轴的两端点c.亠 sin aA1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线35. 经过椭圆b 相交于 P1 和 P2，则 | PA11 | PA, b2.2 2x y36. 已知椭圆 +=1 (a> b>0) , O为坐标原点，a b1 2 二丄丄；(2) |OPf+|OQ|2的最大值为a b2 2 2 2 是经过椭圆b x a y 贝V | AB|2=2a|MN |.2 2 2 2是经过椭圆b x

11、 a y1 1 1=+2 2 , 2 -a b2x y39.设椭圆 =1 (a>b>0) ,M(m,o)或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过b亠|OP| |OQ|37. MN于MN的弦，38. MN则a|MN| |OP2a2一条直线与椭圆相交于P、2 24a b2 2a bQ为椭圆上两动点，且 OP _ OQ . （1）2b2；(3) S OPQ的最小值是一a 2 .a + b2 2二ab （ a> b > 0）过焦点的任一弦，若 AB是经过椭圆中心 O且平行2 2-a b （a>b> 0）焦点的任一弦，若过椭圆中心 0的半弦OP _ MN

12、,P、Q两点，则直线A1P> A2Q（A1 ,A2为对称轴上的两顶点）的交点N在直线I :玄2X =(或mb2 y）上.m40. 设过椭圆焦点相应于焦点F的椭圆准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别交41. 过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点P、Q, AA2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M , A2P和A1Q交于点N，贝U MF丄NF.2 27=1，则斜率为k（k丰0）的平行弦的中点必在直线 I : y = kx的共轭直线y = k x上,a b42.设椭圆方程而且kk二b22ax2C、D为椭圆 &

13、#39;a| PA| -| PB | b2cos2 P 十a2sin2 PCD相交于P且P不在椭圆上，则2222-| PC | '| PD | b cos G +a sin «43.设b= 1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为：，直线ab与44.分线为2 2x y45.x2 y2已知椭圆 2 -1 (a> b > 0)，点P为其上一点F1, F2为椭圆的焦点，.F1PF2的外(内)角平a bl ,作F1、F2分别垂直I于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S= a2(b2y2 (a-ce)(x c)2 (x2 y2 cx)2 = ce(x c)2).设厶ABC内

14、接于椭圆丨，且AB为】的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，D为EF的中点.形成的轨迹方程是I分别交直线AC、BC于E和F,又D为l上一点，贝U CD与椭圆丨相切的充要条件是 2 2x y46. 过椭圆 2 =1 (a> b> 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点,a b交x轴于P,贝U PF e .I MN I 2弦MN的垂直平分线47.设A (xi ,yi)是椭圆22才舒1( a> b> 0)上任一点，过A作一条斜率为b2a2%的直线L,又设d是原点到直线 L的距离，x2 y248. 已知椭圆2a br),r2分别是A到椭圆两焦点的距离，贝Urf2ab.a

15、> b> 0)2才X和一2a2乍"(0<2)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D 四点，,AB I =|CD I .2 249. 已知椭圆冷爲=1a ba2 _b2 于点P(x0,0)，则aa> b> 0)a2 -b2:x° ：,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x轴相交2250. 设P点是椭圆2 '每a b2b2则(1)|PFjPF2|.(2)1 + cos B51 .设过椭圆的长轴上一点=1 ( a>b> 0) 上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记.F1PF2 v2 yspf1f2 =b tan

16、.B ( m，o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结a - ma2AP和AQ分别交相应于过 B点的直线MN : x = n于M, N两点，则.MBN =9022 .a + m b (n + a)'.PF1F252.=1 ( a> b> 0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线， E、F是椭圆两个焦点，e是离心率，点 P L ,若 EPFab,则是锐角且sin :-e或乞arcsine (当且仅当|PH | 时取等c号).53.22x 丄yL是椭圆一2aa> b> 0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点，点P L , e是离心率,-EPF二:-,H是L

