二次函数中考压轴题精选

1、二次函数中考压轴题精选1.（2012 浙江湖州3 分） 如图，已知点a（4，0） ，o 为坐标原点， p 是线段 oa 上任意一点（不含端点o， a） ，过 p、o 两点的二次函数y1和过 p、a 两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为b、c，射线 ob 与 ac 相交于点d当 od=ad=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于【】a5b453c3 d4 2 （ 2012 浙江义乌3 分） 如图，已知抛物线y1=2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y1、 y2 若 y1y2， 取 y1、 y2中的较小值记为m； 若 y1=y2， 记 m=y

2、1=y2 例如：当 x=1 时， y1=0，y2=4，y1y2，此时 m=0 下列判断：当 x 0时， y1y2；当 x 0 时， x 值越大， m 值越小；使得 m 大于 2 的 x 值不存在；使得 m=1 的 x 值是或其中正确的是【】abcd【答案】 d。【考点】 二次函数的图象和性质。【分析】 当 x0 时，利用函数图象可以得出y2y1。此判断错误。抛物线y1=2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时， x 对应的函数值分别为y1、y2，若 y1y2，取 y1、y2中的较小值记为m。当 x0 时，根据函数图象可以得出x 值越大， m 值越大。此判断错误。抛物线y1=2x2+

3、2，直线 y2=2x+2 ，与 y 轴交点坐标为： （0，2） ，当 x=0 时，m=2 ，抛物线 y1= 2x2+2，最大值为2，故 m 大于 2 的 x 值不存在；此判断正确。 使得 m=1 时，若 y1=2x2+2=1，解得： x1=22，x2=22；若 y2=2x+2=1 ，解得： x=12。由图象可得出：当x=220，此时对应y1=m 。抛物线y1=2x2+2 与 x 轴交点坐标为： （1，0） ， （ 1，0） ，当 1x0，此时对应y2=m ，m=1 时， x=22或 x=12。此判断正确。因此正确的有：。故选d。3. （2012 浙江衢州12 分） 如图，把两个全等的rtaob

4、 和 rtcod 分别置于平面直角坐标系中，使直角边ob、 od 在 x 轴上已知点a（1，2） ，过 a、c 两点的直线分别交x轴、 y 轴于点 e、f抛物线y=ax2+bx+c 经过 o、a、c 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点 p为线段 oc 上一个动点， 过点 p 作 y 轴的平行线交抛物线于点m，交 x 轴于点 n，问是否存在这样的点p，使得四边形abpm 为等腰梯形？若存在，求出此时点p 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若 aob 沿 ac 方向平移（点a 始终在线段ac 上，且不与点c 重合） ， aob 在平移过程中与 cod 重叠部分面积记为s试探究s 是否存在最

5、大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【答案】 解： （1）抛物线y=ax2+bx+c 经过点 o， c=0。又抛物线y=ax2+bx+c 经过点 a、c，a+b=24a+2b=1，解得3a=27b=2。抛物线解析式为237y=x +x22。（2）设点 p 的横坐标为t，pncd， opn ocd，可得 pn=t2。p（t，t2） 。点 m 在抛物线上，m（t，237t +t22） 。如图 1，过 m 点作 mgab 于 g，过 p 点作 phab 于 h，ag=yaym=2223737t +t =tt+22222，bh=pn=t2。当 ag=bh 时，四边形abpm 为等腰梯形，

6、237ttt+2=222，化简得3t28t+4=0 。解得 t1=2（不合题意，舍去） ， t2=23，点 p 的坐标为（2133，） 。存在点p（2133，） ，使得四边形abpm 为等腰梯形。（3）如图 2， aob 沿 ac 方向平移至 ao b，ab交 x 轴于 t，交 oc 于 q，ao 交 x 轴于 k，交 oc 于 r。由 a、c 的坐标可求得过a、c 的直线为yac=x+3 设点 a 的横坐标为a，则点 a （ a， a+3） ，易知 oqt ocd，可得 qt=a2。点 q 的坐标为（ a，23） 。设 ab 与 oc 相交于点j， arq aoj，相似三角形对应高的比等于相

