Chap1随机事件与概率

1、ZUST概率论与数理统计概率论与数理统计Probability and Statistics云本胜云本胜E-mail: ZUST第第 一一 章章随机事件与概率随机事件与概率ZUST 1.1.1 引言引言随机现象随机现象自然自然现象现象 确定性现象确定性现象 (必然现象必然现象)随机现象随机现象 ： 即即随机现象随机现象是是带有随机性带有随机性(不确定性不确定性)、偶然性、偶然性的现象的现象. 在一定的条件下对它进行试验或观察时，结果在一定的条件下对它进行试验或观察时，结果是多个可能结果中的某一个；是多个可能结果中的某一个； 每一结果的出现带有每一结果的出现带有随机性，事先无法确定会出现哪一个结

2、果随机性，事先无法确定会出现哪一个结果.如扔硬币、掷骰子、如扔硬币、掷骰子、玩扑克等过程中出现玩扑克等过程中出现的现象的现象. 1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算ZUST问题：问题：A. 太阳从东方升起；太阳从东方升起； B. 明天的最高温度；明天的最高温度；C. 上抛物体一定下落；上抛物体一定下落； D. 新生婴儿的体重新生婴儿的体重.下面的现象哪些是随机现象？下面的现象哪些是随机现象？随机现象随机现象大量随机现象大量随机现象:在完全相同的条件下在完全相同的条件下可重复出现的随机现象可重复出现的随机现象个别随机现象个别随机现象问题：问题： 随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规

3、律可言? ?有规律！有规律！ 在一定条件下对随机现象进行在一定条件下对随机现象进行大量大量观测会发现某种规律性观测会发现某种规律性.ZUST例如例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等中率，一定的分布规律等等.又如又如: 测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的环境的影响，每次测

4、量的结果可能是有差异的. 但但多次测量结果的平均值随测量次数的增加逐渐稳定多次测量结果的平均值随测量次数的增加逐渐稳定于一常数于一常数，而且各测量值大多落在此常数的附近，而且各测量值大多落在此常数的附近，越远则越少，因而其分布状况呈现越远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间两头小，中间大，左右基本对称大，左右基本对称”.ZUST再如再如: 天有不测风云天有不测风云和和天气可以预报天气可以预报有矛盾吗有矛盾吗?没有矛盾没有矛盾! !“天有不测风云天有不测风云”体现了随机现象的体现了随机现象的偶然性偶然性.“天气可以预报天气可以预报”体现了随机现象体现了随机现象的的规律性规律性. 从表面上看，

5、随机现象的每一次观察结果都是从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，随机的， 但多次观察某个随机现象，就能发现，在但多次观察某个随机现象，就能发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律大量的偶然之中存在着必然的规律. 这种必然性表现在这种必然性表现在:在一定条件下，对随机现象进行大量重复观察，可发在一定条件下，对随机现象进行大量重复观察，可发现大量随机现象中各种结果的出现有其规律性，我们现大量随机现象中各种结果的出现有其规律性，我们称其为称其为统计规律性统计规律性.ZUST概概 率率 论：论： 针对随机现象先提出数学模型，再研究针对随机现象先提出数学模型，再研究其性质、其性质、 特征和规律

6、性特征和规律性.数理统计：数理统计： 以概率论为基础，利用对随机现象的以概率论为基础，利用对随机现象的观察所取得的数据资料，来研究其客观观察所取得的数据资料，来研究其客观规律，并对其作出某些判断规律，并对其作出某些判断.*随机过程：随机过程：以概率统计为基础，研究随时间演变的以概率统计为基础，研究随时间演变的随机现象随机现象.ZUST历史背景及应用：历史背景及应用： 有有300多年历史，源于游戏与赌多年历史，源于游戏与赌博，鼻祖为博，鼻祖为Pascal(1623-1662)、Fermat(1601-1665). 自自20世纪世纪30年代，随年代，随测度论和积分理论的完成测度论和积分理论的完成,

7、 , 为为概率的严格公理化创造了条件概率的严格公理化创造了条件, , 逐步完善成一独立逐步完善成一独立的数学分支的数学分支. 应用遍及各行各业应用遍及各行各业.学习方法：学习方法：尽量借助实际背景来理解概念与方法，尽量借助实际背景来理解概念与方法，要强调要强调概率意义上的理解及有概率特点概率意义上的理解及有概率特点的思考方法的思考方法.要求：要求： 1、认真听课，不能无故缺课、认真听课，不能无故缺课 2、按时认真完成作业（不能抄袭）、按时认真完成作业（不能抄袭） 3、及时复习所学内容、及时复习所学内容ZUST参参 考考 书书 目目 1、高教出版社、高教出版社概率论与数理统计教程概率论与数理统计

8、教程 魏宗舒魏宗舒 2、高教出版社、高教出版社概率论与数理统计概率论与数理统计 中山大学中山大学 3、大连理工大学出版社、大连理工大学出版社概率论与数理统计典型概率论与数理统计典型 题精讲题精讲 秦禹春等编秦禹春等编 4、科学出版社、科学出版社全美经典学习指导系列全美经典学习指导系列概率概率 与统计与统计 教材：教材：科学出版社科学出版社概率论与数理统计概率论与数理统计 胡月、许梅生主编胡月、许梅生主编ZUST 1.1.2 随机事件随机事件(random event) 对随机现象进行的观察、试验或实验叫做对随机现象进行的观察、试验或实验叫做随机试验随机试验1. 可以在相同的条件下重复进行；2.