17、与X轴的交点abc是半焦距，则是锐角且sin-e或-arcsine(当且仅当| PH |=c时取等号)2 254. L 是椭圆 7 7 =1 (a ba> b> 0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点 P L ,EPF =:-，离心率为e,半焦距为22b / 22c,则为锐角且sin-e或- arcsine (当且仅当| PH卜 a c c时取等号)2 2x y55.已知椭圆 +=1 ( a> b> 0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于 A、B两点，将A、Ba b与椭圆左焦点2 人 22F1连结起来，则b2 <| RA| | F1B忙(* ；

18、)(当且仅当 AB丄x轴时右边不等式取等号,当且仅当A、56 .设B三点共线时左边不等式取等号)2x . yaA、B是椭圆21 ( a > b > 0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PA：，.PBA £ , . BPA =,22ab | cosa | e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) | PA| 22-.(2)a -c cos ；222ab,cot .tan 二tan ： =1-e2.(3) S PAB 2b -a2 257设A、B是椭圆笃爲"(a>b> 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且a b2Xb的横坐标Xa -Xb二a

19、 , (1)若过A点引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，则.PBA=/QBA ; (2)B引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，则.PBA QBA=180l2 258 设A、B是椭圆笃爲=1 ( a> b > 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，a b若过A点引直线与这椭圆相交于2 PBA =/QBA，则点A、B的横坐标Xa、Xb满足 X x a ； (2)若过B点引直线与这椭圆相交于2Q两点，且 PBA . QBA =180',则点A、B的横坐标满足 x x a .'x2 y2''''59设A, A是椭圆 2 -1的长轴的两

20、个端点，QQ是与AA垂直的弦，则直线 AQ与AQ的交点a b2 y_1 b2 -1.書二1 ( a >b8ab22(a2 b2)丁R|AB| |CD()a b2xP的轨迹是双曲线-a2x60 .过椭圆'a2 261.到椭圆'七a b妹圆(x _a)2 y2 = b2.2 262 到椭圆笃'每a b=1Xa、若过(1)P、Q两点，(若B P交椭圆于两点，贝U P、Q不关于x轴对称)(a> b> 0)(a> b> 0)迹是姊妹圆(x二a)2 y2 = (b)2.ee2 2X- y 胡(a b(x弓)2 y2e63到椭圆a>b> 0)

21、的轨迹是姊妹圆64 .已知，且P、b > 0 )的左焦点F作互相垂直的两条弦 AB、CD则a c两焦点的距离之比等于-b的长轴两端点的距离之比等于的两准线和x=(¥)2 (e为离心率)e2X yP是椭圆亍=1 ( a > b > 0)a b(c为半焦距)的动点 M的轨迹是姊a -cb轴的交点的距离之比为(c为半焦距)的动点 M的轨-c (c为半焦距)的动点b上一个动点，A, A是它长轴的两个端点，且2 . 2 2x b yAQ AP, AQ - AP，则Q点的轨迹方程是 4a a65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比

22、例中项2 2 266.设椭圆 笃匕 =1 ( a> b > 0)长轴的端点为 代A,P(X1,y1)是椭圆上的点过 P作斜率为一1的 a ba y1直线I，过A, A'分别作垂直于长轴的直线交 I于M , M ',则(1) |AM | AM | = b2. (2)四边形MAAM面积的最小值是2ab.x2 y2、已知椭圆 2 =1 ( a> b>0)的右准线I与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相a bB两点，点C在右准线I上，且BC_x轴，则直线AC经过线段EF的中点.OA、OB 是椭圆(X：)a2ab2线AB必经过一个定点 (267.交于A、6

23、8.2y2-1 ( a> 0,b> 0)的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则(1)直ba2 +b2 '0) .(2)以O A、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是/ ab、2 1 2 / a6、2 / c、 (xp 2) y 二匕 2) (x").a ba b(x _a)269. P(m, n)是椭圆 宀a2 2 22ab m(a -b )2y_.1b2 1,2(a>b>0) 上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则(1)直线AB必经过一个定点(a2 b22 2也0鲁).(刀以p A、p B为直径的两圆的另一个交点q的轨迹方程是2 2 2/

