定理32变分引理设M为希尔伯特空间H中的闭凸集X

1、定理3.2 （变分引理）设M为希尔伯特空间H中的闭凸集，X H，记x到 M 的距离为 d - - （x,M ） = imf x - y那么，必存在唯一的x M，使|x-X0 = d该定理在微分方程、现代控制论中有重要应用。定理3.3 （投影定理） 设M为希尔伯特空间H中的闭线性子空间，那么 对-xH ,X在M上投影是唯一的，即存在唯一的x0，使x=x 0+x 1例3.4（最小二乘法）对非线性函数f，要求用几个给定的函数更逼近。如 f L2a,b，贝UIn/n2 、f -“XkT=f（X）-瓦 a kXk 1dxk=1k =）抽象为如下问题：设H为希尔伯特空间，x,x1,xn为H中的n+1个点，

2、要求出n个数a 1, a2，a n使nnX 送 akxk=minx -送人kxkk=1（'-1丸n ）k =n,最佳逼近问题就让M表示为x,x,x张成的线性子空间，即所有 、 k =1 是求x在M上的最短距离即投影X。3希尔伯特空间中的正交系定义3.5内积空间H中的元素列e满足/0 m 式 nem,en.1m = n则算en为H中的标准正交系。例 3.5 R 中 q =(0，0,1,00)i=1,2,n】个是Rn中的一个标准正交系例 3.6 l 空间eh= (0,-0, 1, 0)n=1, 2,是1中的一个标准正交系例 3.7 在系 L2- n , n 中2 en=0, ±,

3、 ±,为一个标准正交系。复 旳 二x(t)y2(t)dt实 L2- n , n 中，内积x, y 二 x(t)y(t)dt1 ' 1cosnt,en 一sinnt,n =1,2,为三角傅里叶级数Q0f(t)二 a°' an cos nt bnsinntn=1a0f (t),eo_寸2兀127JlJf(t)dt1 二f, ehanf (x) cosntdt -定义3.6设内积空间 H中有一个标准正交系 en (n=1 , 2)，则数列<x,e>n=1,2称为x关于标准正交系e的傅里叶系数。定理3.4设en ( n=1 , 2 ,)为内积空间H中的标

4、准正交系，nM=spane1,e2,en, x H,贝U x° = '： x,q qi=12 n 2是x在M上的投影，且x02八X，eL|2i =1|x-xo|2=|x|2-|xo|2定理3.5 (贝塞尔Bessel不等式)，设e为内积空间H中的标准正交关系，则 迟 |x,en|2 兰ix2i=1有上定理nfx得推论3.1设e为内积空间H中的标准正交关系，则lim x，en =on r ：定义3.7设H为内积空间，en为H中的一个标准正交系，若 x H, x丄en (n=1, 2)，贝U必有x=Q, H中不再存在非零的元素，使它与所有 en正交， 则称 en 为H中的完全正交

5、系。f* 1 2 3 4(t)计家f(t)Pdt=今彳2定理3.6 设en ( n=1,2)为希尔伯特空间H中的标准正交系，周期信号的功率等于各该信号在完备正交函数集中各分量功率之和3) 称为傅里叶级数对任何空间，是否可找到这种完全正交系，使任何空间中任何元素都能 表示为傅里叶级数是非常重要的。如小波基的构造问题。下面将说明， 可分的希尔伯特空间必有至多列个标准正交向量组成完全的标准正交 系。4.可分希尔伯特空间及同构性。定理3.7 (格兰姆-施密特(Gram-Schmidt)标准正交代方法)设H为希尔伯特空间，Xn为H中的额彼此线性无关的点列，则必可作出一个标准正交系en , n=1,2 使

6、 spanxn|n=1,2,.=spanen|n=1,2,.证：作 刁=1,令 M1=spaneiX1因x1与x2线性无关，x2M1，由投影定理x2在M1上存在唯一的投影h2<X2,ei>e1,令 h2=X2-<X2e>e1，贝U h2丄8,作 岂 =,M2=spane1,e2h2l因X3与X1,X2（或e1,e2）线性无关，x M 2 ,因而X3在 M2存在唯一投影X3,0101X3,e2e2,令h3= X -X3,0101-：X3,e2e2, J则h3 丄 M2,作,M3 二 span61,62,G3 ?设两个相等,T Xi可由e1,.en表示,e也可由X1,.xn

7、表示定理3.8可分的希尔伯特空间都存在多少列的完全标准正交系。定义3.8 设H1和H2为两个内积空间，如果存在从H1到H2上的一映象， 使其保持线性运算及内积相等，即 x1,y1 H，及2个数a , B均存：Xyj = ：X厂;l y1X1 ,yi： = X1,y1则称内积空间H1与H2是同构的定理3.9任意可分的希尔伯特空间H必与12 (或Rn)空间同构 若H是有限的标准正交系，X 二 xe , X,e2 ,x,en若H是无限的标准正交系，X 二 X© ,x,en ,可证保持同构映射。5。希尔伯特空间的自共轭性定理3.10(黎斯表现定理)对希尔伯特空间 H上的每一个有界先行输出f，

8、必 存在唯一的u H，使对f (X) =<x,u>，Iu| =| f I反之，对-u H，由等式f (X) =<X,U>唯一确定了 H上的一个有界线性f，并满足 II f II = |u|希尔伯特空间上有界线性的一般形式。由定理3.10 可做H到H*上的映射T:Tu=f=fu- u H ,设 fv 为 Tv,则T U V X 二 fu v X 二 x,u v= x,ux,v = fufv x即 fu v"u f即T u v =Tu Tz-:,有 f ：u x = x,： u x,u fu x即 f ： u " fu 即 T : uTuT为共轭线性的，即 Tv = T _Tv且T是一一映象，保持指数不变H与H*为交共轭线性同构的将u和fu共同看待，则希尔伯特空间是自共轭的如Rn，I2，L2（a b）都是希尔伯特空间，因而它们的共轭空间是自身。关于出