专题训练讲义--正方形

1、第十五讲 专题训练讲义-正方形一正方形的性质：【例1】如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD及四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.（1）观察猜想BG及DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.【例2】如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，CE=AC，AE交CD于F，求AFC的度数。【例3】如图4-60，正方形ABCD的对角线相交于O，EFAB，并且分别及OA，OB相交于E，F若BE=3厘米，求CF的长【练习1】如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点

2、，连接，则图中全等三角形共有（）A1对B2对C3对D4对【练习2】如图，已知正方形的边长为3，为边上一点， 以点为中心，把顺时针旋转，得，连接，则的长等于【练习3】如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP= BC，则ACP度数是【练习4】如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG.(1) 观察猜想BE及DC之间的大小关系，并说明你的结论; (2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形? 若存在，请说出旋转过程; 若不存在，请说明理由.【练习5】如图5，在等腰RtABC中，C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上

3、，点G在边BC上.（1）求证AE=BF； （2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长. 【练习6】在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED（1）求证：BECDEC；（2）延长BE交AD于F，当BED120°时，求的度数【练习7】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出下列五个结论：AP=EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD=EC其中正确结论的序号是二正方形的折纸：【例1】（08哈尔滨）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线

4、段CN的（ ） （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm【练习】(2019 荆门大纲)如图，有一张面积为1的正方形纸片，分别是，边的中点，将点折叠至上，落在点的位置，折痕为，连结，则三正方形的面积：【练习1】正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（ ）（A）10 （B）12 （C）14（D）16【练习2】如图，正方形ABCD中，边长为2，其中正方形ABCO及正方形ABCD全等，顶点O在正方形ABCD对角线交点O，求阴影部分面积。1.边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形ABCD，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示

5、阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）。A2BC2D2 2.将n个边长都为lcm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为（ ）Acm。 Bcm2（n）cm2 D(）ncm23.如图，正方形ABCD各边中点为E、F、G、H，设正方形ABCD面积为S，求图中LKMN的面积。4.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F（1）证明：BAE=FEC；（2）证明：AGEECF；（3）求AEF的面积四正方形的判定：【例1】如图，正方形ABCD中，求证

6、：四边形EFGH是正方形【练习1】已知：如图，ABC中，CD平分，垂足分别为E、F求证：四边形CFDE是正方形【练习2】如图,正方形ABCD中,E、F、G、H分别为四边中点，连接AG、BH、CE、DF依次相交于M、N、P、Q。求证：四边形MNPQ是正方形五正方形的有关计算：【例1】已知：如图，已知四边形ABCD是正方形，求【例2】如图，四边形ABCD为正方形,以AB为边向正方形外做等边三角形ABE，交BD于F，求AFD的度数。【练习1】如图,P是正方形ABCD边AB上任意一点,AC,BD交于O,PMOA,PNOB于N,若AB=10,则四边形PMON的周长为_.【练习2】在正方形ABCD中，O是

7、对角线的交点，过O作OEOF，分别交AB、BC于E、F，若AE4，CF3，则EF；【练习4】在正方形ABCD中，E在BC上，且BE=2，EC=1，点P在BD上，求PE+PC的最小值；【练习5】如图，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为_。【练习7】（2019，福州）如图5，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC，则AC 边上的高是（ ） ； B ； C ； D 六正方形的综合题：【例1】.如图，正方形ABCD中，MNEF，求证：MN=EF【例2】如图，正方形形ABCD的边长为1、P、Q分别在AB、AD上，已知APQ

8、周长为2，求证：PCQ=450；【例3】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N，（如图甲）（1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其余的条件不变，（如图乙），则结论MDMN还成立吗？如果成立，请证明，若不成立，请说明理由；【练习1】如图所示，在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G为FH中点，求证：ECCG。【练习2】在正方形ABCD中,AC及BD交于点O.M,N分别是OA,OB上的点,且MN/AB.求证(1)BM=CN; (2)BMCN.【练习3】已

9、知，如图，以ABC的边AB、AC为边，分别向形外作一个正方形，中心分别为O1、O2，D为BC中点。求证：O1DO2D。【练习6】如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.（1）AE及BF相等吗？为什么？（2）AE及BF是否垂直？说明你的理由。【练习7】如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AGEB交EB于G，AG交BD于F。（1）说明OE=OF的道理；（2）在（1）中，若E为AC延长线上，AGEB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。专题训练讲义-正方形一正方形的性质：【例1】