24、ab +a m、2 丄/b n 、2(x 22 ) (y 22)a +ba +b70. 如果一个椭圆短半轴长为24222= ab且 y”.2 2 2(a b )b,焦点F2到直线L的距离分别为d2，那么(1) djd2 =b2，且F1、F 2在L同侧=直线L和椭圆相切.(2) d1d2 b2，且F1、F2在L同侧=直线L和椭圆相离，(3) d1d2 : b2，或F1、F2在L异侧二 直线L和椭圆相交.2 271. AB是椭圆 务爲=1 (a> b>0)的长轴，N是椭圆上的动点，过 N的切线与过A、B的切线交a b于C、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点2 2 P(x0, y

25、76;)为椭圆务 =1a b任一弦，当弦 AB22 , 2 2 2 2、a b -(ay。 b x° )72 .设点P(xo,yo)的(|PA| | PB |)max(| PA| |PB|)minb2a2b2 -(a2y。2 b2x。2)M的轨迹方程是 x2 4a2y2 = 1(y厂0).2 2 x y a > b > 0)的内部一定点，AB是椭圆 a行(或重合)于椭圆长轴所b2在二1过定点直线时.当弦 AB 垂直于长轴所在73.74.75.76.77.b2椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切 椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端

26、点椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点78. 椭圆焦三角形中79. 椭圆焦三角形中80 椭圆焦三角形中离成比例81 椭圆焦三角形中段成比例.,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线82

27、.椭圆焦三角形中 径所在直线平行,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆83. 椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 轴的长84. 椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线和椭圆长轴为直径的圆的切点85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86. 椭圆焦三角形中87. 椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线 ,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处

28、的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦占八、八、89.已知椭圆22xy22=1(a0, b 0)(包括圆在内)上有ab点P ,过点P分别作直线y二一 x及aK y - x的平行线，与直线 0P分别交于R,Q,0为原点，则：.a(1) |OM |2 |ON |2二a2 ； (2) |OQ|2 |OR|2=b2.90.过平面上的P点作直线h:y= x及l2:y = -x的平行线，分别交x轴于M,N，交y轴于R,Q . aa2 2(1) 若 |OM | 2 |O | 2a=2，则 P 的轨迹方程是 笃 爲=1(a 0,b 0) .(2)若 |OQ |2 - |OR|2二 b2，则 Pa b2 2的

29、轨迹方程是 笃与=1(a 0,b 0).a b2 2x y91 .点P为椭圆2 =1(a 0,b 0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过 P引x轴、y轴a bK的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线y - x于Q,R，记 OMQ与 ONR的面积为S,S2，则：aS1 S2ab92 .点P为第一象限内一点， 过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N ,交直线y二一卫x于a abQ, R ,记 OMQ 与 ONR的面积为S,S2 ,已知S2,贝U P的轨迹方程是22 22=1(a 0, b 0).a b双曲线1. |PF1|PF2|=2a222. 标准方程：22=1|PFi|a2 b

30、23. e 1 d14. 点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角5. PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去 长轴的两个端点6. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 7. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切&设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则PF1F2在边PF2 (或PF1)上的旁切圆，必与 A1A2所在的直线切于A2 (或A1).x2y2Pi、9.双曲线 2 =1 (a> 0,b>0)的两个顶点为 Ad-aQ) ,A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于a b22x y + =12

31、. 2a b210. 若P°(X0,y。)在双曲线 勺-爲二1 ( a>0,b>0) 上，则过P。的双曲线的切线方程是 答 办a ba2 2x y11. 若P0(X0,y°)在双曲线 2 =1 (a>0,b>0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切点为a bP2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是x2b2Pi、=1.P2,则切点弦PiP2的直线方程是x°xy° y12. AB是双曲线2 x 2 a2a2y-=1 b2 1b2 =1(a> 0,b > 0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M为AB的中点，则kOM kAB -b

