立体几何中的向量方法

1、、空间直角坐标系： z以单位正方体OABC-DB'C的y 顶点o为原点，分别以射线oa/H/bOC, O"的方向为正方向，以 线段OA,OC, OD的长为单位 长度，建立三条数轴:兀轴j轴； Z轴，这时我们建立了一个空间直角坐标系0兀。 点0叫做坐标原点，兀轴、y轴、z轴叫做坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别 称为xoy平面、yoz平面、和zo兀平面.空间直角坐标系的画法:la:轴与V轴、兀轴与z轴均成135。， 而z轴垂直于丿轴.例1:在长方体OABC - DAH 中, 0A = 3,0C = 4,0Dr| = 2,写出所有点的坐标2.D(0,0,2)C(

2、0,4,2)X(3,0,2)£? 4(300)O(0,0,0) B !(3,4,2).4 丿C (0,4,0)5(3,4,0)IB缪些请绸阀直翻嗨锹标系，并在空间直(5, 4, 6)(5, 4, 6)X3、如图,棱长为a的正方体OABC-D' A' B' C'中，对2、如下图e在长方体OABC-D、A、B、C'中 |0A|=3, |0C|=4, |0D'|=3, A'C、于B'D'相交于 点氏分别写出点C. B P的坐标.A'角线OB'于BD'相交于点Q.顶点0为坐标原点，0A,0C分别在

3、x轴、y轴的正半轴上试写出点Q的坐标.二、空间向量的坐标表示若A（X1J谀1）出（兀2必忆2），贝U AB = OB-OA=（x2fy29z2）-（x19jii）=（兀宀,、矿引）空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.练仁 在空间直角坐标系中，已知A= (2, 1,3) , B= (1, 2, 5),贝UAB BA =练2：在空间直角坐标系中，已知A= (2, x,y)，丽=仃,-2,5)贝"B二3如图，正方体ABCD-A.B.C.D.中，棱长为2, E ,F分别是BB, 冲点，求向量OAVBVEF的坐标。三、空间向量的数量积运算a-

4、b= a bcos3a a】方i + a22 + a3f a丄bo坷久+。2® +。33 = °（a#都不是零向量）四空匹咗线向量密理：对空间任意两个 向量Nb（b丰o），R/劇充要条件是存在实数 使 a Ab练X在空间直角坐标系中，已知 a (325)，5 = (1,5,1),贝肪5 =练2：在空间直角坐标系中，已知a - (一421)£ = (x，y，2)，且刁才贝収=3如图，正方体ABCD- A1B1C1D1 ,棱长为2, E , 匚分别是bb、，砂中点，求向量 鬲与死，丽与丽的位置关系。五、距离与夹角的坐标表示1 距富公或CU向量的长度()衣式已知Q =(

5、XJ,Z)，则 Q = Jx2+J2+Z2此公式的鬼何克丈是以帝衣方体的对练X在空间直角坐标系中，已知 a - (一325)，方=(1,5,-1),则云=b -,a+b =3如图，正方体ABCD-A1B1c1£>1中，棱长为2, E , F分别是BB19 M冲点，求萨。（2）空间两点间的距寓公式在空间直角坐标系中，已知人（兀i，X，zJ、 （兀2 丿22）,贝J=>| AB |= JaBMB = J（X2 一兀1）2 +（丿2 一丿1）2 +（Q 石）22两个向量央角衣天已知Q =(兀1，几忆1)历=(兀22忆2)则 cos(q£) =注意：ab可兀z+jV 寸

6、EE”卜” j兀r+x+zr. x2当cosva,厶>=1时，方与厶同向; 当cos<a,S >=-1时,°与厶反向; 当cosva,乙>=0时，a丄厶。+j22练X在空间直角坐标系中，已知5 = (-3,2,5), = (1,5-1),. 求刁与B所成的角的余弦值 练2如图，在正方体ABCD-合QC4冲，严 =£>£=刍比，求阿与砂所成的角的余弦值4ABX3.中点坐标公式已A（兀,V，Zi），（兀2，丁2忆2X则线段的中点坐标为（-J|+兀2 儿 +丿2Z1+Z2、2 2 23. 2. 1立体几何中的向量方法方向向量与法向量'

7、;、方向向量与法向量1直钱的方向向置如图，I为经过已知点A且平行于非零向量:的直线，那么非零向量：叫做直线/的方向向量。换句话说，直线上的非零向量叫做直线的 方向向量2.年而的族向量如果直线1丄平面G 取直线1的方向向量丘, 则向量运叫做平面a的法向量.换句话说，与平面垂直的非零向量叫做平面例1.如图所示，正方体的棱长为1(1)直线0A的一个方向向量坐标为(1,0,0)平面0ABC的一个法向暈坐标为(0,0,1)ZO1(3)平面ABC的一个法向量坐标为 d J)ClAB例2.在空间直角坐标系中，已知4(3,0,0)/(0,4,0),C(0,0,2),试求平面ABC的一个法向量.n = (4,3

8、,6)解:设平面ABC的一个法向量为n = (x,y,z)3v = -x43z = -x2则：丄 AB.n 丄疋 VAB = (-3,4,0), AC = (-3,0,2)j(:r,z)(-3,4,0) = 0 j-3x + 4j = 0(兀,y, z) (-3,0,2) = 0-3x + 2z = 0取x =4,则兀=(4,3,6)n = (4,3,6)是平面ABC的一个法向量.总结:如何求平面的迭向量 设平面的法向量为n = (x,y,z)找出俅出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a =(吗，灼)，方=(a29b2,c2)根据法向量的定义建立关于的方程解方程组，取其中的一个解,即得法向量.令x、y、z中某个为定值正方形，侧棱PD丄底面ABCD, PD=DC=1佢是PC 的中点，求平面EDB的一个法向量.解：如图所示建立空间直角坐标系.依题意得 D(O,O,O),P(O,O,1),E(O，t，t)0) 旋NO,*,DB = (1,1, 0) 设平面EDB的法向量为n二 贝咯丄万瓦A丄丽V H= 022二 丸=fZEA于是x+ y = 0如图所示，在直四棱柱ABCD-ABCiDi中