工学复变函数与积分变换PPT课件

1、复数列的极限复数列的极限称 为复数列, 简称 (1,2,3,)nnnain为数列, 记为 .na定义4.1设 是数列， 是常数. naai 如果e 0, 存在正整数N, 使得当nN 时, 不等式 naae e 成立, 则称当n时, 收敛于 na, a或称 是 的极限, 记作a nalim,nnaa 或 .naan 第1页/共67页复数列收敛与实数列收敛的关系lim,lim.nnnnaabbaabb=定理4.1 limnnaa 的充分必要条件是 该结论说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别两个实数列的敛散性.第2页/共67页复数项级数复数项级数121nnnaaaa = =+=+ LLLL为复数项

2、级数.称121nnknkSaaaa= =+=+ L L为该级数的前 n 项部分和.设 是复数列, 则称 nnnai第3页/共67页级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数 121nnnaaaa = = =+ + + + + L LL L的部分和数列 收敛于复数 S, 则称级数收敛, nS这时称S为级数的和, 并记做 1.nnaS 如果 不收敛，则称级数发散. nS第4页/共67页复数项级数与实数项级数收敛的关系定理4.2 级数 收敛的充要11()nnnnnai条件是 都收敛, 并且 11, nnnn111.nnnnnnai 说明 复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题第5页/共67页级数收

3、敛的必要条件lim0.nna 定理4.3如果级数 收敛, 则 1nna 证明由定理4.2及实数项级数收敛的必要条件 知 lim0, lim0nnnnlim0.nna 重要结论: 发散.1lim0nnnnaa 于是在判别级数的敛散性时, 可先考察lim0.nna ?第6页/共67页定义4.3设 是复数项级数, 如果正项1nna 级数 收敛, 则称级数 绝对收敛. 若1nna 1nna 绝对收敛级数的性质定理4.4若级数 绝对收敛, 则它收敛, 1nna 并且成立11.nnnnaa 1nna 绝对收敛 和 都绝对收敛. 1nn 1nn 发散，而 收敛，则称级数条件收敛.1nna 1nna 推论第7

4、页/共67页解.)1(111)1(1121发发散散收收敛敛，发发散散， nnnninnn绝绝对对收收敛敛。收收敛敛， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收敛敛收收敛敛，收收敛敛， nnnnnnninn例4.1否否绝绝对对收收敛敛？下下列列级级数数是是否否收收敛敛？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛，条条件件又又 nnn第8页/共67页1 幂级数的概念2 幂级数的敛散性3 幂级数的性质4.2 4.2 幂幂 级级 数数第9页/共67页为复变函数项级数

5、. 121( )( )( )( )nnnfzf zfzfz )()()()(21zfzfzfzSnn 为该级数前n项的部分和.设 是定义在区域D上的复变函数列, ( )nfz称幂级数的概念幂级数的概念第10页/共67页 )()()()(21zfzfzfzSn称为该级数在区域D上的和函数.如果对 级数 收敛, 即 0,zD 01()nnfz 00lim()(),nnSzS z 则称级数 在 点收敛, 且 是级数和. 1( )nnfz 0z0()S z如果级数 在D内处处收敛, 则称其在 1( )nnfz 区域D内收敛. 此时级数的和是函数第11页/共67页20010200()()()nnna z

6、zaa zza zz 20120,nnnnna zaa za za z 这类函数项级数称为幂级数.当 或 时,110( )()nnnfzazz 11( )nnnfzaz 或 的特殊情形00z 函数项级数的形式为0(),nnazz第12页/共67页定理4.5 (Abel定理)若级数 在 0nnna z 10z 处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛; 0nnna z 1zz 若级数 在 处发散，则当 时, 级数 0nnna z 2z2zz 0nnna z 发散. 幂级数的敛散性幂级数的敛散性第13页/共67页收敛圆与收敛半径(1) 对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛.(2) 对所有的正实数