32、2 . a13 .若2xPo(y°)在双曲线a(a > 0,b > 0 )内，则被Po所平分的中点弦的方程是x°x y° ya2b2b22x14 .若P°( x°, y°)在双曲线a(a > 0,b > 0 )内，则过Po的弦中点的轨迹方程是y2x)xy°yb2b215 .PQ是双(b > a > 0 ) 上对中心张直角的弦，则12r11-2(r1a b2x16.若双曲线一2 -aAr2=|OP|j2 =|OQ|).21- =1 (b> a >0)上中心张直角的弦 L所在直线方

33、程为 Ax B 1 (AB = 0),则(1) b1 A2 d2,2.a4A2 b4B2厂 AB ;(2) L 二b|a2A-b2B2 |2,22222222222a 十 b217. 给定双曲线 C1: b x -a y 二a b ( a>b>0) , C2: bx-ay=( 22 ab),则(i)对 G上任a -ba2+b2a2 +b2意给定的点Po(xo,yo),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M(r 2xo,22yo).a -b a -b(ii)对C2上任一点P'o(Xo',y。')在G上存在唯一的点 M',使得M'的任一直角弦都经过

34、P)'点.2 2x yP0P1, P0P2 斜率18. 设Po(x。，yo)为双曲线 2 =1 ( a>0,b>0) 上一点，P1P2为曲线C的动弦，且弦b2 . aa b存在，记为k1, k 2,则直线P1P2通过定点M (mxo, -my。)(m =1)的充要条件是 心h二匚上1 - m2 219.过双曲线 笃-再=1 (a>0,b>o)上任一点A(xo,y°)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,Ca b两点，则直线BC有定向且kBC2a yob xo (常数).2 2x y20.双曲线一27=1a b(a> 0,b > 0)的左右

35、焦点分别为Fi, F 2,点P为双曲线上任意一点 / F-iPF ,则双曲线的焦点角形的面积为S氐PF? =b2cot?,卩(牛*2+怡门冷三血？).221.若P为双曲线 2 =1( a> 0,b> 0)右(或左)支上除顶点外的任一点，Fi, F 2是焦点，卩卩店2=，a bc a-PF2F1 =:，贝ytan cot(或x2c a22x y22. 双曲线一22=1a b当M (xo, yo)在右支上时，当M(xo,y。)在左支上时，2 2 =tancot兰).22 c a 22(a> 0,b> 0)的焦半径公式：(F-gO) , F2(c,0)| MFi = exo

36、a , | MF2 |二 exo - a.| MFi = -exj * a , MF2 = ex° - a .23. 若双曲线y_ =1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L,则当a2 b21 v e< .2 1时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2 224 . P为双曲线 笃 y2 =1 ( a > 0,b > 0 )上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则a2 b2 AF2 -2a < PA PF1 ，当且仅当A,F2, P三点共线且P和代F?在y轴同侧时，等号成立.2

37、2x y.25 .双 曲线 2=1 ( a > o,b > 0)上存在两 点关于直线I : y = k(x - Xo)对称的充要条 件是a bx2 (a b )0 ' 2 , 2 a -b k26. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直.27. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂x =asec28 . P是双曲线(a> 0 , b > 0)上一点，则点 P对双曲线两焦点张直角的充要条件是y =bta n®e211-tan22 2 2 2x

38、yxy29.设A,B为双曲线一22=k (a>0,b>0, k0,k=1 )上两点，其直线AB与双曲线一22=1abab相交于P,Q ,则AP二BQ.30 .在双曲线中，定长为 2m ( m)2 221-(笃弓)0)的弦中点轨迹方程为m厂2% ,其中COS a sin a.2 2,b x ttan牙万，当a y-90 .31 设S为双曲线2 2x y2 牙=1( a> 0,b > o )的通径,a b定长线段L的两端点A,B在双曲线上移动，记|AB|= I ,M (Xo, yo)是AB中点，则当I _ GS时，有(X。)2aI222 cmin(ca b , e );当

