利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

1、.第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、 方法技巧1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式的充要条件是：对于一个任意的x=a值，都有；或者两个多项 式各关于x的同类项的系数对应相等 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知，求a，b，c的值”解答此题，并不困难只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a，b，c的值这里的a，b，c是有待于确定的系数，

2、这种解决问题的方法就是待定系数法3. 格式与步骤:(1)确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是： (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.二、应用举例类型一 利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式能被整除.（1）求a，b（2）分解因式： 【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（1）由条件可知是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设，可解出m、n，最后代入即可求出a、b的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：（1）多项式能被整除设，整理，得解得a、b的值分别为.（2）考点：1

3、.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：【答案】【解析】试题分析：方法一 因为，因此,如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是,其中m、n为待定系数. 然后展开，利用多项式的恒等，求出m、n的值.试题解析：解：，设即 对比系数，得： 由、解得： 代入式也成立.试题分析：方法二 前面同思路1，因为

4、是恒等式，所以对任意的值，等式都成立，所以给取特殊值，即可求出的值.试题解析：解：，设即  该式是恒等式，它对所有使式子有意义的x，y都成立，那么令 令 解、组成的方程组，得或把它们分别代入恒等式检验，得考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.【难度】较难类型二 利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】 将分式拆分成两个分式的和的形式.【答案】【解析】试题分析：设，将等式右边通分，再利用分子恒等

5、求出a、b、c的值即可.试题解析：解：设而即比较分子，得解得， .考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难【例题4】计算： 【答案】【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：解：我们设而比较分子得：，解得： 所以所以，原式= 考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式拆分.【难度】较难类型三 利用待定系数法解决多项式中不含某

6、项问题【例题5】 已知的积中不含的二次项，则的值是（）A. 0 B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：将多项式展开、合并，按的降幂排列，根据积中不含的二次项等价于项的系数为零列方程即可求得的值.试题解析：解： 积中不含x的二次项，解得.故选C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、 实战演练1.若多项式能被整除，则.【答案】【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商×除式（余式为0），其除式为试题解析：解：设原式比较系数，得：由，解得，代入得考点：因式分解的应用点评：此题考查知

7、识点是因式分解的应用，运用公式被除式=商×除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2. 分解因式：【答案】=【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1，尾项也是1，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设=而解得或考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：【答案】【解析】试题分析：属于二次六项

8、式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.先分解，再设原式，展开后，利用多项式恒等列方程组即可求解.试题解析：方法一解：可设原式原式=即 *比较左右两个多项式的系数，得： 解得方法二 对于方法一中的恒等式（*）因为对a、b取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m、n的值.令 令 令 解、组成的方程组，得当时，成立考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值. 【难度】较难4. 已知表示关于x的一个五次多项式，若，求的值.【答案】【解析】试题分析

9、：因为，所以这个多项式中必有因式，而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因式的乘积，故式的乘积，故这个多项式可以设为，利用待定系数法求出a、b的值最后代入原多项式，即可求出的值.试题解析：解：，设由，可得方程组 解得： 考点：1.解二元一次方程组 2.多项式变形点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5.为何值时，多项式能被整除？【答案】，【解析】试题分析：由于多项式能被整除，可设商为，再利用逆运算，除式×商式=被除式，利用等式的对应相等，可求出.试题解析：解：设原式= = =对比系数，得：解

10、得：故，.考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般6.若多项式能被和整除，那么.该多项式因式分解为：. 【答案】【解析】试题分析：因为多项式能被和整除，则说明和都是多项式的一个因式，故设，展开即可求解.试题解析：解：设 对比系数，得：解得:故,，多项式因式分解为：考点：整式除法与因式分解点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A被B整除，另外一层意思就是B是A的因式7. 分解因式：【答案】【解析】试题分析：本题是关于x的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.试题解析：解：设由恒等性质有

11、：解得：，代入中，成立. 说明：若设由待定系数法解题知关于a与b的方程无解，故考点：因式分解应用点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.【难度】较难8. 在关于的二次三项式中，当，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式.【答案】【解析】试题分析：思路1 先设出关于的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒等式的性质。试题解析：解：法1 先设出关于的二次三项式，把已知条件分别代入，得，解得故所求的二次三项式为思路2 根据已知时，其值为0这一条件可设二次三项式为，然后求出的值.法2 由已知条件时，这个二次三项式的