9、 每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；3. 进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。概率论中一般研究的是随机试验,以后简称简称试验试验,用字母E,E1,E2,表示。ZUST 试验试验 E 的所有可能结果构成的集合称为的所有可能结果构成的集合称为 试验试验 E 的样本空间的样本空间，记为，记为 S ( (或或) ).注：注： 样本空间是描述随机现象的样本空间是描述随机现象的数学模型；数学模型；样本空间的样本空间的构造应根据需要来定构造应根据需要来定. 但很多随机现象的可能结果的总数但很多随机现象的可能结果的总数很大，很大， 将样本空间完全写出较困难，将样本空间完全写出

10、较困难， 样本空间中的元素样本空间中的元素, 即试验即试验 E 的的每个基本每个基本结果结果, 叫叫样本点样本点( (或或基本事件基本事件), ), 记作记作e 或或. 关键应关键应明确以何为明确以何为样本点样本点.ZUST例：例： E掷一均匀硬币，观察正反面出现的情况掷一均匀硬币，观察正反面出现的情况. 则样本点则样本点 1e正面朝上正面朝上， 2e反面朝上反面朝上；样本空间样本空间. ,21eeS 若量化处理，则可：若量化处理，则可：正面朝上正面朝上 记作记作1， 反面朝上反面朝上记作记作0，则样本空间可表为则样本空间可表为 S = 1，0.ZUST例：例：E在一批灯泡中任取一只灯泡在一批

11、灯泡中任取一只灯泡, , 测试其测试其寿命寿命.可认为任一大于可认为任一大于0的数都是一个可能结果，的数都是一个可能结果， 故样本故样本空间为空间为 S = t | t 0 .即样本点为即样本点为0, +)上的任一值上的任一值 t, * * *随机事件：随机事件：粗略地讲粗略地讲, 在一定条件下，试验中在一定条件下，试验中可能出现也可能不出现的某类事件可能出现也可能不出现的某类事件称为随机事件称为随机事件，简称事件。，简称事件。一般以大写字母一般以大写字母 A, B 等表示事件等表示事件.ZUST例：例：E掷一均匀骰子，观察几点朝上掷一均匀骰子，观察几点朝上.则样本点则样本点 ie i点朝上点

12、朝上记作记作 i ， ,6, 2 , 1 i样本空间为样本空间为 S = 1, 2, 3, 4, 5, 6.621,eee都为随机事件都为随机事件, 更多的随机事件是由多个样本点构成的更多的随机事件是由多个样本点构成的, 如如:出现偶数点出现偶数点=2, 4, 6, 出现出现1及及5点点=1, 5, 等等等等; 从集合角度看从集合角度看: 它们都是样本空间的子集它们都是样本空间的子集, 若该若该子集包含的某个样本点在试验中出现子集包含的某个样本点在试验中出现, 则相应的则相应的随机事件就发生随机事件就发生. 每一个基本结果每一个基本结果是一个随机事件，由单个样本点构成的是一个随机事件，由单个样

13、本点构成的, 叫叫 基本基本事件事件*;ZUST两个特殊事件两个特殊事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件S 或或 例如，例如，在掷骰子试验中，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于7” 是是必然事件必然事件; 而而 “掷出点数掷出点数8” 则是不可能事件则是不可能事件.ZUST注意理解下述概念的区别：注意理解下述概念的区别：随机事件随机事件 : 样本空间的子集；样本空间的子集；基本事件基本事件 : 由一个样本点组成的单点集；由一个样本点组成的单点集；必然事件必然事件 : 样本空间样本空间 本身；本身；不可能事件不可能事件 : 空集空集。事件发生：事件发生：试验中当且仅当这一子集中的某个

14、样试验中当且仅当这一子集中的某个样本点出现时本点出现时, , 这一事件就发生这一事件就发生.ZUST 1.1.3 事件的关系及其运算事件的关系及其运算1事事A包含于事包含于事 B AB 事事A发生必事发生必事 B 发生发生.具体含义具体含义数学符号数学符号ZUST2A 与与 B 的并的并(和和)AB 事事A与事与事 B 至少有一发生至少有一发生.A1 , A2 , ,An的并的并12nAAA 或或 1niiA A1 , A2 , ,An中至少有一发生中至少有一发生. A1 , A2 , 的并的并12AA 或或 1iiA A1 , A2 , 中中至少有一发生至少有一发生. ZUST3A 与与 B