39、I "S 时，有c2eaa 2(x0 )min4b I .2b2232.双曲线 笃-当=1( a>0,b > 0)与直线Ax By0有公共点的充要条件是A2a2 - B2b2乞C2.a b(x -x°)20, (yy0)233 .双曲线 一尹昇 1 ( a > 0,b > 0)与直线 Ax B C=0有公共点的充要条件是abA2a2 _B2b2 兰(Ax0 +By0 +C)2.22x y34.设双曲线 2 =1 (a> 0,b > 0)的两个焦点为 F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，a bsin 二在厶 PF1F2中，记

40、 F1PF , , PF1FF1F2 '，则有e.土(sin f -sin P) a2 235. 经过双曲线 2 2 -1 (a>0,b>0)的实轴的两端点 A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线a b相交于 P1 和 P2,则 | PA11 | PA, b2.2236. 已知双曲线与-1a b1 1 1 12= T _ ； (2)|OP |2 |OQ |2 a2 b22x37. MN是经过双曲线-a(b> a > 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 OP丄OQ . (1)4a2b2a2b2|OPf+|OQ|2的最小值为 一$ ;(3) S op

41、q的最小值是 .b -ab -a2每=1 (a> 0,b> 0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心 b2O且平行于MN的弦，则|AB| =2a|MN |.22x y38 . MN是经过双曲线 2=1 ( a> b > 0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心 O的半弦a b2 1 1 1OP _MN ，贝U22 厂a|MN | |OP | a bx239.设双曲线-a七=1 (a> 0,b >0) ,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M弓I一b2条直线与双曲线相交于 P、Q两点，则直线 Ap A2Q(A1 ,A2为两顶

42、点)的交点N在直线I :上.m40.设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.41.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M , A2P和A1Q交于点N，贝U MF丄NF.2 2x y22二1,则斜率为k(k工0)的平行弦的中点必在直线 I : y=kx的共轭直线y=kxa b42.设双曲线方程上，而且kk =5.a2 2x y43.设A、B、C、D为双曲线一22a b=1 (a> 0,b> o)上四点,A

43、B、CD所在直线的倾斜角分别为 ：，：，直线AB与CD相交于P且P不在双曲线上b2cos2 ： -a2sin2 -.2 2 2 2b cos -a sin :x2y244.已知双曲线 2 -1 (a> 0,b >0),点P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点， RPF?的外(内)a b角平分线为I，作F1、F2分别垂直I于R、S,当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是22 r/r/2 丄 2、22 丄r 42 />.,.322 .2y a (a b(x -c)(ab )x -b c a c (x -c)y(ab c y ).l为AB的共轭直径所在的直线，l分别 D为E

44、F的中点.2x45 设 ABC三顶点分别在双曲线 】上，且AB为丨的直径， 交直线AC、BC于E和F，又D为I上一点，则CD与双曲线:相切的充要条件是2x46.过双曲线a直平分线交x轴于P,47.设 A (xi ,yi)2-y2 =1 (a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于b 则空Ue.|MN |22 2是双曲线y -1 (a> 0,b> 0) 上任一点，过 A作一条斜率为a bM,N两点，弦MN的垂攀的直线L,又a *设d是原点到直线 L的距离，1卫分别是A到双曲线两焦点的距离，则.rr2d二ab.x2y2x248. 已知双曲线 2=1 (a>0,

45、b>0)和一2abaB、C、D 四点，则 |AB I =|CD I .2249. 已知双曲线一2 y = 1a2 b22,2十-a +b于点 P(x0,0),则 X。或 x0 < -2楚二' (0 ：，： 1 ), 一条直线顺次与它们相交于b(a>0,b > 0) ,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与 x轴相交a2 b22 VS.PF1F2 =b cotB ( m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，相应于过 B点的直线 MN : X = n于 M , N 两点，则2aMBN =90丄a +m52. L是经过双曲线aa22x

