泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用

1、泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用柴丽娜指导教师：李劲(河西学院数学与应用数学专业2012级3班1250901301号，甘肃张掖734000 )摘 要二项分布、poisson分布与指数分布是概率统计的基础，这3个分布存在密切的关系.木文将通 过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者z间的关系，进一步揭示它们z间的内在联 系，并给出有关近似计算公式和应用实例.关键字 泊松分布；二项分布；正态分布；特征函数中图分类号02111引言许多数学教材中常常只是介绍了二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分 布等重要的概率分布，给出它们的分布列、密度函数、它们的期望和方并，但是很

2、少讨论出 这些分布之间的关系在学习概率统计等吋，常常认为这些重耍概率分布之间没有什么联系, 但是这些分布中间还有很多重要的关系.本文将通过极限分如的方法讨论二项分布、泊松 分布和正态分布三者z间的关系，进一步揭示它们z间的内在联系，并给出有关近似计算公 式和应用实例.2预备知识2.1相关定义定义1山(二项分布)在n重伯努利试验中，每次试验中事件a发生的概率为p (0<p<l)，记x为n次试验中 事件a发生的次数则x的可能取值为0丄2,5.口对每一个k,0wkwn,事件x=k即为 “在n次试验中事件a恰好发生k次”，根据伯努利概型，有p x=k =c；pk (1 一 p)"

3、 " ,k=0,l,2,.,n(1)一般地，如果一个随机变量x的概率分布rfl (1)给岀，则称x服从参数为n,p的二项分 布,并记作记bk nf p) = cknpk (1 - pk.定义2山(泊松(poisson)分布)px = k=0,1, 2,)如果一个随机变量x的概率分布为(2)其中q0为参数，则称x服从参数为兄的泊松分布,记作尤 p.定义3卩】(正态分布)(-00 < x < +cc)一个连续性随机变量x,如果其密度函数为©( x)二e 2杆27t(y其中,> o为常数，则称x服从参数为“和(7 > o的正态分布，记作尤此吋称x为正态变量

4、.特别地，若/ 艸(“,*),“二0,严1,则称x服从标准正态分布艸(0,1),其概率密度函数 为°(x)二.e 2x g (-00, +00)j2兀定义42】(特征函数)若随机变量x的分布函数为f(x),则称(p =ezx = j。严傑(加)=严 df(兀)(4)为x的特征函数如果f (x)有密度f(x),则处)就是f(x)的fourier变换+8 .0(0 = e,af(x)dxj -x>2.2相关定理定理1国特征函数的一个重要定理(唯一性定理)：分布函数由其特征函数唯一确定. 证明 设a是f(x)的一切连续点的集合，对任意的xea,由逆转公式有f(x)= inn f(x)

5、-f(y)yea2龙)tyj-t yea(p(t)dt所以，对于一切xea, f(x)的值唯一的由其特征函数x)所决定.若"a,利用分布函数的右连续性，选一列单调下降的趋丁的f(x)的连续点xpx2v.,则有1ct ejty - eiixf(x) = lim f(x )=lim lim lim |(p(t)dtxn->j+2疗 y->-00 ttoo j -卩 jtx,tea ya于是，对于一切的x倉a, f(x)的值亦唯一的由其特征函数0(0所决定.2.3相关结论 结论1二项分布b (n,p)：其概率分布为p(x = k) = qkpk (1- p)n'k&qu

6、ot; 0,1,2, 刃,0 v p v 1其特征函数为k=ok=0二(対+ 1-刃"结论2泊松分布龙(2)：设x 龙(2),则其概率分布为无r -久p(x = k)=£ = 0,1,2,/10k其特征函数为coj k /i孤"(严)=工严务 a=ok结论3正态分布其密度函数为匕一“)20(x) = te(-00 < < +00)j 2.71(7其特征函数为 yiat-* 加2孤= e(e,x) = e 2=ea £)= eaeae>，= ea(e，)幺k3主要结论及证明(三大分布之间的关系)3. 1二项分布与泊松分布的关系(二项分布的

7、poisson逼近)定理1二项分布x：b(n,p),如果n很尢而p很小，设2>0,n为任意的正整数，叨,=2,则对于任意给定的一个非负整数k,有卩心(7)证明由pn=in.(n-k + npvr 几丫“ 1v v kn)小 k /i "-k- 1)-.o”(1 一几)=k'.2k -1k1.(1)(1). (i)n nn当/? 一>00,£固定，i(i-)(i(i)t 1,(1-r e-(i-ra in nnnn故有hmc航(1-几宀牛、htoo nk所以当n很大时,p很小时有下列近似公式5k3.2二项分布和正态分布之间的关系定理 设随机变量xn b(n

