注重基础创新思维

1、注重基础，创新思维纵观近几年全国各省市的高考题，导数运用是必考题。导数可以用 于求切线方程，求函数单调性，极值及最值，还可以用來证明不等式。实 际上函数的几个基本性质中，单调性值域是极重耍的性质。用导数可以很 方便地解决与此类性质相关的问题。因此，导数作为高考重要内容之一， 体现了高考“在知识的交汇处出题”的指导思想。同时，导数运用中涉及 的各种数学思想方法，也体现了思维的制高点。下面就一些高考实例来看 导数运用：例1 (湖北文)设函数f (x) =axn (lx) +b (x>0)。n为正整数，a> b为常数，曲线尸f (x)在1, f (1)处的切线方程为x+y二1。(1) 求

2、a, b的值。(2) 求函数f (x)的最大值。(3) 证明：f (x) <o本题考查多项式的求导，其中就考查了导数的几何意义，利用切点及 切线斜率求参数值。利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，以及 运用导数研究函数性质进而证明不等式等。全血考查了导数的运用。解答：(1)因为f (1) -b,由(1, b)在x+y二1上，可得1+b二1,即 b=0o 因为 f'(x) =a.nxn-l-a (n+1) xn,所以 f (1)二-a。又因为切线x+y二1的斜率为-1,所以-a=-l,即沪1。故 31, b0 o(2)由(1)矢li, f (x)二xn (lx)二xn-xn+l

3、f (x) = (n+1) xn-1令f'(x)二0,解得x二，即f'(x)在(0, +°°)上有唯一零点x0二。在0,上，f (x) >0,故f (x)单调递增。而在,+8上，f (x) <0, f (x)单调递减。故f (x)在区间(0, +8) 上的最大值为fnlo(3)注意到这是一个恒成立问题，对于恒成立问题，通常转化为求 最值问题来证明。本题即证明。对于此式，直接构造函数，显然是不行 的，这就要求学生在指数和对数间能灵活进行转化。由n+l>e,两边同取自然对数，得in>,将指数不等式转化成对数不等式，进而构造函数，利用函数性

4、质 进行证明。本问证明过程可以如下：令e (t)二int-1+(t>o),则(t)二-二(t>o)0在区间(o, 1)上，(t) <o,故e (t)单调递减；而在区间(1, +8)上，忙 (t) >o, e (t)单调递增。故e (t)在(0, +8)上的最小值为e(1)二o,所以e (t) >o即 lnt>l- (t>l )o令 t二 1+,得 in () >,即 in () n+l>lneo所以n +l>e,即，故由(2)知 f (x) w，故所证不等式成立。本题除了考查导数的简单应用之外，还考查了转化与化归的数学思想 及学生运算

5、求解的能力。尤其是第三问的证明，考查了学生的逆向思维能 力，观察、分析、转化的能力，通过恰当构造函数并研究其性质使问题得 以证明。对于第三问的证明，还可以如下构造函数：欲证，即证，取自然对数，得(n+1) in<ln=-lno=-l,即 lnl-<-，移项得+lnl-<0,令 t二,其中 0tw,则构造函数 g (t)二t+ln (l-t)o(t) =i-二，因为otw,所以(t) <0,从而d (t)在tw上述不等式得证。例2 (湖北文)已知函数f (x)二ex-ax,其中a>0o(1)若对一切xer, f(x)31恒成立,求a的取值集合。(2)在函数f (x)

6、的图象上取定点axl,f (xl) 、bx2, f (x2),上递减。由 to 得e (t) <(o)=o,(xl<x2)o记直线ab的斜率为k,证明：存在xog (xl, x2),使f'(x)二k恒成立。分析：本题导数研究不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求最 值问题。对第一问转化求函数f(x)的最小值，使f (x) minlo求解如下:解：f (x)二ex-a,令 f (x)二0 得 x二ina。当x<lna时，fr (x) <0,函数f(x)单调递减；当x>lna时广(x) >0,函数f (x)单调递增。故当x=lna时，函数f (x)取最

7、小值f (ina) =a-alnao于是对一切 xur, f (x) 21恒成立，当且仅当aainatl (1)至此，很多同学不知如何下手了，因为(1)式属于我们常说的超越 不等式，无法求解。究竟如何求得a值，困扰了同学们。由于前面已经用 过导数了，所以很多同学根本想不起来还要再次用到导数，导致此题无法破解。实际 上，这就是一个套用导数的题目。回归到导数的常规用法，求最值上來， 再次构造函数，求最值。令 g (t) =ttlnt,则 g' (t) =1- (lnt+1) =-lnt当00,函数g (t)单调递增；当t>l时，g' (t) <0, g (t) ?蔚鞘

8、菁酢？故当t二1时，g (t)取最大值lo因此，当且仅当a-1时，(1)式成 立。综上所述，a的取值集合为1。(3)由题意知，k二二-a,令 © (x) -fr (x) -k二ex-,则© (xl) =-exlx2- (x2xl) t,6 (x2)二ex2-xl- (xlx2) -1令 f (t) =et-t-l,则 f (t)二et-l,当to时,f (t) >0, f (t)单调递增。故当 tho, f (t) >f (0) =0,即 et-tl>0,从而 ex2-xl-(x2-xl) t0, exl-x2-(xl-x2) t0。又>0, >

9、;0,所以 © (xl) 0o因为函数y二© (x)在区间xl, x2上的图象是连续不断的一条曲线, 所以由零点存在性定理知存在xog (xl, x2),使“(x0)二0,即f (x0) =k成立。点评：本题考查利用导数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题。 考查了学生的运算能力，分类讨论思想，函数与方程思想等数学方法。第 一问利用导数法求出函数最小值f (ina) =a-lna,对一，切xwr, f (x) ml恒成立，转化为f (x) minl,从而求出参数的取值集合。第二问在 假设存在的情况下进行推理，然后把问题归纳为一个方程是否存在解的问 题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断。