高等数学b学习资料-3.9定积分的物理应用举例ppt课件

1、第九节第九节 定积分的物理运用举例定积分的物理运用举例一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功二、水压力二、水压力三、引力三、引力一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功由物理学知道，假设物体在作直线运动的过程中由物理学知道，假设物体在作直线运动的过程中有一个不变的力有一个不变的力 F 作用在这物体上，且这力的方作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体挪动了向与物体的运动方向一致，那么，在物体挪动了间隔间隔 s 时，力时，力 F 对物体所作的功为对物体所作的功为 W=Fs假设物体在运动的过程中所受的力是变化的，就假设物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接运

2、用此公式，而要采用不能直接运用此公式，而要采用“元素法的思元素法的思想处理想处理. 设物体在延续变力设物体在延续变力 F(x) F(x) 作用下沿作用下沿 x x 轴从轴从 x= a x= a 挪动到挪动到 x=b ,x=b ,力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, ,求求 变力变力 F F 所做的功所做的功 . . xabxxxd，上任取子区间上任取子区间在在d,xxxba 在其上所作的功元素为在其上所作的功元素为xxFWd)(d 因此变力因此变力F(x) F(x) 在区间在区间 a,ba,b上所作的功上所作的功 baxxFWd)(qorabrrdr 11例例1 1 在一个带在一个带

3、 +q +q 电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下, ,一个单一个单 位正电荷沿直线从间隔点电荷位正电荷沿直线从间隔点电荷a a 处挪动到处挪动到 b b 处处 (a (a b) ,b) ,求电场力所作的功求电场力所作的功 . . 解解当单位正电荷间隔原点当单位正电荷间隔原点 r 时时,由库仑定律知电场力为由库仑定律知电场力为,2rqkF ,bar 任取小区间任取小区间r , r + dr,取取 r 为积分变量，为积分变量，那么功的元素为那么功的元素为rrqkWdd2 所求功为所求功为 barrqkWd2barqk 1. )11(baqk 解解 如图建立坐标系如图建立坐标系,xoxdx

4、x 5 , 0 x5例例2 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为米，底半径为3米，池内米，池内盛满了水盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？问要把池内的水全部吸出，需作多少功？任取一小区间任取一小区间x , x+dx,取取x为积分变量，为积分变量，这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为)(d32KNxg 功元素为功元素为,d9dxxgW 50d9xxgW 50229 xg g5 .112 (千焦千焦)(3462 KJ 设水的密度为设水的密度为 解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101d)(xxfW,2

5、k hhxxfW0d)(例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入次锤击时将铁钉击入1 1厘米，假设每次锤击所作厘米，假设每次锤击所作的功相等，问第的功相等，问第n n次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 n 次击入的总深度为次击入的总深度为 h 厘米厘米n 次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为 hxkx0d,22kh 依题意有：依题意有：1nWWh 222kkhn ,nh . 1 nnn 次击入的总深度为次击入的总深度为第第 n

6、次击入的深度为次击入的深度为 10dxkx例例4 知一弹簧自然长为知一弹簧自然长为 0.6m，10N 的力使它的力使它伸长到伸长到 1m ，求使弹簧从，求使弹簧从 0.9m 伸长到伸长到 1.1m外外力所做的功力所做的功 W.解解 弹簧力为弹簧力为)(xf, )6 . 01(10 k,kx ,25 k,25)(xxf 即即故弹簧从故弹簧从 0.9m 伸长到伸长到 1.1m外力所做的功为外力所做的功为 5 . 03 . 0d25xxW 5 . 03 . 02225x ).(2 J 二、水压力二、水压力由物理学知道，在水深为由物理学知道，在水深为 h h 处的压强为处的压强为 p= p= g g

7、h ,h ,这里这里 是水的密度假设有一面积为是水的密度假设有一面积为 A A 的的平板程度地放置在水深为平板程度地放置在水深为 h h 处，那么平板一侧所处，那么平板一侧所受的水静压力为受的水静压力为 F = pA= F = pA= g h A g h A 假设平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处假设平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接运用此公式，而要采用直接运用此公式，而要采用“元素法的思想处元素法的思想处理理解解 如图建立坐标系，如图建立坐标系，xoa2a2a面积元素面积元素,d)(2dxxaA x

8、xaaxgFd)(2)2(d xxaaxgFad)(2(20 侧侧压压力力.373ag 例例1 将直角边各将直角边各 为为 2a 及及a 的直角三角形薄的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的间隔恰等于该边与水面平行，且该边到水面的间隔恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力的边长，求薄板所受的侧压力 侧压力元素为侧压力元素为设水的密度为设水的密度为 , , 那么那么解解在端面如图建立坐标系在端面如图建立坐标系xoxdxx 例例2 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底

9、半径为设桶的底半径为 R ，水的密度为，水的密度为 ，计算桶的，计算桶的一端面上所受的压力一端面上所受的压力面积元素面积元素,d2d22xxRA 侧压力元素为侧压力元素为设水的密度为设水的密度为 , , 那么那么xxRxgFd2d22 xxRgxFRd2220 )(d22022xRxRgR RxRg0322)(32 .323Rg 端面上所受的压力为：端面上所受的压力为：,d222xxR 阐明阐明当桶内充溢水时当桶内充溢水时, )(xRgp 小矩形片上的压强为小矩形片上的压强为侧压力元素侧压力元素 Fd故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为 RRxxRxRFd)(g222 奇函数奇函数2414RR

10、g )(xRg RxxRgR022d4 oxyRxxxd 3Rg 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21, mm相距为相距为r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向三、引力三、引力假设要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，假设要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的间隔是变化的，且由于细棒上各点与该质点的间隔是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算用此公式计算, ,而要