7、都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.设 时, 级数收敛; 时, 级数发散. 如图:z z 由 , 幂级数 收敛情况有三种:0nnna z 第14页/共67页xyo . .R收敛圆收敛半径幂级数0nnna z = = 的收敛范围是以原点为中心的圆域.1 1 .第15页/共67页 幂级数00()nnnazz 的收敛范围是因此，事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以 为中心的圆域.0zz 收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别, 0, . R规定为论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数进行

8、具体分析.第16页/共67页解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz 级数 0nnz收敛,1 z0lim nnz级数 0nnz发散.绝对收敛, 且有在 内, 级数1z 0nnz例4.2 求级数 的和函数与收敛半径.0nnz 所以收敛半径1,R 01.1nnzz 第17页/共67页收敛半径的计算方法(一)(3) 当 时, 收敛半径 1.Rr r= =0 1lim,nnnaa ;R (1) 当 时, 收敛半径 0 0;R (2) 当 时, 收敛半径 定理4.6 (比值法)设级数 如果0.nnna z 则第18页/共67页收敛半径的计算方法(二)(3) 当 时, 收敛半径

9、1.Rr r= =0 lim,nnna ;R (1) 当 时, 收敛半径 0 0;R (2) 当 时, 收敛半径 定理4.7 (根值法)设级数 如果0.nnna z 则第19页/共67页由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个性质. 性质4.1(1) 设级数 和 的收敛0nnna z 0nnnb z 半径分别为 和 1R2,R则在 内, 12min(,)zRR R000(),nnnnnnnnnnab za zb z 0110000.nnnnnnnnnnna zb za ba ba bz 幂级数的性质幂级数的性质第20页/共67页(2) 设级数 的收敛半径为 r.0( )nnnf z

10、a z 如果在 内, 函数 解析, 并且Rz )(zg,)(rzg 则当 时,Rz 0 ( ) ( ) .nnnf g zag z 说明: 上述运算常应用于将函数展开成幂级数.前面关于级数 的性质, 如果将 换成0nnna z z0zz 之后, 对于级数 当然也成立. 00()nnnazz 第21页/共67页bz 1例4.3 把函数 表示成形如0()nnnaza = =- - 的幂级数, 其中a与b是不相等的复常数 . bz1)()(1abaz 11.1zababa 代数变形 , 使其分母中出现)(az 凑出)(11zg 把函数 写成如下的形式:bz 1第22页/共67页211.1nzazaz

11、azababababa 2231111()()()()zazazbbababa 11().()nnzaba 当 即 时,1,zaba zaRba所以第23页/共67页定理4.8设幂级数 收敛半径00()nnnazz 为R, 并且在 内, 0zzR 00( )() ,nnnf zazz 则 是 内的解析函数, 且在收敛圆 ( )f z0zzR 0zzR 内, 可以逐项求导和逐项积分, 即 (1) 当 时, 0zzR 101( );nnnfznazz 第24页/共67页(2) 设C是 内的一条分段光滑曲线,0zzR 则 00( )dd .nnCCnf zzazzz 特别地, 如果C是圆内部的以z0

12、为起点、z为 终点的分段光滑曲线, 则 0100( )d.1znnznaf zzzzn 第25页/共67页1 Taylor级数展开定理2 将函数展开成Taylor级数4.3 4.3 Taylor级数级数第26页/共67页实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具. 对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数Taylor级数. 这是解析函数的重要特征. Taylor级数展开定理级数展开定理第27页/共67页R为 到D边界的距离0z定理4.9 (

13、Taylor展开定理) 设 在区域D)(zf内解析,0z为D内的一点,)()(00 nnnzzczf 0, 1, 2,.n D0z.R(D是全平面时, R=+), 则 在 内可0zzR( )f z展开为幂级数 其中( )01()!nncfzn 系数cn按上述表示的幂级数称为( )f z在 点的Taylor级数. 0z第28页/共67页Taylor展开式的惟一性定理定理4.10设 ( )f z是 D上的解析函数, 0z是 D内的点，且在 0zzR 内可展成幂级数00( )() ,nnnf zczz 则这个幂级数是 ( )f z在0z点的Taylor级数，即( )0() (0,1, 2,).!nn