15、 的交的交(积积)AB 或或 AB事事A与事与事 B 同时发生同时发生.A1 , A2 , ,An的交的交12nAAA 或或 1niiA A1 , A2 , ,An同时发生同时发生. A1 , A2 , 的交的交12AA 或或 1iiA A1 , A2 , 同时发生同时发生. ZUST4A 与与 B 的差的差AB 事事A发生但事发生但事 B 不发生不发生. ZUST5A 的逆事件的逆事件A事事A 不发生不发生. 对此有对此有,A A ,AAS .ASA ZUST6如果如果 ,AB 则叫则叫A与与 B 互不相容互不相容(或互斥或互斥). 即即 A 与与 B 不同时发生不同时发生,ZUST要熟知一

16、些常见的关系与运算要熟知一些常见的关系与运算, 比如比如: ,A BABAAB AABAB 且且 与与 互不相容互不相容,ABABBABAB 且且 ,ABAB 等等等等.ZUST设设,21nAAA是有限或可数个事件，是有限或可数个事件，满足：满足：若其若其;, 2 , 1,)1( jijiAAji.)2(SAii 则称则称,21nAAA是一个是一个完备事件组完备事件组.显然，显然，A与与A构成一个完备事件组构成一个完备事件组.7完备事件组完备事件组ZUST事件运算的规律事件运算的规律: 设设 A, B, C 为事件为事件, 则则(1) 交换律交换律:,ABBA ABBA (2) 结合律结合律:

17、,)()(CBACBA CBACBA)()( (3) 分配律分配律: ),()()(CABACBA )()()(CABACBA (4) 对偶律对偶律: ,BABA BABA ZUST 例例: 从一批产品中任取两件，观察合格品的情况从一批产品中任取两件，观察合格品的情况. 记记 A= 两件产品都是合格品两件产品都是合格品， 则则 A两件产品不都是合格品两件产品不都是合格品，通常叙述为：通常叙述为： A两件产品中至少有一件是不合格品两件产品中至少有一件是不合格品; 若记若记 Bi =取出的第取出的第 i 件是合格品件是合格品，i=1, 2, 则则 ,21BBA 21BBA 21BB 212121B

18、BBBBB ZUST 例：例：A, B, C 为三事件为三事件, 试表示以下事件试表示以下事件:(1) “三事恰好有一发生三事恰好有一发生” CBACBACBA(2) “A、B至少有一发生至少有一发生, 但但 C 不发生不发生”CBA)(或或CBA 或或CBACBAABC(3) “三事中不多于两事发生三事中不多于两事发生”CBACBACBACBACABCBABCA或或ABC或或ABC (4) 表示何事表示何事? CBACAB表示表示 “ A、B、C 中至少有两个发生中至少有两个发生”；也可表示成也可表示成CABCBABCAABCZUST 1.2.1 概率的统计定义概率的统计定义 概率是度量事件

19、发生的可能性大小的一种概率是度量事件发生的可能性大小的一种数量指标数量指标. 粗略地讲粗略地讲, 表示表示事件事件 A 发生的可能性大小的发生的可能性大小的数值数值, 叫做叫做事件事件 A 的概率的概率*, 记为记为 P(A). 了解事件发生的可能性即概率的大小了解事件发生的可能性即概率的大小，有非常重要的有非常重要的意义意义:例如，了解发生意外事故的可能性大小例如，了解发生意外事故的可能性大小, 以便确定保险以便确定保险金额金额;1.2 随机事件的概率随机事件的概率ZUST又如，了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，又如，了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，可以合理配置服务人员可以

20、合理配置服务人员;再如再如, 了解每年最大洪水超警戒线可能性大小了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，可以可以合理确定堤坝高度合理确定堤坝高度.ZUST 事件发生的可能性大小是否客观存在事件发生的可能性大小是否客观存在? 对此对此频率的稳定性频率的稳定性给出了肯定回答给出了肯定回答; 同时给出同时给出了在一般的随机试验中如何去估计事件概率的方法了在一般的随机试验中如何去估计事件概率的方法. 一一. 频率频率 事件事件 A 在在 n 次重复试验中发生的次数次重复试验中发生的次数 nA 叫叫 A 发生的频数发生的频数. A 在这在这 n 次试验中次试验中发生的频率发生的频率： .)(nnAfAn 事

21、件事件发生的频率有一重要特性发生的频率有一重要特性稳定性稳定性.为此考虑在相同条件下进行的多轮试验：为此考虑在相同条件下进行的多轮试验：ZUST第二轮试验试验次数试验次数n2事件事件A出现出现m2次次第 k 轮试验试验次数试验次数nk事件事件A出现出现mk 次次事件事件A 在各轮试验中的频率分别为在各轮试验中的频率分别为:为说明以上各频率的取值情况为说明以上各频率的取值情况, 先看演示：先看演示：,11nm,22nm;kknm,试验次数试验次数n1事件事件A出现出现m1 次次第一轮试验掷硬币试验掷硬币试验掷骰子试验掷骰子试验ZUST 试验表明：试验表明： 当试验次数较少时，同一事件在不同当试验

