静电场环路定理

1、1-3电场力的功电场力的功 电势电势rdrr cl dcE ba保守力保守力dlEql dEql dFdAcos00drdl cos其中其中 baEdrqA0EdrqdA0 则则与路径无关与路径无关 qarbrdr)11(400barrqq 一电场力做功的特点一电场力做功的特点q0barrodrrqq204 推广推广 banabl d)EEE(qA210 bababanl dEql dEql dEq02010 iibiain)rr(qqAAA1140021 (与路径无关与路径无关)结论结论 试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起

2、点和终点位置有关，而与路径无关。只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。 静电场力是保守力静电场力是保守力! acbadbl dEql dEq000二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理abcd即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。00 q0LldEq0沿闭合路径沿闭合路径 a c b d a 一周电场力所作的功一周电场力所作的功l dEqA0在静电场中，电场强度的环流恒为零。在静电场中，电场强度的环流恒为零。 静电场的环路定理静电场的环路定理acbbdal dEql dEq00b点电势能点电势能bW则则ab电场力的功电场力的功 ba

3、abldEqA0baWW 0 W取取 aaaldEqAW0试验电荷试验电荷 处于处于0qa点电势能点电势能aWab三、电势能三、电势能保守力的功保守力的功 = 相应势能的减少相应势能的减少所以所以 静电力的功静电力的功=电势能的减少电势能的减少 =电势能增量的负值电势能增量的负值)(abWW 注意：注意：1.引入电势能的目的是量度两点间电场力的功；引入电势能的目的是量度两点间电场力的功；2.Wa与零点选择有关；与零点选择有关；3. Wa属于属于q0及电场系统共有及电场系统共有. aaaldEqWu0定义定义电势差电势差 电场中任意两点电场中任意两点 的的电势之差（电压）电势之差（电压）bauu

4、 abbaabl dEl dEuuu bal dE aaldEqW0四、电势四、电势 电势差电势差单位正电荷在该点单位正电荷在该点所具有的电势能所具有的电势能单位正电荷从该点到无穷远点单位正电荷从该点到无穷远点(电势零点电势零点)电场力所作的功电场力所作的功 a、b两点的电势差数值上等于将单位正电荷两点的电势差数值上等于将单位正电荷从从a点移到点移到b时，电场力所做的功。时，电场力所做的功。 定义定义电势电势 将电荷将电荷q从从ab电场力的功电场力的功 baldEq0baabWWA )(0bauuq 注意注意1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。对于

5、有限带电体而言对于有限带电体而言,电势零点的选择在电势零点的选择在无限无限远点远点;对于仪器而言电势零点的选择在底板上对于仪器而言电势零点的选择在底板上.2、两点间的电势差与电势零点选择无关。、两点间的电势差与电势零点选择无关。1 1、点电荷电场中的电势点电荷电场中的电势r qP 0r如图如图 P点的场强为点的场强为 0204rrqE PrPrqdrrqldEu02044 由电势定义得由电势定义得讨论讨论 对称性对称性: :大小大小以以 q 为球心的同一球面上的点为球心的同一球面上的点,电势相等电势相等.最最小小ururuq 00最最大大ururuq 00五、电势的计算五、电势的计算根据电场叠

6、加原理场中任一点的根据电场叠加原理场中任一点的2、电势叠加原理、电势叠加原理若场源为若场源为q1 、q2 qn的点电荷系的点电荷系场强场强电势电势nE.EEE 21 PPnl dEEEl dEu)(21 niinuu.uu121各点电荷单独存在时在该点电势的代数和各点电荷单独存在时在该点电势的代数和.(标量叠加标量叠加). PPnPl dE.l dEl dE21由电势叠加原理，由电势叠加原理，P的电势为的电势为点电荷系的电势点电荷系的电势 iiirquu04 rdqduu04 连续带电体的电势连续带电体的电势由电势叠加原理由电势叠加原理dqP r1r 1q 2qnq 2rnr 根据已知的场强分

7、布，按定义计算根据已知的场强分布，按定义计算 由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 PPldEu电势计算的三种电势计算的三种方法方法：rdqduu04前提：前提：无穷远处为电势零点无穷远处为电势零点 利用已知电势结果利用已知电势结果 + 电势叠加原理电势叠加原理例例1 、求电偶极子电场中任一点求电偶极子电场中任一点P的电势的电势lOq q XYr1r2r ),(yxP 2101220104)(44rrrrqrqrquuuqqP由叠加原理由叠加原理lr cos12lrr 221rrr 20cos4rlqu 222yxr 22cosyxx 其中其中23220

8、)(41yxpxuVrqu3011088. 244rO2q1q4q3q课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的点电荷课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的点电荷r=5cmC9100 . 4 求求将将求该过程中电势能的改变求该过程中电势能的改变oucq90100 . 1 0电场力所作的功电场力所作的功JquuqA8300001088. 2)1088. 20()(电势能电势能 01088. 2800WWA Rdqr Px例例2、求均匀带电圆环轴线、求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：上的电势分布。已知：R、q解解:方法一方法一 微元法微元法rdqdu04 rdqduuP04 2204xRq 方法二方法

9、二 定义法定义法由电场强度的分布由电场强度的分布23220)(4RxqxE ppxxRxqxdxEdxu23220)(4OXYZl d例例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R, q,解解: 方法一方法一 叠加法叠加法 (微元法微元法)任一圆环任一圆环RdRdSsin2dRdSdqsin22ldRldqdu sin2414200 ldq08sin drRldlsin22 rRqdldu08 cos2222RrrRl RrRrrqrRqdlu0048 RrRr rRrRRqrRqdlu0048 ORPr 方法二方法二 定义法定义法Rr Rr 由高斯定理求

