容斥原理实用教案

1、在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑(kol)重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。（AB = A+B - AB)例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意(t y)，被计数

2、的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。答案15+12-4=23试一试电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？100-（62+34-11）=15第1页/共18页第一页，共18页。组一1.某班有30人参加长跑和乒乓球比赛(bsi)，其中参加乒乓球比赛(bsi)的有16人， 参加长跑的有23人，问两种比赛(bsi)都参加的有几人？解析(ji x)：

3、基本公式A类B类元素个数总和=属于A类元素个数 + 属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。则有：既是A类又是B类的元素个数=属于A类元素个数+ 属于B类元素个数- A类B类元素个数总和 16+23-30=9人2.某班级共有40名学生，其中对数学有兴趣的有17名，对音乐有兴趣的有13名，两样都有兴趣的有8名，问两样都没有(mi yu)兴趣的有多少名？解析：40-（17+13-8），=40-22，=18（人）；答：两样都没有兴趣的有18人第2页/共18页第二页，共18页。3某班级有学生42名，他们都参加(cnji)数学兴趣小组或音乐兴趣小组，其中参加(cnji)数学兴趣小组的有32名，参加(

4、cnji)音乐兴趣小组的有27名，问只参加(cnji)音乐兴趣小组的学生有多少名？解析：只参加(cnji)音乐=参加(cnji)音乐-（参加(cnji)数学+参加(cnji)音乐-学生总数） 27-（32+27-42）=10名4.某学校五年级共有100名学生(xu sheng)，其中爱好数学的有72名，爱好音乐的有53名，问：两样都爱好的学生(xu sheng)至少有多少名？最多有多少名？解析：（1）72+53-100=25（人）；（2）如果爱好音乐的人全部都爱好数学，爱好音乐的人数即两者的交叉人数即最多53人；答：这两样都爱好的至少有25人最多有53人第3页/共18页第三页，共18页。5：五

5、年级一班(y bn)一共有45名学生，其中少先队员有35人，男生有20人，有 4名女生不是少先队员，问：男生中有多少人是少先队员？解析：两种思路： 一：女生有45-20=25人，女少先队员有25-4=21人 少先队员总人数(rn sh)-女少先队员=男少先队员 35-21=14名 男生中有多少人是少先队员 二：不是少先队员的有45-35=10人 不是少先队男生占10-4=6人 男生人数(rn sh)-不是少先队男生=是少先队男生 20-6=14名6：某班级共有48名同学，其中27人会游泳(yuyng)，33人会骑车，40人会打 乒乓球，那么，在这个班学生中，3项运动都会的至少有多少名？解析：不

6、会游泳的人数：48-27=21人不会骑车的人数：48-33=15人不会乒乓球的人数：48-40=8人48-（21+15+8）=44人则三项都会的人数是48-44=4人答：这个班至少有4名学生这三项运动都会.第4页/共18页第四页，共18页。7：在一个刻有容积刻度的瓶子里装300毫升水，把瓶子倒放后，瓶子 中水的平面(pngmin)正好在250毫升刻度线处，问这个瓶子的容积是多少毫升？解析：由图中右瓶知，瓶中空气为250毫升，由图中左瓶可知，瓶中水为300毫升，瓶的容积(rngj)=水的体积+空气的体积=300+250=550（毫升）答：这瓶子的容积(rngj)是550毫升8.某班学生(xu s

7、heng)手中分别拿着红黄蓝三种颜色的小旗，（如下图），已知手中拿着红旗的有34人，拿着黄旗的有26人，拿着蓝旗的有18人，其中，手中有红黄蓝3种的有6人，只有红黄两种的有9人，只有蓝黄的有4人，只有红蓝的有3人，那么，这个班一共有多少人？解析：34+26+18-9-4-3-6-6=50人第5页/共18页第五页，共18页。9.五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项如下图所示，其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人。求这个(zh ge)班的学生人数。解析(ji x)： 25+35+27-12-8-9+4=62人10.甲乙丙3人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，现将其中只有一人解出的题叫做难题，3人都能解出的题叫做容易题，问 容易题与难题相差(xin ch)了多少题？第6页/共18页第六页，共18页。第7页/共18页第七页，共18页。第8页/共18页第八页，共18页。第9页/共18页第九页，共18页。第10页/共18页第十页，共18页。第11页/共18页第十一页，共18页。第12页/共18页第十二页，共18页。第13