14、fzcnn 注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接方法奠定了基础.第29页/共67页将函数展开成将函数展开成Taylor级数级数将函数展开为Taylor级数的方法:1. 直接方法; 2. 间接方法.1. 直接方法 ( )01()0,1,2,!nncfznn由Taylor展开定理计算级数的系数然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.第30页/共67页例4.4 求( )zf ze 在0z 的Taylor展开式.( )( )00(0)()1,nznzzzfee 所以它在 0z 处的Taylor级数为( )00(0)!nnznnnfzeznn 21,2!nzzzn并且收敛半径.R 因为(

15、 )zf ze 在复平面上解析，且 第31页/共67页2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的Taylor展开式.间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .第32页/共67页例4.5利用00111cos( )(),22!iziznnnneeziziznn 22420( 1)cos1( 1),(2 )!2!4!(2 )!nnnnnzzzzznn 并且收敛半径.R 同理210( 1)sin(21)!nnnzzn 3521( 1)

16、.3!5!(21)!nnzzzzzn 本例利用直接方法也很简单以及可解得 和第33页/共67页 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 例4.6求 21( )(1)f zz 在0z 点邻域内 的Taylor级数. 解11z 是( )f z的惟一奇点, 且 101,z 故收敛半径1.R 在 中，用z替换 -z, 则 逐项求导，得 221123( 1) (1) 1 .(1)nnzznzzz 第34页/共67页例 4.7将 221( )1f zz 展开为z的幂级数. 201( 1) (1) 1 ,(1)nnnn 令 则 2,z 22201( 1) (1)(1)nnnnzz 242123( 1) (1

17、) 1 .nnzznzz 根据例4.6， 第35页/共67页例4.8 求对数函数的主值 ln(1) z 在z=0点的Taylor级数. 负实轴向左的射线的区域内解析. 1 Ro1 1xy因为 1ln(1),1zz 并且由 有 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 函数 ln(1) z 在复平面中割去从点-1沿 第36页/共67页所以 ln(1) z 根据 ，把上式逐项积分，得10( 1)ln(1)1nnnzzn 231( 1) 1 .23nnzzzzzn 21( 1) 1 .nnzzzz 1 Ro1 1xy第37页/共67页例4.9求幂函数 (1) z (为复数)的主值 ln(1)( ),

18、(0)1zf zef 在z=0点的Taylor展开式. 实轴向左的射线的区域内解析. 1 Ro1 1xy因此在 内, 1z 可展开为z的幂级数. ( )f z根据复合函数求导法则, 按照直接方法展开如下: 显然, ( )f z在复平面中割去从点-1沿负第38页/共67页ln(1)(1)ln(1)1( ),1zzfzeez (2)ln(1)( )(1),zfze ( )()ln(1)( )(1)(1),nnzfzne 令z=0, 有 (0)1,(0),(0)(1),fff ( )(0)(1)(1), nfn 第39页/共67页于是(1) z (1)(1)!nnzn 23(1)(1)(2)12!3

19、!zzz 1 .z 第40页/共67页1111( )111,111(1)2212zf zzzzz 例4.10将函数 ( )1zf zz 在01z 处展开 成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围. 10011(1)( )1( 1)1( 1).222nnnnnnnzzf z 当 即 时,11,2z 12z 第41页/共67页附: 常见函数的Taylor展开式20(1)1,2!nnznzzzeznn 201(2)1,1nnnzzzzz 201(3)1( 1)( 1),1nnnnnzzzzz 3521(4)sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn )1( z)1( z)( z)( z第4

20、2页/共67页242(5)cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn )( z231(6) ln(1)( 1),231nnzzzzzn 011)1(nnnnz)1( z23(1)(1)(2)(7)(1)12!3!zzzz ,!)1()1( nznn )1( z第43页/共67页1 Laurent级数的概念2 函数的Laurent级数展开3 典型例题4.4 4.4 Laurent级数级数第44页/共67页Laurent 级数的概念级数的概念如果函数f (z)在z0点解析, 则在z0的某邻域内, 可展开为Taylor级数, 其各项由z-z0的非负幂组成. 如果f (z)在圆环域 102Rz

