余弦定理优秀课件(最新修正版)

1、1用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？ 两角和一边，两角和一边，两边和其中一边的对角。两边和其中一边的对角。正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。角的正弦的比相等。 sinsinsinabcabc复习回顾复习回顾2 思考：思考：如果在一个斜三角形中，已知如果在一个斜三角形中，已知两边及两边及这两边的夹角这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？为什么？ 不能，在正弦定理不能，在正弦定理 中，已中，已知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边知两边及这两边的夹角，正弦

2、定理的任一等号两边都有两个未知量。都有两个未知量。sinsinsinabcabc那么，怎么解这个三角形呢？那么，怎么解这个三角形呢？322ab accb 222ab acacab 222cosab acaacab ac bc ba ab cb ca 同理，同理，从从 出发，出发， 证得证得 从从 出发，证得出发，证得2222cosacbcba2222cosabcbca 证明：证明：cb ab ac 学过向量之后，我们能用向量的方法学过向量之后，我们能用向量的方法给予证明余弦定理。给予证明余弦定理。已知已知ab,ac和它们的夹角和它们的夹角a，求，求cb2222cosbcaacb即即cba向量法

3、向量法4解析法解析法cbacabyx(bcosc,bsinc)(a,0)(0，0)证明：以证明：以cb所在的直所在的直线为线为x轴，过轴，过c点垂直点垂直于于cb的直线为的直线为y轴，轴，建立如图所示的坐标建立如图所示的坐标系，则系，则a、b、c三点三点的坐标分别为：的坐标分别为：(0,0)c( ,0)b a( cos, sin)a bc bc5222)0sin()cos(cbacbabcbacabcb22222sincos2coscabbacos222222222c = a + b -2abcoscc = a + b -2abcosc同理：同理：222222b = a + c -2accos

4、bb = a + c -2accosb22222a = b + c -2bccosaa = b + c -2bccosacbacabyx(bcosc,bsinc)(a,0)(0，0)解析法解析法6abcabcd当角当角c为锐角时为锐角时几何法几何法baaccbd当角当角c为钝角时为钝角时cbaabc 余弦定理作为勾股定理的余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明余弦定理。7在锐角三角形在锐角三角形abc中，已知中，已知ab=c,ac=b和和a,求求a222cdbda22( sin )(cos )bac ba222222coscossinaabca

5、cbb222cosbcacb同理有：同理有：2222cosacbacb2222cosabccab 同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个等式成立的，课后请同学们自己证明。等式成立的，课后请同学们自己证明。d几何法几何法abccba82222cosbcaacb 2222cosacbcba 2222cosabcbca 用用语言描述语言描述：三角形任何一边的平方等于：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和其它两边的平方和, 再减去这两边与它们夹再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。角的余弦的积的两倍。余 弦 定 理9例例1：若已知：若已知b=8,c=

6、3,a= ,能求能求a吗？吗？6022602 8 3 cos49378a 思考思考：余弦定理还有别的用途吗？：余弦定理还有别的用途吗？若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？2222cosbcaacb 解：102222coscabbca2222cosacbacb2222cosacbabc余弦定理的变形：余弦定理的变形：11例例2 2、在三角形、在三角形abcabc中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,a=7,b=10,c=6,求求a a，b b，c c（精确到（精确到 ）1分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来解决问题解决问题解

7、：解：22222271062 10 62cos0.725cabbca44a 222222761022 7 6cos0.178acbacb 100b 18036ca b 12 1、已知abc的三边为 、2、1，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a= ,b=2,c=1 则最大内角为a由余弦定理 cosa=12+22- ( ) 2221= - 12 a=120若已知三边的比是若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？又怎么求？13 归纳：归纳：利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角）已知三边，求三个角 （2）已知两边

8、和它们的夹角，求第三边，）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。进而还可求其它两个角。14解：由余弦定理得：是锐角c是锐角三角形中的最大角是根据大边对大角，是锐角，）知：）由（abcabccc12例3、在abc中,若a=4、b=5、c=6（1)试判断角c是什么角？（2）判断abc的形状2222224561(1)cos022 4 58abccab 15变式训练：在abc中，若，则abc的形状 为（）222cba、钝角三角形、直角三角形、锐角三角形、不能确定a16c cb ba ab ba ac c提炼：设提炼：设a是最长的边，则是最长的边，则abc是钝角三角形0222acbabc

9、是锐角三角形0222acbabc是直角三角形0222acb推论：推论：2222coscabbca判断三角形的形状判断三角形的形状17练习：练习：一钝角三角形的边长为连续自然数，一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为则这三边长为（ ）a、1，2，3 b、2，3，4 c、3，4，5 d、4，5，6分析：分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。b中：中： ，所以，所以c是钝角是钝角222132442 2 3cosc d中：中： ，所以，所以c是锐角，是锐角， 因此以因此以4

10、，5，6为三边长的三角形是锐角三角形为三边长的三角形是锐角三角形222156482 4 5cosc a、c显然不满足显然不满足b18练习：练习：在三角形在三角形abc中，已知中，已知a=7,b=8,cosc= ,求最大角的余弦值求最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。找到最大角。2222cosabcbca2213142 7 8987 解：解：3c 则有：则有：b是最大边，那么是最大边，那么b 是最大角是最大角2222227

11、3822 3 71cos7acbacb 19（1）余弦定理适用于任何三角形）余弦定理适用于任何三角形（3）由余弦定理可知：）由余弦定理可知：（2）余弦定理的作用：）余弦定理的作用： a、已知三边，求三个角、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角进而可求出其它两个角c、判断三角形的形状、判断三角形的形状小结小结90a90a90a0222acb0222acb0222acb20 正余弦定理在解三角形中能正余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？解决哪些问题？角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理21 例例2、在三角形、在三角形abc中，已知中，已知a=2.730,b=3.696,c= , 解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 ）28821分析：已知两边和两边的夹角分析：已知两边和两