11、采用而要采用“元素法的思想处元素法的思想处理理 2l2l xyoMa解解 如图建立坐标系如图建立坐标系取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间d,yyy ,22lly 将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 例例 有一长度为有一长度为 l 、线密度为、线密度为 的均匀细棒，的均匀细棒，在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的的质点质点 M ，计算该棒对质点，计算该棒对质点 M 的引力的引力 小段与质点的间隔为小段与质点的间隔为,22yar 引力元素引力元素,dd22yaymkF 程度方向的分力元素程

12、度方向的分力元素 cosdFFx 2322)(d22yayamkFllx ,4222laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yF,)(d2322yayamk .4222laalkmF 故棒对质点的引力大小为故棒对质点的引力大小为2l2l xyoMarydyy 例例 设有一长度为设有一长度为 l, 线密度为线密度为 的均匀细直棒的均匀细直棒,在其在其中垂线上距中垂线上距 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M,试计试计算该棒对质点的引力算该棒对质点的引力.M解解 如图建立坐标系如图建立坐标系.y2l2ld,xxx 细棒上小段细棒上

13、小段对质点的引力元素为对质点的引力元素为 dkF xm d 22xa 故垂直分力元素为故垂直分力元素为 cosddFFy a 22dxaxmk 22xaa 23)(d22xaxamk axoxFdxFdyFdxxd由对称性知，棒对质点引力的程度分力由对称性知，棒对质点引力的程度分力 2223)(d22llxaxamkFy 022222lxaaxamk 2242laalmk .0 xF.4222laalmkF 故棒对质点的引力大小为故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为棒对质点的引力的垂直分力为 练习：练习： 长为长为 l 线密度为线密度为 的

14、均匀细棒，在离端的均匀细棒，在离端点为点为 a 处有一质量为处有一质量为 m 的质点，求细棒对质点的质点，求细棒对质点的引力。的引力。利用利用“元素法思想求变力作功、元素法思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题留意熟习相关的物理知识留意熟习相关的物理知识四、小结四、小结留意留意1. 从实践情况出发建立恰当的坐标系对于物从实践情况出发建立恰当的坐标系对于物理量的计算是至关重要的理量的计算是至关重要的.且在建立坐标系时且在建立坐标系时,必需明确指明原点位置必需明确指明原点位置和坐标轴的正向和坐标轴的正向.2. 计算时对同类量要采用一致的单位计算时对同类量要采用一致的单位.思索

15、与练习思索与练习提示提示: : 作作 x x 轴如图轴如图. .ox30 xxd1、为去除井底污泥、为去除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底用缆绳将抓斗放入井底,抓起污抓起污泥后提出井口泥后提出井口,知井深知井深30 m ,抓斗自重抓斗自重400N ,缆绳每缆绳每米重米重50N ,抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为提升速度为3m /s ,在提升过程中污在提升过程中污泥以泥以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问：抑制重力需作多少焦耳问：抑制重力需作多少焦耳( J ) 功功?将抓起污泥的抓斗由将

16、抓起污泥的抓斗由x 提升提升 dx 所作的功为所作的功为 321ddddWWWW 提升抓斗中的污泥提升抓斗中的污泥:井深井深 30 m, 抓斗自重抓斗自重 400 N, 缆绳每米重缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为提升速度为3ms, 污泥以污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1抑制缆绳重抑制缆绳重:xxWd)30(50d2抓斗升至抓斗升至 x 处所需时间处所需时间 :) s (3x(J)91500 xxxWd)3202000()30(50400300 xxWd)3202000(d3 321ddd

17、dWWWW 抑制抓斗自重抑制抓斗自重: 2、斜边为定长的直角三角形薄板、斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于水垂直放置于水中中,并使不断角边与水面相齐并使不断角边与水面相齐,问斜边与水面交成的问斜边与水面交成的锐角锐角 取多大时取多大时, 薄板所受的压力薄板所受的压力 F 最大最大 .解解 如图建立坐标系如图建立坐标系. 设斜边长为设斜边长为 l , coscotlxy xxygd sin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633 lgloyxy那么其方程为那么其方程为xxxd sin0lP)cos(cos633 lgF,0dd F令令33arccos0 故得独一驻点故得独一

18、驻点 故此独一驻故此独一驻点点0即为所求即为所求. . 由实践意义可知最大值存在由实践意义可知最大值存在 , ,即即0sincos3sin2 , ),0(2loyxyxxxd 3、 一球完全浸没水中，问该球面所受的总压一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中遭到的浮力有何关系？与它在水中遭到的浮力有何关系？解解该球面所受的总压力方向向上该球面所受的总压力方向向上 (下半球面所受的压下半球面所受的压力大于上半球面力大于上半球面) ，其值为该球排开水的，其值为该球排开水的 分量，分量，即球的体积，也就是它在水中遭

19、到的浮力因此即球的体积，也就是它在水中遭到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关该球面所受的总压力与球浸没的深度无关一、一、 直径为直径为20厘米，高为厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强厘米的圆柱体内充满压强为为310厘米厘米牛牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？体积缩小一半，问需要作多少功？二、二、 一物体按规律一物体按规律3tcx 作直线运动，媒质的阻力与作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由速度的平方成正比，计算物体由0 x移至移至ax 时，克服媒质阻力所作的功时，克服媒质阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长610 米和米和米，高为米，高为20米，较长的底边与水面相齐米，较长的底边与水面相齐. .计算闸门计算闸门的一侧所受的水压力的一侧所受的水压力 . .练练 习习 题题四、四、 半径为半径为的球沉的球沉r入水中，球的上部与水面相切，入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作球的比重与水相同，现将球从水中取出，需