22、次数较少时，同一事件在不同轮次的试验中的频率有明显差异轮次的试验中的频率有明显差异; 当各轮试验次数当各轮试验次数充分大时，在各轮试验中事件充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率都稳定出现的频率都稳定在某一常数在某一常数 P(A) 附近，附近， 且此数不依赖于试验的次数且此数不依赖于试验的次数及及轮次轮次. 事件频率随试验次数无限增大而趋于稳定的事件频率随试验次数无限增大而趋于稳定的性质叫性质叫频率稳定性频率稳定性. 显然可用常数显然可用常数 P(A) 来度量事件来度量事件A 发生的可能性发生的可能性大小，大小， 此数为事件此数为事件 A 发生的概率发生的概率(统计概率统计概率). 基于频率稳

23、定性，在实际中基于频率稳定性，在实际中: 当概率不易求出当概率不易求出时，人们常取试验次数很大时事件的频率作为概率时，人们常取试验次数很大时事件的频率作为概率的估计值的估计值.ZUST例如，例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录. 若他射击若他射击 n 发，中靶发，中靶 m 发，当发，当 n 很大时，可用很大时，可用频率频率 m/n 作为他中靶概作为他中靶概率的估计率的估计.再如：再如： Ar记图示正方形区域为记图示正方形区域为 ，红域为，红域为A.现向区域现向区域内

24、内随机地投点随机地投点 n 次，有次，有m次落在次落在 A 中中.以以 A 表示事件表示事件 “随机点落在随机点落在 A 中中”，由几何方法算得：由几何方法算得：,44/)(22 rrAP利用频率和概率的关系，当利用频率和概率的关系，当 n充分大时，充分大时，,)(nmAP 于是：于是：.4nm ZUST 1.2.2 概率的公理化定义概率的公理化定义定义定义: 设设 S 为为试验试验 E 的样本空间的样本空间, 若对若对E 中每一中每一事件事件A, , 有一实数有一实数 P(A) 与之对应与之对应, 且满足且满足:1 非负性非负性： 对任一事件对任一事件 A 有有 ;0)( AP2 规范性规范

25、性： ; 1)( SP3 可列可加性可列可加性： 对两两互不相容事件对两两互不相容事件 A1 , A2 , 有有 )(21 AAP;)()(21 APAP则称则称 P(A) 为为事件事件A 的概率的概率.注：注：应理解概率是一满足某些公理应理解概率是一满足某些公理(基本性质基本性质)的集合函数的集合函数; 并并着重掌握概率的性质着重掌握概率的性质.ZUST性质一：性质一： . 0)( P* *性质二性质二( 有限可加性有限可加性)： 对两两互不相容事件对两两互不相容事件 A1 , A2 ,An , 有有 )(21nAAAP.)()()(21nAPAPAP 性质三：性质三： 若若 , 则则 BA

26、 ),()()(APBPABP ).()(APBP 性质四：性质四： 对任一事件对任一事件 A , . 1)( AP* *性质五性质五( 逆的概率逆的概率)： ).(1)(APAP * *性质六性质六( 加法公式加法公式)： ()P AB ()()P AP B ().P AB ZUST例：例：设设 A 发生的概率为发生的概率为 1/5, A与与B 至少有一发生的概率为至少有一发生的概率为1/3, A 发生但发生但 B 不发生的概率为不发生的概率为 1/9 ; 求求(1) B 发生的概率发生的概率; (2) A与与B 同时发生的概率同时发生的概率;(3) A与与B 都不发生的概率都不发生的概率;

27、 (4) A与与B 至少有一不发生的概率至少有一不发生的概率.解：解：已知已知, 5/1)( AP, 3/1)( BAP, 9/1)( BAP(1),BABAB ,BABA 且且)()()(BAPBAPBP ;92 (2)()()()(BAPBPAPABP ;454 (3)(1)(BAPBAP )(1BAP ;32 (4)()P AB )(1)(ABPABP 4541 ZUST 1.2.3 古典概型古典概型一一. 古典概型与古典概率古典概型与古典概率 古典概型古典概型是一种计算概率的数学模型是一种计算概率的数学模型, 是概率论是概率论最早的研究对象最早的研究对象.古典型随机试验古典型随机试验

28、1 有限性有限性： 试验中基本事件试验中基本事件 的总数有限的总数有限; 2 等可能性等可能性： 试验中每一基本事件试验中每一基本事件 发生的可能性相同发生的可能性相同. 注：注：等可能性是种假设等可能性是种假设, 应根据实际情况来判断应根据实际情况来判断, 一般可由一般可由对称性或某种均衡性对称性或某种均衡性来判断来判断.ZUST2 3479108615 例如例如，一个袋子中装有，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球个大小、形状完全相同的球. 将球编号为将球编号为110 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球. 由于抽取时这些球是完全平等的由于抽取时这些球

29、是完全平等的,因而可认为因而可认为10个球中的任一个被取出个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为的机会是相等的，均为1/10. 若将抽球过程看作试验若将抽球过程看作试验, 则抽到则抽到某一球就是试验的一个可能结果某一球就是试验的一个可能结果(或或基本事件基本事件), 故试验中每个基本事件故试验中每个基本事件 出现的可能性相同出现的可能性相同 . 再如再如: 掷均匀硬币掷均匀硬币, 掷均匀骰子掷均匀骰子及产品的抽样检测等及产品的抽样检测等.ZUST 研究古典型随机试验的概率模型叫研究古典型随机试验的概率模型叫古典概型古典概型. 古典概型中的概率叫古典概型中的概率叫古典概率古典概率. 在古典概型