7、似比，hta q=obaj。13aaa q2ht=ob=1=2a1aj22。kt=12a t=12（3 a） ，aq=yayq=（ a+3）a2=332a。s四边形rktq=saktsarq=12kt?at12a q?ht221 3a131331333a3aa+2 =a +a=a+2222224228。120，在线段 ac 上存在点a （3322，） ，能使重叠部分面积s 取到最大值，最大值为38。【考点】 二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系， 二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。【分析】（1）

8、抛物线y=ax2+bx+c 经过点 o、 a、 c，利用待定系数法求抛物线的解析式。（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t 的值，从而可解。结论：存在点p（2133，） ，使得四边形abpm 为等腰梯形。（3）求出得重叠部分面积s 的表达式，然后利用二次函数的极值求得s 的最大值。4. （2012 浙江绍兴12 分） 把一边长为40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。要使折成的长方形盒子的底面积为484c

9、m2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。【答案】 解： （1）设剪掉的正方形的边长为xcm。则（ 402x）2=484，解得1x31（不合题意，舍去） ，29x。剪掉的正方形的边长为9cm。侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则 y

10、 与 x 的函数关系为：22y4(402x)x8x160 x8(x10)800，x=10 时， y最大=800。即当剪掉的正方形的边长为10cm 时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。则2(402 )(20)2 (20)2 (402 )550 xxxxxx，解得：135x（不合题意，舍去） ，215x。剪掉的正方形的边长为15cm。此时长方体盒子的长为15cm，宽为 10cm，高为 5cm。【考点】 二次函数的应用，一元二次方程的应用。【分析】（1）假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（402x）2=484，求出即可假设剪掉

11、的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则 y 与 x 的函数关系为：y=4（40-2x）x，利用二次函数最值求出即可。（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可。5 （ 2012 浙江绍兴14 分） 如图，矩形oabc 的两边在坐标轴上，连接ac ，抛物线2yx4x2经过 a，b 两点。（1）求 a 点坐标及线段ab 的长；（2）若点 p由点 a 出发以每秒1 个单位的速度沿ab 边向点 b 移动， 1 秒后点 q 也由点 a出发以每秒7 个单位的速度沿ao ，oc，cb 边向点 b 移动，当其中一个点到达终点时另一个点

12、也停止移动，点p 的移动时间为t 秒。当 pqac 时，求 t 的值；当 pqac 时，对于抛物线对称轴上一点h， hoq poq，求点 h 的纵坐标的取值范围。【答案】 解： （1）由抛物线2yx4x2知：当 x=0 时， y= 2， a（ 0， 2） 。四边形 oabc 是矩形， abx 轴，即 a、b 的纵坐标相同。当 y=2 时，22x4x2，解得12x0 x4，。 b（4， 2） 。ab=4 。（2）由题意知： a 点移动路程为ap=t ，q 点移动路程为7（t1）=7 t 7。当 q 点在 oa 上时，即07t72，91t7时，如图 1，若 pqac，则有 rtqaprtabc 。

13、qaap=abbc，即7t7t42，解得7t5。7957，此时t 值不合题意。当 q 点在 oc 上时，即27t76，913t77时，如图 2，过 q 点作 qdab。 ad=oq=7 （t1） 2=7t9。dp=t（ 7t9）=96t。若 pqac，则有 rtqdprtabc ，qadp=abbc，即296t44，解得4t3。9413737，4t3符合题意。当 q 点在 bc 上时，即67t78，1315t77时，如图 3，若 pqac，过 q 点作 qg ac，则 qgpg，即 gqp=90 。 qpb90 ，这与 qpb 的内角和为180 矛盾，此时 pq 不与 ac 垂直。综上所述，当