10、出场强分布由高斯定理求出场强分布Rr Rr E204rq 0 PldEu由定义由定义 RrRl dEl dEu Rdrrq2040 Rq04 rdrrqu204 rq04 ORPrOR rEE1/r2uu1/r课堂练习课堂练习 ：求等量异号的同心带电球面的电势差：求等量异号的同心带电球面的电势差 已知已知+q 、-q、RA 、RB ARBRq q 解解: 由高斯定理由高斯定理ARr BRr 204rq BARrR E0由电势差定义由电势差定义 BAABuuu BARRBABARRqdrrql dE)11(44020 思考：思考：内、外球面上的电势分别是多少？内、外球面上的电势分别是多少？ 例例

11、4 4：点电荷：点电荷q q处于处于A A点，若以点，若以B B作为电势零点作为电势零点。 求求C C点的电势。点的电势。ABCqr1r2解题思路：解题思路：两点之间的电势差与电势零点的选取无关。两点之间的电势差与电势零点的选取无关。点）（选无穷远处为电势零点为电势零点）选 B ( 000 CCBUUBBr例例5 5：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。 BP l dEUCrln2rln2rln20B00 BrB解：选取解：选取 点为电势零点，点为电势零点，B点距带电点距带电直导线为直导线为 。drr2B rr0 当电荷分布到无穷远时，电势零点不能

12、再选在无穷远。当电荷分布到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远。PrA 利用已知电势结果加电势叠加原理利用已知电势结果加电势叠加原理例例1 1：求均匀带电圆盘中心轴线上一点的电势：求均匀带电圆盘中心轴线上一点的电势例例2 :2 :半径均为半径均为R R的两个球体相交的两个球体相交, ,球心球心距离距离o o1 1o o2 2=d=d，不重叠部分均匀带电，电，不重叠部分均匀带电，电荷体密度左侧为荷体密度左侧为 ，右侧为，右侧为 。求距离求距离o o2 2为为r r的的P P点的电势。点的电势。12 2Pr提示提示: :将相交部分看成带将相交部分看成带 电荷。电荷。提示：将圆盘看成许多圆环组成提示：

13、将圆盘看成许多圆环组成rrdRrRrdRUP113434434030303 求单位正电荷沿求单位正电荷沿odc 移至移至c ，电场力所作的功，电场力所作的功 将单位负电荷由将单位负电荷由 O O电场力所作的功电场力所作的功 课堂练习课堂练习 ：如图已知如图已知+q 、-q、Rq q RRR0dabc求单位正电荷沿求单位正电荷沿odc 移至移至c ，电场力所作的功，电场力所作的功 将单位负电荷由将单位负电荷由 O O电场力所作的功电场力所作的功 )(coocuuqARq06 0)(oOuuqA课堂练习答案课堂练习答案 ：如图已知如图已知+q 、-q、Rq q RRRodabc)434(000Rq

14、Rq用同心均匀带电球面的电势用同心均匀带电球面的电势, 求求 Ua、 Ub、 UcQ1Q2rarbrc功、电势差、电势能之间的关系功、电势差、电势能之间的关系 bababaabWWuuql dEqA)(讨讨 论论bauu bauu 2.0 abAbaWW 则则则则0 q0 q.0 abAbaWW 0 q则则0 q则则bauu bauu 1-4 场强与电势的关系场强与电势的关系一、一、 等势面等势面等势面等势面 ： 电场中电势相等的点组成的曲面电场中电势相等的点组成的曲面+正点电荷的等势面正点电荷的等势面1-4 场强与电势的关系场强与电势的关系 （仅（仅A2班要求）班要求）+等量异号点电荷的等势

15、面等量异号点电荷的等势面 等势面的性质等势面的性质等势面与电力线处处正交，等势面与电力线处处正交， 电力线指向电势降落的方向。电力线指向电势降落的方向。abu0)( baabuuqA2 bauu 令令q在面上有元位移在面上有元位移ld0cos dlqEldEqdA 0)( dcdccduuqWWA沿电力线移动沿电力线移动 q cdEdcuu a,b为等势面上任意两点为等势面上任意两点,移动移动q,从从a到到b 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。规定规定:场中任意场中任意两相邻等势面间两相邻等势面间的的电势差相等电势差相等 课堂练习：由等

16、势面分析课堂练习：由等势面分析a、b点的场强大小和方向点的场强大小和方向1u2u3uab03221 uuuu已知已知aEbEbaEE Eabl dn uduu 二、场强与电势梯度的关系二、场强与电势梯度的关系)(cosduuudlEl dE dudlE cos单位正电荷从单位正电荷从 a到到 b电场力的功电场力的功dudlEl dlduEl 电场强度沿某电场强度沿某一方向的分量一方向的分量沿该方向电势的沿该方向电势的变化率的负值变化率的负值),(zyxuu 一般一般xuEx yuEy zuEz 所以所以方向上的分量方向上的分量 在在El dlEkEjEiEEzyx )(kzujyuixu ugraduE graduu 或或u的梯度的梯度: 的方向与的方向与u的梯度反向，即指向的梯度反向，即指向u降落的方向降落的方向E0ndnduE电势梯度的电势梯度的物理意义：电势梯度是一个物理意义：电势梯度是一个矢量矢量，它的，它的大大小小为电势沿等势面法线方向的变化率，它的为电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向方向沿等沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。势面法线方向且指向电势增大的方向。例例1利用场强与电势梯度的关系，利用场强与电势梯度