30、中在古典概型中, 事件事件 A 的概率的概率 )(APA包含的基本事件数包含的基本事件数 基本事件的总数基本事件的总数 这样就把求概率问题转化为这样就把求概率问题转化为计数问题计数问题. 排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 .ZUST1. 基本计数原理基本计数原理二二. 排列、组合公式排列、组合公式(1) 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有 k 种方式种方式:第一种方式有第一种方式有n1种方法种方法, 第二种方式有第二种方式有 n2 种方法种方法, 第第 k 种方式有种方式有 nk 种方法种方法;无论通过哪种方式都可以完成这件事无论通过哪种方式都可以完成

31、这件事,则完成这件事总共有则完成这件事总共有 n1 + n2 + + nk 种方法种方法 .ZUST例如例如，某人要从甲地到乙地去某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船; 火车有两班火车有两班, 轮船有三班轮船有三班. 乘坐不同乘坐不同班次的火车和轮船班次的火车和轮船，共有几种方法共有几种方法?2 + 3 种种(2) 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有 k 个步骤个步骤:第一步有第一步有n1种方法种方法,第二步有第二步有 n2 种方法种方法, 第第 k 步有步有 nk 种方法种方法;必须通过每一步骤必须通过每一步骤, 才能完成这件事，才能完成这件事，则

32、完成这件事总共有则完成这件事总共有 n1 n2 nk 种不同方法种不同方法 .ZUST例如例如，一人从杭州经上海到北京一人从杭州经上海到北京, 杭州至上海考虑杭州至上海考虑三种交通方式三种交通方式, 上海至北京考虑两种交通方式上海至北京考虑两种交通方式, 问问他从杭州到北京可以有多少种交通方式他从杭州到北京可以有多少种交通方式？32 种种2. 排列、组合公式排列、组合公式排列和组合的共同点排列和组合的共同点:组合不管次序组合不管次序; 而排列则考虑次序而排列则考虑次序, 次序次序不同的是不同的排列不同的是不同的排列.考虑元素的不同考虑元素的不同.区别在于区别在于: 例如例如: 由红蓝绿三球构成

33、一组合由红蓝绿三球构成一组合而由红蓝绿三球构成的排列有而由红蓝绿三球构成的排列有6 种种ZUST从从3个元素个元素取出取出2个的组合有个的组合有:组合总数为组合总数为 3 , 记作记作23C或或3.2 从从3个元素个元素取出取出2个的排列有个的排列有:排列总数为排列总数为 6 , 记作记作23P或或23 .AZUST(1) 排列排列1 选排列选排列 从从n个不同元素中个不同元素中无放回地无放回地取取 k 个个 (1 k n)的的不同排列总数为不同排列总数为:n(1)n (2)n (1)nkknA .knP或或当当k = n时称为全排列时称为全排列:. !nAnn 2 可重复的排列可重复的排列

34、从从n个不同元素中个不同元素中有放回地有放回地取取 k 个的不同排列个的不同排列总数为总数为:n n n k 个个.kn ZUST(2) 组合组合 从从n个不同元素中取个不同元素中取 k 个（个（1 k n)的不同的不同 组合的总数为组合的总数为:knC kn或或!kAkn .)!( !knkn 规定规定:. 10 nC此外有此外有:,knnknCC .11knknknCCC (3) 二项式展开二项式展开.)(0knknkknnbaCba ZUST三三. 古典概率计算举例古典概率计算举例 在古典概型中在古典概型中, 事件事件 A 的概率的概率: )(APA包含的基本事件数包含的基本事件数 基本

35、事件的总数基本事件的总数 计算古典概率的一般步骤计算古典概率的一般步骤:(1) 确定确定以什么为基本事件以什么为基本事件: 明确其内涵明确其内涵, 注意保证等可能性注意保证等可能性. (2) 算出基本事件的总数及算出基本事件的总数及 A 包含的基本事件数包含的基本事件数; 在计算时在计算时应避免重复计数或遗漏应避免重复计数或遗漏; 在选用计数方法时应保持在选用计数方法时应保持一致一致. (3) 算出算出 P(A). ZUST 例例:向桌面掷向桌面掷 2 枚均匀硬币枚均匀硬币, 求落下后向上的面为求落下后向上的面为 一正一反的概率一正一反的概率.解解:注意到注意到 2 硬币是可识别的硬币是可识别

36、的, ,因而共有因而共有 4 个等可能的基本事件个等可能的基本事件: :( (正正, ,正正),),( (正正, ,反反),), ( (反反, ,正正),), ( (反反, ,反反););记记 A = 两硬币落下后向上的面为一正一反两硬币落下后向上的面为一正一反,则则 A 包含包含 2 个基本事件个基本事件, ,)(AP. 5 . 042 ZUST 例例:某人有一串式样相同的钥匙某人有一串式样相同的钥匙 8 把把, 只有一把能将门只有一把能将门打开打开, 现从中任取现从中任取3把去试开把去试开, 求能将门打开的概率求能将门打开的概率.解解:8 把钥匙中任取把钥匙中任取 3 把的每一种取法为一基