10、（2019湖北襄樊）如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD及四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.（1）观察猜想BG及DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.解：（1）BG=DE 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，GC=CE，BC=CD，BCG=DCE=90°）BCGDCEBG=DE （2）存在. BCG和DCE；BCG绕点C顺时针方向旋转90°及DCE重合【例2】如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，CE=AC，AE交CD于F，求A

11、FC的度数。【例3】如图4-60，正方形ABCD的对角线相交于O，EFAB，并且分别及OA，OB相交于E，F若BE=3厘米，求CF的长【练习1】(2019年沈阳市)如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（ C ）A1对B2对C3对D4对【练习2】ADCEFB第8题图（08沈阳）如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（ ）A1对B2对C3对D4对【练习3】（2019佛山12）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP= BC，则ACP度数是 22.5 °【练习4】（2019山西） 如图1，正方

12、形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG.(1) 观察猜想BE及DC之间的大小关系，并说明你的结论; (2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形? 若存在，请说出旋转过程; 若不存在，请说明理由.【练习5】（2019广东肇庆市）如图5，在等腰RtABC中，C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.（1）求证AE=BF； （2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长. 解：（1）等腰RtABC中，90°，AB四边形DEFG是正方形，DEGF，DEAGFB90°ADEBGFAEBF（2）DEA90&#

13、176;，A=45°ADE=45°AEDE同理BFGFEFAB=cm正方形DEFG的边长为【练习6】如图4-52，在正方形ABCD外以CD为边作等边CDE求的度数【练习7】如图所示，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PEBC于E，PFCD于F，连结AP，EF，求证：AP=EF二正方形的折纸：【例1】（08哈尔滨）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的（ ） （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm【练习】 如图，有一张面积为1的正方形纸片，分别是，边的中点，将点折叠至上，落在点的

14、位置，折痕为，连结，则三正方形的判定：【例1】如图，正方形ABCD中，求证：四边形EFGH是正方形【例2】已知：如图，ABC中，CD平分，垂足分别为E、F求证：四边形CFDE是正方形四正方形的有关计算：【例1】已知：如图4-57，已知四边形ABCD是正方形，求【例2】如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外做等边三角形ABE，交BD于F，求AFD的度数。【例3】如图，正方形ABCD各边中点为E、F、G、H，设正方形ABCD面积为S，求图中LKMN的面积。【练习1】如图,P是正方形ABCD边AB上任意一点,AC,BD交于O,PMOA,PNOB于N,若AB=10,则四边形PMON的周长为

15、_.【练习2】在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过O作OEOF，分别交AB、BC于E、F，若AE4，CF3，则EF；【练习3】如图，正方形ABCD中，边长为2，其中正方形ABCO及正方形ABCD全等，顶点O在正方形ABCD对角线交点O，求阴影部分面积。【练习4】在正方形ABCD中，E在BC上，且BE=2，EC=1，点P在BD上，求PE+PC的最小值；【练习5】如图，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为_。【练习6】（2019年烟台）将n个边长都为lcm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则n个

16、这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为A1/4cm。 Bn/4cm2（n1/4）cm2 D(）ncm2五正方形的综合题：【例1】.如图，正方形ABCD中，MNEF，求证：MN=EF【例2】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N，（如图甲）（1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其余的条件不变，（如图乙），则结论MDMN还成立吗？如果成立，请证明，若不成立，请说明理由；【例3】如图，正方形形ABCD的边长为1、P、Q分别在AB、AD上，已知APQ周长为2，求证：PCQ=450；【练习1】如图

17、所示，在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G为FH中点，求证：ECCG。【练习2】在正方形ABCD中,AC及BD交于点O.M,N分别是OA,OB上的点,且MN/AB.求证(1)BM=CN; (2)BMCN.【练习3】已知，如图，以ABC的边AB、AC为边，分别向形外作一个正方形，中心分别为O1、O2，D为BC中点。求证：O1DO2D。【练习4】已知：如图，在正方形ABCD中，任作EAF=450，AE交CD于点E，AF交BC于点F，APEF于点P，求证：AP=AB。【练习5】(2019无锡)已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.图1图2（1）将PAB绕点B顺时针旋转90°到PCB的位置（如图1）.设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求PAB旋转到PCB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；若PA=2，PB=4，APB=135°，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.解：（1）S阴影=连结PP，证PBP为等腰直角三角形，从而PC=6;（2）将PAB绕点B顺时针旋转90°到PCB的