14、4t3时，有 pqac。当 pqac 时，如图 4， bpq bac ，bpbq=babc，4t87(t1)42，解得 t=2。即当 t=2 时， pqac。此时 ap=2，bq=cq=1 。p（2， 2） ， q（ 4， 1） 。抛物线对称轴的解析式为x=2，当 h1为对称轴与op 的交点时，有h1oq=poq，当 yh 2 时， hoq poq。作 p 点关于 oq 的对称点 p ，连接 pp 交 oq 于点 m，过 p 作 pn 垂直于对称轴，垂足为n，连接 op ，在 rtocq 中， oc=4，cq=1。 oq=17，sopq=s四边形abcdsaopscoqsqbp=3=12oq

15、pm，pm=6 1717。 pp =2pm=12 1717。npp =coq。 rtcoq rt npp 。cqoqoc=nppppn，即1174=p npn12 1717，解得12pn17，48pn17。p （46 1417 17，） 。直线op 的解析式为7yx23。op 与 np 的交点 h2（ 2，1423） 。当h14y23时， hop poq。综上所述，当hy2或h14y23时， hoq poq。【考点】 二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，将x=0 代入即可得a 点坐标；由

16、于四边形oabc 是矩形，那么 a、b 纵坐标相同，代入该纵坐标可求出b 点坐标，则ab 长可求。（2）q 点的位置可分：在oa 上、在 oc 上、在 cb 上 三段来分析，若pqac时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t 的取值范围， 然后通过相似三角形（或构建相似三角形） ，利用比例线段来求出t 的值，然后由t 的取值范围将不合题意的值舍去。当 pqac 时， bpq bac ，通过比例线段求出t 的值以及p、q 点的坐标，可判定p 点在抛物线的对称轴上，若p、h1重合，此时有h1oq=poq。若作p点关于 oq 的对称点p ，op 与 np 的交点 h2，亦可得到 h2oq=p

17、oq，而题目要求的是hoq poq，那么 h1点以下、 h2点以上的 h 点都是符合要求的。6. （2012 浙江台州12 分） 某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：时间 t（秒）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 行驶距离s（米）0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 （1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s 与 t 之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当 t 分别为 t1，t2（t1 t2）时，对应s 的值分别为s1，s2，请比较11st与22

18、st的大小，并解释比较结果的实际意义【答案】解： （1）描点图所示：（2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2 bt c，抛物线经过点（0，0） ， c=0。又由点（ 0.2， 2.8） ， （1，10）可得：0.04a+0.2b=2.8a+b=10，解得：a=5b=15。经检验，其余各点均在s=5t2+15t 上。二次函数的解析式为：2s5t15t。（3）汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。22345s5t15t=5 t24，当 t=32时，滑行距离最大， 为454。因此，刹车后汽车行驶了454米才停止。2s5t15t，22111222s5t15ts5t1

19、5t，。22111222121122s5t15ts5t15t=5t15=5t15tttt，。t1t2，12122112ss=5t155t15 =5 tt0tt。1212sstt。其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析】（1）描点作图即可。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法， 由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。（4）求出11st与22st，用差值法比较大小。7. （2012 浙江温州1

20、4 分） 如图，经过原点的抛物线2yx2mx(m0)与 x 轴的另一个交点为a.过点p(1,m)作直线pmx轴于点 m ，交抛物线于点b.记点 b 关于抛物线对称轴的对称点为c（ b、c 不重合） .连结 cb,cp。（1）当m3时，求点a 的坐标及bc 的长；（2）当m1时，连结 ca，问m为何值时cacp？（3）过点 p作 pepc 且 pe=pc，问是否存在m，使得点 e 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点e 坐标；若不存在，请说明理由。【答案】 解： （1）当 m=3 时， y=x26x。令 y=0 得 x26x=0 ，解得， x1=0，x2=6。 a（6

21、，0） 。当 x=1 时， y=5。 b（1，5） 。抛物线y=x26x 的对称轴为直线x=3，且 b，c 关于对称轴对称，bc=4 。（2）过点 c 作 chx 轴于点 h（如图 1）由已知得， acp= bch=90 ， ach= pcb。又 ahc= pbc=90 ， agh pcb。ahpbchbc。抛物线y=x22mx 的对称轴为直线x=m，其中 m1，且 b，c 关于对称轴对称，bc=2 （m1） 。b（1，2m1） ， p（1，m） ， bp=m1。又 a（2m，0） ，c（2m 1，2m1） ， h（2m1，0） 。ah=1 ，ch=2m 1，1m12m12 m1，解得 m=3