37、本事件把的每一种取法为一基本事件, , 若不计次序若不计次序, , 则基本事件的总数为则基本事件的总数为;38C记记 A = 8 把钥匙中任取把钥匙中任取 3 把把, , 能将门打开能将门打开,则则 A 包含的基本事件数为包含的基本事件数为;27C)(AP3827CC .83 若考虑次序若考虑次序, ,则则)(AP= 38A27C33A 或或)(AP)(1AP 1.38C37CZUST 例例（球在盒中的分布问题）：（球在盒中的分布问题）：有有n个编了号的球，每个球个编了号的球，每个球都以相同的概率都以相同的概率 1 / N (Nn)被放入被放入 N 个盒子的每一盒中个盒子的每一盒中, 求以下事

38、件的概率：求以下事件的概率： A=指定的指定的n个盒中各有一球个盒中各有一球， B=每个盒中至多有一球每个盒中至多有一球， C =某指定的盒中恰有某指定的盒中恰有m个球个球 解解:n个球放入个球放入 N 个盒中的每一种放法为一基本事件个盒中的每一种放法为一基本事件, , 基本事件的总数为基本事件的总数为,nN A 包含的基本事件数为包含的基本事件数为, !n;!)(nNnAP B 包含的基本事件数为包含的基本事件数为,nNA;)(nnNNABP C 包含的基本事件数为包含的基本事件数为,)1(mnmnNC .)1()(nmnmnNNCCP ZUST 许多表面上提法不同的问题实质上属于同一许多表

39、面上提法不同的问题实质上属于同一类型类型, 如以下问题都可归结为分球入盒问题如以下问题都可归结为分球入盒问题: 1. 有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分被分在在 N 间房的每一间中，求指定的间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率. 2. 有有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 求这求这n (n 365)个人的生日互不相同的概率个人的生日互不相同的概率. 3. 某城市每周发生某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率次车祸，假设每天发生车祸的概率相同相同. 求每天恰好

40、发生一次车祸的概率求每天恰好发生一次车祸的概率. 4. 某城市的电话号码由某城市的电话号码由8个数字组成，每个数字可能是个数字组成，每个数字可能是从从0- -9这十个数字中的任一个，求电话号码由八个不同数字这十个数字中的任一个，求电话号码由八个不同数字组成的概率组成的概率. .ZUST 例例：袋中有袋中有 a 只白球、只白球、b 只红球，从中不放回地取只红球，从中不放回地取 n 只，只， 求恰有求恰有m只白球的概率只白球的概率.解解:记记 A = 不放回地取不放回地取 n 只，恰有只，恰有m 只白球只白球,则则 ( )P A= na bC maCn mbC （超几何概率）（超几何概率）. 注：

41、注：（1）在产品质量的抽样检测中的应用）在产品质量的抽样检测中的应用. （2）若取球是有放回的，）若取球是有放回的， 则从袋中取则从袋中取 n 只，恰有只，恰有m只白球只白球的概率的概率P= ()nab mnCman mb ,)()(mnmmnbabbaaC 为二项概率为二项概率.ZUST 例例：袋中有袋中有 a 只白球、只白球、b 只红球，现从中依次将球一只只只红球，现从中依次将球一只只取出不放回，求第取出不放回，求第 m 次取到白球的概率次取到白球的概率 (1ma+b).解解:设想将球编号，取球设想将球编号，取球 m 只，则只，则 a+b 只球中任取只球中任取 m 只只的每一种取法为基本事

42、件，的每一种取法为基本事件， 基本事件总数为基本事件总数为 ,mbaA 记记 B = 不放回地取不放回地取 m 只，第只，第m 只为白球只为白球,则则 B 包含的基本事件数为包含的基本事件数为 a11,ma bA 故故 mbambaAAaBP 11)(.baa 注：注： 此例结果与此例结果与 m 无关，即每次取到白球的概率相等；无关，即每次取到白球的概率相等； 说明抽签及抓阄中，每一人抽到某签或某阄的概率说明抽签及抓阄中，每一人抽到某签或某阄的概率 与先后次序无关，机会均等与先后次序无关，机会均等.ZUST1.2.4 几何概型几何概型古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验模型古典概型只考虑了

43、有限等可能结果的随机试验模型下面我们进一步研究样本空间为一线段、平面区下面我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的域或空间立体等的何概型何概型.1.设样本空间设样本空间S是平面上是平面上某个区域某个区域, 它的面积记它的面积记为为(S) .2. 向区域向区域S上随机投掷一上随机投掷一点点, 这里这里“随机投掷一随机投掷一等可能随机试验的概率模型等可能随机试验的概率模型几几ASZUST几何概型几何概型点点, 这里这里“随机投掷一随机投掷一ZUST几何概型几何概型点点, 这里这里“随机投掷一随机投掷一点点”的含义是指的含义是指只与这区域面积成比例只与这区域面积成比例, 而与这部分区域