46、y50. 设P点是双曲线 F =1 (a> 0,b> 0)上异于实轴端点的任一点，FF2为其焦点记 F1PF2二a bb2则(1)|PFjPF2|.(2)1 - cos 廿51 .设过双曲线的实轴上一点连结 AP和 AQ 分别交2 2 b (n a)2 2x y2 =1 (a> 0,b >0)焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线实轴的两个a b11ab焦点，e是离心率，点P L,若一 EPF -，则是锐角且sin 或空arcs in (当且仅当| PH |=一eec时取等号)2 253. L是经过双曲线 笃-当=1 (a> 0,b > 0)的实轴顶点 A

47、且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准a b1 线与x轴交点，点P L ,e是离心率，.EPF =，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sin :- <-e1ab或_ arc sin(当且仅当| PA|时取等号).ec2 254. L是双曲线 冷-占=1(a>0,b> 0)焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，a b1H是L与x轴的交点，点P二L , /EPF二:-,离心率为e,半焦距为c,则为锐角且sin 2或e1b / 22:< arc sin 2 (当且仅当I PR |a c时取等号)ec55.已知双曲线2爲=1 (a>0,b>

48、0),直线L通过其右焦点b2将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，贝V | F1A| | F1B|_(2a2 b2)22a2x56 .设A、B是双曲线一2 -ab2=1 (a> 0,b > 0 )的长轴两端点,F2,且与双曲线右支交于 A、B两点，(当且仅当AB丄x轴时取等号).P是双曲线上的一点，.PAB =， PBA = 1： , . BPA ,c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有|PA |=22ab |cos： | a - c cos |.(2)tan ： tan ： = 1 -e2 .(3)AB2a2b2b2 a2cot .2 257. 设A、B是双曲线 笃-占=1 (a&

49、gt;0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)、外部a b2的两点，且Xa、Xb的横坐标Xa Xb =a , (1)若过 A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则./PBA = QBA ； (2)若过B引直线与双曲线这一支相交于 P、Q两点，则乙PBA EQBA = 180、.2 258. 设A、B是双曲线 笃-每=1 (a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)，外部a b的两点，(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，(若BP交双曲线这一支于两点，则P、Q2不关于x轴对称)，且 PBA二 QBA，则点A、B的横坐标xA、xB满

50、足xA，xB二a ； (2)若过B点引直 线与双曲线这一支相交于 P、Q两点，且.PBA . QBA =180：,则点A、B的横坐标满足Xa x a2.2 2'x y''''59. 设A, A是双曲线 2 =1的实轴的两个端点， QQ是与AA垂直的弦，则直线 AQ与AQ的交a b2 2点P的轨迹是双曲线笃7=1.2 260 .过双曲线岭=1a ba2 b2(a > 0,b > 0 )的右焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD,则<|AB | - |CD |.8ab2 2,2.|a -b |2 2x yc - a61.到双曲线 亍=1 (a&

51、gt; 0,b> 0)两焦点的距离之比等于(c为半焦距)的动点 M的轨迹是a bb姊妹圆(x 二 ec)2 y2 = (eb)2 22x yc 一 a62.到双曲线 一2牙=1 (a> 0,b> 0)的实轴两端点的距离之比等于-a bb轨迹是姊妹圆(x _a)2 y2二b2.2 2冷一爲=1 (a>0,b >0)的两准线和x轴的交点的距离之比为a b(c为半焦距)的动点M的63.到双曲线C - (c为半焦距)的动 b点的轨迹是姊妹圆64 .已知P22 b 2(x 二a) y =( )(e为离心率)e2 2x y'是双曲线2 =1 ( a> 0,b > 0 )上一个动点，A, A是它实轴的两个端点,且a b2 ,2 2x b yAQ _ AP , AQ _ AP，则Q点的轨迹方程是 卜=1 a a65.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项2 2 266设双曲线 刍-爲=1( a> 0,b> 0)实轴的端点为 A, A', P(x,yJ是双曲线上的点过 P作斜率为 学a ba y1的直线l，过A, A分别作垂直于实轴的直线交I于M , M，则(1) | AM