12、值为0，故可设这个二次三项式为把代入上式，得，故所求的二次三项式为，即考点：多项式点评：选用待定系数法,利用已知条件求多项式是解题关键.【难度】一般9.已知多项式的系数都是整数，若是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.【答案】见解析【解析】试题分析：先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的.试题解析：证明：比较系数得：因为是奇数，则都是奇数，那么也是奇数，由奇数的性质得出也都是奇数.在式中令，得由是奇数，得是奇数。而为奇数，故是偶数，所以是偶数.这样的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的.因此题中多项式不能分解为两个整系数

13、多项式的乘积.考点：多项式除法.点评：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明.【难度】容易10.将分式拆分成两个分式的和的形式.【答案】【解析】试题分析：设，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.试题解析：解：设而即比较分子，得解得. 考点：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】一般11.将分式拆分成两个分式的和的形式.【答案】=【解析】试题分析：设=，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.试题解析：方法一 解：设=而=即=比较分子，得解得. =方法二 分式还可以先变形为：易知=所以

14、=()=考点：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax + B形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】容易12. 计算【答案】【解析】试题分析：本题的4个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），利用，进行拆分即可.试题解析：解：原式= = =考点：分式计算点评：利用公式拆分，是解题关键，而原理就是设，求出,熟练后可直接运用公式.【难度】容易13. 将分式拆分成两个分式的和的形式.【答案】=【解析】试题分析：设=，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.试题解析：解：设=而=即=比较分子，得解得. =考点

15、：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax + B形式，分母只含一次项，则设分子为常数.【难度】一般14. 将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为整数）的和的形式.【答案】【解析】试题分析: 由于要将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为整数）的和的形式，可设试题解析：解：由于分母为，可设对于任意x，上述等式均成立， 这样分式被拆分成了一个整式与一个分式的和.考点：分式的加减法点评：本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题关键.【难度】一般15.已知的计算结果中不含x3的项，则m的值为（）A. 3 B. -3 C. D. 0【答案】B【解析】试题分析：将多

16、项式展开、合并，按x的降幂排列，根据积中不含x3项等价于x3项的系数为零列方程即可求得m的值.试题解析：方法一解：结果中不含x3的项，解得.故选B.方法二由于x3项可由x项与x2项相乘或x3与常数项相乘得到，故展开式中只需计算x项乘以x2项及x3乘以常数项即可.解：又结果中不含的项，解得.故选B.考点：多项式乘法.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般16. 如果的乘积中不含项，则a为(     )A. 5 B. C. D. 5【答案】B【解析】试题分析：将多项式展开、合并，按x的降幂排列，根据积中不含x2项等价

17、于x2项的系数为零列方程即可求得a的值.试题解析：解：原式.不含项，.解得.故选B.考点：多项式乘多项式点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般17.若的乘积中不含y的一次项，则a的值为（）A. 7 B. -7 C. 0 D. 14【答案】A【解析】试题分析：先用多项式乘以多项式的运算法则展开，并且把a看作常数，合并关于y的同类项，令y的系数为0，得出关于a的方程，求出a的值试题解析：解：.又乘积中不含y的一次项，. 解得a=7故选A.考点：多项式乘法点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的

18、值.【难度】一般18.要使与关于的二项式的积中不含x的二次项，则【答案】【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式，可得整式，根据整式不含二次项，可得关于的二元一次方程，根据等式性质，可得答案.试题解析：解： 两边都除以2b得：故答案为：.考点：多项式乘以多项式.点评：本题考查了多项式乘以多项式，利用了多项式乘以多项式法则，整式不含二次项，得出关于的二元一次方程是解题关键.【难度】一般19. 若的乘积中不含x2和x项，则p，q的值分别是多少？【答案】，【解析】试题分析：将多项式展开、合并，按x降幂排列，根据不含x2和x项，则x2项和x项的系数为零，从而列出关于p，q的方程组，解之即可求得p，q的值.试题解析：解:,由不含x2和x项，得：解得： 考点：1.多项式乘法 2.二元一次方程组.点评：此题考查了多项式的乘法以及解二元一次方程组，利用了多项式乘以多项式的运算法则，整式不含x2和x项，得出关于的二元一次方程组是解本题的关键.【难度】一般20.已知中不含x的一次项，求p的值.一变：已知，求a，k的值.二变：k是什么数时，可以写成的形式？【答案】；一变：；二变：.【解析】试题分析：将多项式展开、合并，