44、的位置和形而与这部分区域的位置和形状无关状无关.3. 设事件设事件A是是S的某个区域的某个区域, 它的面积为它的面积为(A), 则向则向区域区域S上随机投掷一点上随机投掷一点, 该点落在区域该点落在区域A的概率为的概率为)()()(SAAP 几何概率几何概率( )*注注: 若样本空间若样本空间S为一线段或一空间立体为一线段或一空间立体,则向则向S“投投点点”的相应概率仍可用的相应概率仍可用 ( )*式来确定式来确定, 但但)( 应理解应理解为长度或体积为长度或体积.完完该点落入该点落入S内任何部分区域内的可能性内任何部分区域内的可能性ZUST例例(会面问题会面问题)间在某地会面间在某地会面,

45、, 先到者等候另一人先到者等候另一人 20 分钟分钟, ,如果每个人如果每个人过时过时试计算二人能够会面的概率试计算二人能够会面的概率. .解解记记 7 点为计算时刻的点为计算时刻的 0 时时, , 以分钟单位以分钟单位, ,yx,分别记甲、乙达到指定地点的时刻分别记甲、乙达到指定地点的时刻,则样本空间则样本空间.600 ,600| ),( yxyxS以以A表示事件表示事件“两人能会面两人能会面”, , 则显然有则显然有20| ,),( | ),( yxSyxyxA就离开就离开. .到达到达, ,为为甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 7 点到点到 8 点之点之可在指定的一小时内任意时可在指定的

46、一小时内任意时ZUST解解样本空间样本空间.600 ,600| ),( yxyxS以以A表示事件表示事件“两人能会面两人能会面”, , 则显然有则显然有20| ,),( | ),( yxSyxyxA为为ZUST解解样本空间为样本空间为.600 ,600| ),( yxyxS以以A表示事件表示事件“两人能会面两人能会面”, , 则显然有则显然有20| ,),( | ),( yxSyxyxA根据题意根据题意, , 这是一个几何概这是一个几何概于是于是)(AP222604060 )()(SA .95 型问题型问题, ,ZUST 1.3.1 条件概率条件概率（1） 在事件在事件 A 发生的条件下事件发

47、生的条件下事件 B 发生的概率发生的概率为为条件概率条件概率，记作，记作 P(B | A) .一般一般 P(B | A) P(B), （2）计算公式计算公式:,)()()|(APABPABP ).0)( AP（3）概率具有的性质也适用于条件概率概率具有的性质也适用于条件概率, 但要注但要注意条件不能变、不能丢弃意条件不能变、不能丢弃.1.3 条件概率条件概率ZUST 1.3.2 乘法公式乘法公式),|()()(ABPAPABP );0)( AP或或),|()()(BAPBPABP ).0)( BP进一步：进一步：, 0)(321 AAAP若若则则 )(321AAAP)|(213AAAP)(21

48、AAP)|(213AAAP )|(12AAP).(1AP 利用乘法公式可计算多个事件同时发生的概率利用乘法公式可计算多个事件同时发生的概率.ZUST例例: 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点, 问问“掷出掷出 点数之和不小于点数之和不小于10” 的概率是多少的概率是多少? 解解:设设 A = 掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 , B = 第一颗掷出第一颗掷出6点点,欲求概率欲求概率),|(BAP解法解法1 (缩减样本空间法缩减样本空间法): )|(BAP.63B发生后的缩减样本空间发生后的缩减样本空间 所含基本事件的总数所含基本事件的总数在缩减样本空间中

49、在缩减样本空间中 A所含基本事件数所含基本事件数解法解法2 (公式法公式法):)|(BAP)()(BPABP 366363 .21 ZUST例例: n 个人排成一列个人排成一列, 已知甲总排在乙前已知甲总排在乙前, 求乙紧跟甲后求乙紧跟甲后的概率的概率? 解解:设设 A = 甲在乙前甲在乙前 , B = 乙紧跟甲后乙紧跟甲后,AB 欲求概率欲求概率),|(ABP解法解法1 (缩减样本空间法缩减样本空间法): )|(ABP)!2(2 nCn)!1( n.2n 解法解法2 (公式法公式法):)|(ABP)()(APABP )()(APBP 21!)!2)(1(nnn .2n ZUST例例: 设某种

50、透镜设某种透镜, 第一次落下时打破的概率为第一次落下时打破的概率为 1/2; 若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 则第二次落下时打破的概率为则第二次落下时打破的概率为7/10; 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 则第三次落下时打破的概率为则第三次落下时打破的概率为9/10; 求透镜落下三次而未打破的概率求透镜落下三次而未打破的概率. 解解:设设 B = 透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破, Ai = 透镜第透镜第i 次落下时打破次落下时打破, i =1, 2, 3,已知已知 , 2/1)(1 AP,10/7)|(12 AAP,10/9)|(213 AAAP欲求概率欲求概率P(B