22、2。（ 3）存在。 b，c 不重合， m 1。（i）当 m1 时， bc=2 （m1） ，pm=m ，bp=m1，（i）若点 e 在 x 轴上（如图1） ， cpe=90 ， mpe+bpc=mpe+ mep=90 ，pc=ep。 bpc mep， bc=pm ，即 2（m-1）=m，解得 m=2。此时点 e 的坐标是（ 2，0） 。（ii）若点 e 在 y 轴上（如图2） ，过点 p 作 pny 轴于点 n，易证 bpc npe，bp=np=om=1 ，即 m1=1，解得， m=2。此时点 e 的坐标是（ 0，4） 。（ii）当 0m1 时， bc=2 （1m） ，pm=m ，bp=1m，（

23、i）若点 e 在 x 轴上（如图3） ，易证 bpc mep，bc=pm ，即 2（1m）=m，解得， m=23。此时点 e 的坐标是（43，0） 。（ii）若点 e 在 y 轴上（如图4） ，过点 p 作 pny 轴于点 n，易证 bpc npe，bp=np=om=1 ，即 1m=1， m=0（舍去）。综上所述，当m=2 时，点 e 的坐标是（ 0， 2）或（ 0，4） ，当 m=23时，点 e 的坐标是（43，0） 。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）把 m=3，代入抛物线的解析式，令y=0

24、解方程，得到的非0 解即为和x 轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出bc 的长。（2）过点 c 作 chx 轴于点 h（如图 1）由已知得 acp= bch=90 ，利用已知条件证明agh pcb，根据相似的性质得到：ahpbchbc，再用含有m 的代数式表示出bc，ch，bp，代入比例式即可求出m 的值。（3）存在。本题要分当m1 时， bc=2（ m-1） ，pm=m ，bp=m 1 和当 0m1时， bc=2（ 1m） ，pm=m ，bp=1m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m 值和相对应的点 e 坐标。8. （2012 浙江义乌12 分） 如图 1，已知直线y=kx

25、与抛物线2422y=x +x273交于点 a（ 3，6） （1）求直线y=kx 的解析式和线段oa 的长度；（2）点 p为抛物线第一象限内的动点，过点p作直线 pm，交 x 轴于点 m（点 m、o 不重合） ，交直线oa 于点 q，再过点q 作直线 pm 的垂线，交y 轴于点 n试探究：线段qm与线段 qn 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图 2，若点 b 为抛物线上对称轴右侧的点，点 e 在线段 oa 上（与点 o、a 不重合），点 d（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足bae= bed= aod 继续探究： m 在什么范围时，符合条件的e 点的

26、个数分别是1 个、 2 个？【答案】 解： （1）把点 a（3，6）代入 y=kx 得； 6=3k ，即 k=2。y=2x 。22oa3 +6 =3 5。（2）线段 qm 与线段 qn 的长度之比是一个定值，理由如下：如图 1，过点 q 作 qgy 轴于点 g，qhx 轴于点 h当 qh 与 qm 重合时，显然qg 与 qn 重合，此时qmqhqhtanaom=2qnqgoh。当 qh 与 qm 不重合时，qnqm，qgqh 不妨设点h， g 分别在 x、y轴的正半轴上， mqh= gqn。又 qhm= qgn=90 ， qhm qgn。qmqhqhtanaom=2qnqgoh。当点 p、q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得qm=2qn。线段 qm 与线段 qn 的长度之比是一个定值。（3）如图 2，延长 ab 交 x 轴于点 f，过点 f 作fcoa 于点 c，过点 a 作 arx 轴于点 r。 aod= bae， af=of 。oc=ac=15oa=522。 aro= fco=90 ， aor= foc， aor foc。ofao3 55ocor3。 of=5155522。点 f（152， 0） 。设点 b （x，2422x +x273） ， 过点 b 作 bk ar 于点 k