8、, p)(0 < p<,n = 1,2,.)，则对丁“任意x,有lim"too-npp)由上式可以得出当n充分大时，二项分布可以用止态分布來近似，即二项分布的止态逼 近.例 pxn =k = cy(l- p)"k 和 pd <xw<&= y ck0q'i 在 n 充分大时计算非a<k<h常困难.由于厂w 近似服从n (0,1)或等价地x “近似服从n(s，“(l-),于是可以近 如(1 -/?)似地用正态分布来计算上述概率，即px“" = c”(i-p严(5)2e 2npq yjltcnpqk-nppa<x

9、n<b = pj< 亠 _w < b-npyjnp(l- p) jnp( _ p) jnpq _ p)yjnp(- pl打np(- p)丿只耍查一下标准正态分布表就可以得到pa < xfi < b的相当精确的值.3.3泊松分布与正态分布之间的关系二项分布可以用泊松分布近似，也可以用正态分布近似.所以泊松分布和正态分布在一 定条件下也有近似关系，下面说明泊松分布的正态分布.定理设x （2）（/1 >0），泊松分布的分布函数px <x = yr与正态分布 卜孑丫k n（九,2）的分布函数f（x）二e 2久dy是近似相等的.证明根据特征函数的唯一性定理可以得

10、出分布函数片（兀）和耳（无）恒等的充分必要条件是他们的特征函数© （兀）和（p2 （%）恒等.已知正态分布7v（/l,/l）的特征函数是泊松分布的特征函数是(px(t) = e(eilx) = ew对于任意的t, /的幕级数展开为忽略戶以后的各项，则有根据唯一性定理可知，泊松分布的分布函数px <x =工年与正态分布的分布函数 l y /v f(x)二dy近似相等.4初步应用例1某大城市有一个繁忙的交通岗，若每天有100000人通过，每人出事故的概率为0. 0001,求该天事故的人数x不超过2人的概率.解法一：由题意可以知道xd 3(100000,0.0001),由二项分布可以

11、得px< 2 = 0.002769解法二：用泊松分布近似二项分布. 即将数据代入可以得到解法三：用正态分布的分布函数近似二项分布. 即将数据代入可以得到px<2 u(2.53)(一3.16)= 0.00501这里直接查标准正态分布的分布函数表求得，其误差为0.00224151,这比用泊松分布产 生的误差要大.例2同类型仪器300台，各仪器的工作相互独立,且发牛故障的概率为0.01,通常一台仪 器的故障可有一个人来排除问：(1)至少配备多少维修工人，才能保证当仪器发生故障乂不能及时排除的概率小于(2)若一个人包干20台仪器，求仪器发生故障乂不能及时排除的概率.解:设300台仪器中在同

12、一时刻发生故障的仪器台数为x,则xb(300,001)设x表示发生故障的仪器台数，假若至少要配备x个工人，则按题意有p(x>x)<0.01,p(x>x) = l-£(7 爲 0.01"099叫此时用泊松泄理则可以容易计算. 有a = np = 300 x 0.01 = 3, _1_ * 呂-3 k=o k!查询泊松分布表即可以得到x=&(2)记x为20台仪器中在同一时刻发生故障的仪器台数，则xb(20,0.01)p(x>2) = 1-p(x<2)= 1-c'o-o.o1a-o.992o-a« 1-严 _ o.2 x 严

13、 q 0 017523致谢感谢李劲老师对本论文的指导.参考文献1马统一.经济应用数学一概率论与数理统计m.北京.高等教育出版社,2012. 57-65.2张波，商豪.应用随机过程m.第二版北京中国人民大学出版社,2013. 13-15.3田铮,秦超英.随机过程与应用m.北京.科学出版社,2007. 14-21.4苏淳，刘杰.现代极限理论及其在随机结构中的应用m.北京.高等教育出版社,2010. 4-5.5李裕奇，李玉红.随机过程m.北京.国防工业出版社,2005. 56-65.6梁好翠.三种重要概率分布的关系及其应用j.钦州学院学报,2007,第22卷第3期:9-117段勇花.概率中伯努利试验问题的解决策略j.西安文理学院学报,2012,上旬刊：77-788周桂如.概率分布及其应用的研究j.赤峰学院学报,200&第24卷第4期：13-149于洋.浅析二项分布、泊松分和正态分布之间的关系j.企业科技与发展,200&笫20期：108-11010朱冬梅.谈概率