51、) ;而而 ,321AAAB )()(321AAAPBP )()|()|(112213APAAPAAAP 21103101 .2003 ZUST 1.3.3 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率概率, 是加法公式和乘法公式的综合运用是加法公式和乘法公式的综合运用.例例(抓阄问题抓阄问题): 一组一组 n 人抓人抓 n 个阄个阄(其中其中 m 个标个标“有有”), 求第二人抓到求第二人抓到 “有有”的概率的概率.解解:设设 A = 第二人抓到第二人抓到“有有”, B= 第一人抓到第一人抓到“有有”, 则则 ,A

52、BBAA 且且 , ABBA)()()(ABPBAPAP )|()(BAPBP )|()(BAPBP nm 11 nmnmn 1 nm.nm ZUST 设设S为试验的样本空间，事件为试验的样本空间，事件B1 , B2 , Bn 两两两两互不相容，且互不相容，且 P( Bi ) 0 (i =1, 2, , n), 全概率公式全概率公式:SBnii 1 将此例中所用的方法推广到一般的情形，将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式就得到在概率计算中常用的全概率公式.(B1, B2, Bn 叫叫S 的一划分的一划分或或完备事件组完备事件组),.)()()(1 niiiBA

53、PBPAP则对任一事件则对任一事件A，有，有ZUST(1) 全概率公式的来由全概率公式的来由: “全全”部概率部概率P(A)被分解成了许被分解成了许多部分概率之和多部分概率之和.说明说明:(2) 由于由于,21ABABABAn 因此因此 A 总是伴随着总是伴随着 B1 , B2 , Bn 中的某个中的某个 Bi 的出现而出现的出现而出现, 可以说可以说: 每一每一 Bi都可能导致都可能导致 A 发生发生; B1 , B2 , Bn 是导致是导致 A 发生的所有原发生的所有原因，故因，故 A 发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起 A 发生概率的总和发生概率的总和. 由此可形象地把全概率公

54、式看成是由此可形象地把全概率公式看成是 “由原因推结果由原因推结果”.(3) 应用时应用时, 先分析在哪些情况先分析在哪些情况(事件事件)下下 A 会发生会发生, 列出列出 A与这些事件的关系与这些事件的关系, 再作计算再作计算.ZUST例例: 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1, 2, 3，1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解解:设设 A = 取得红球取得红球, Bi = 取到第取到

55、第i 号箱号箱, i =1, 2, 3,则则 ,321ABABABA 且且 B1 A, B2 A, B3 A 两两互不相容两两互不相容，)()()()(321ABPABPABPAP )|()()|()()|()(332211BAPBPBAPBPBAPBP 31 51 31 52 31 1 .158 ZUST或者问或者问: 该球取自哪号箱的可能性最大该球取自哪号箱的可能性最大? 实际中还有一类问题实际中还有一类问题: 是是“已结知果求原因已结知果求原因”; 它所求的是条件概率，是已知某结果发生的条件下，它所求的是条件概率，是已知某结果发生的条件下，求各原因发生的可能性大小求各原因发生的可能性大小

56、.例如例如: 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1, 2, 3，1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球, 求该球是求该球是取自取自1号箱的概率号箱的概率 .解解:设设 A = 取得红球取得红球, Bi = 取到第取到第i号箱号箱, i =1, 2, 3,321ABABABA 且且 B1 A, B2 A, B3 A 两两互不相容两两互不相容，求求 P(B1 | A), )()()|(11APABPABP 3

57、1)()(kkkBAPBP)|()(11BAPBP 158151.81 ZUST 设事件设事件B1 , B2 , Bn 是样本空间是样本空间 S 的一个划分，的一个划分，且且 P( Bi ) 0 (i =1, 2, , n), 贝叶斯公式贝叶斯公式:,)()()()()|(1 nkkkiiiBAPBPBAPBPABP则对任一事件则对任一事件A (P( A ) 0 )，有，有(i =1, 2, , n). 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观察到它是在观察到事件事件A已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率发生的每个原因的概

58、率. 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因确定某结果发生的最可能原因.ZUST 例例 : 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验，患者对一种试验反应是阳性的概率为反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性，正常人对这种试验反应是阳性的概率为的概率为0.05，现抽查了一个人，试验反应是阳性，现抽查了一个人，试验反应是阳性， 问问此人是癌症患者的概率有多大此人是癌症患者的概率有多大?解解:设设 A = 试验反映是阳性试验反映是阳性, C = 抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症,

59、则则 ,ACCAA 且且 , ACCA已知已知 ,005. 0)( CP,995. 0)( CP,95. 0)|( CAP,05. 0)|( CAP 求求 P(C | A).)()()|(APCAPACP )|()()|()()|()(CAPCPCAPCPCAPCP 05. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0 .0872. 0 ZUST现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义: 如果不做试验如果不做试验, 抽查一人抽查一人, 他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005 ; 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95, 若试验后得阳性反应若试验后得阳

60、性反应, 则根据则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(C | A)=0.0872; 说明试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义说明试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从从 0.005 增加到增加到0.0872, 增加了增加了17倍多倍多.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.0872, 即使你检出阳性，也不必过早下结论你有癌症，这种即使你检出阳性，也不必