21、zR 内解析, 则 f (z)在这个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数. 本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,即Laurent级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数及Z变换理论中起重要作用.第45页/共67页0() .nnnczz 负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分nnnnzzc)(0 nnnzzc )(01这种双边幂级数的形式为同时收敛 Laurent级数 nnnzzc)(00 收敛第46页/共67页nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收敛半径R收敛收敛时时,R 101RRzz 收敛域收敛半径R220Rzz 收敛域:)1( 21RR 若若两收

22、敛域无公共部分;:)2(21RR 两收敛域有公共部分.201RzzR 第47页/共67页结论:的的收收敛敛区区域域为为双双边边幂幂级级数数nnnzzc)(0 .201RzzR 圆环域圆环域1R2R.0z常见的特殊圆环域:2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z第48页/共67页(1) 幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域 内解析.(2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.对于Laurent级数，已经知道： Laurent级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆环域内解析. 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开成Laurent级数?对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:

23、第49页/共67页函数的函数的Laurent 级数展开级数展开定理4.12(Laurent展开定理) 设 120,RR 函数f (z)在圆环域 102RzzR 内解析, 则函数f (z) 在此环域内可展开为Laurent级数 0102( )() ,nnnf zczzRzzR 其中101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz C是圆周 的正向. 012 ()zzR RRR 第50页/共67页注 函数f (z)展开成Laurent级数的系数 101( )d2()nnCf zczizz 与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同, 但 这里的函数f (z)在圆环域 10

24、2RzzR 内解析, 在01zzR 内不一定解析, 所以不能化为z0处的导数 ( )01().!nfzn特别地, 如果函数 f (z)在02zzR 内解析, 那么根据柯西-古萨定理, 01, 2,ncn 所以Laurent级数包含了Taylor级数.第51页/共67页Laurent展开式的惟一性定理定理4.13 设函数f (z)在圆环域102RzzR 内解析, 并且可以展开成双边幂级数0() ,nnnczz 则 其中C101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz 的正向. 012 ()zzR RRR 是圆周注 函数在圆环域内Laurent展开式是惟一的. 因此为函数展

25、开成Laurent级数的间接方法奠定了基础.第52页/共67页将函数在圆环域内展开成Laurent级数, 理论(1) 直接方法 直接计算展开式系数然后写出Laurent展开式.)()(0nnnzzczf 这种方法只有理论意义, 而没有实用价值. 就是 上应该有两种方法: 直接方法与间接方法.101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz 说, 只有在进行理论推导时, 才使用这种表示方法.第53页/共67页 根据解析函数 Laurent 级数展开式的惟一性,可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展开成Laurent 级数.(2) 间接方法这是将函数展开成Laure

26、nt 级数的常用方法. 给定函数)(zf与复平面内的一点0z以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式(包括Taylor展开式作为特例). 这与Laurent展开式的惟一性并不矛盾, 在同一圆环域内的展开式惟一.第54页/共67页(1) 01;z(2) 12;z(3) 2;z 内展开成Laurent级数.例4.11 将函数1 ( )(1)(2)f zzz 在圆环域(4) 011z 处都解析, 并且可分解为 11( ).12f zzz 典型例题典型例题函数f (z)在z=1和z=2处不解析, 在其它点第55页/共67页oxy1(1) 在 内, 有 则 1z 1,2z 211,1

27、nzzzz 22311111.2222212nnzzzzzz 22231( )(1)222zzf zzz2137.248zz于是在 内， 01z第56页/共67页12oxyzzz111111 21111,zzz 1 z11,z 2 z1.2z 2112121zz2211.2222nnzzz(2) 在 内, 有 12z 第57页/共67页2221111 ( )11222zzf zzzz 2oxy2 z11,z 于是在 内, 12z 1211111.22nnnnzzzzzz(3) 在 内, 有 2z 2 z21.z 第58页/共67页23111111,111zzzzzz 21111241.221zzzzzz 于是在 内, 2z 2323124111( )f zzzzzzz 234137.