第九章曲线积分与曲面积分2

1、1第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分 ( (对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分) )问题的提出问题的提出第二类曲线积分第二类曲线积分的概念的概念第二类曲线积分第二类曲线积分的计算的计算第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系小结小结 思考题思考题 作业作业2变力变力沿沿曲线曲线所作的功所作的功bal:常力常力沿沿直线直线所作的功所作的功分割分割,0ma abfw ),(yxfjyxqiyxp),(),( ),(111yxm,),(111 nnnyxmbmn 一、问题的提出一、问题的提出第二类曲线积分第二类曲线积分oxyab0m 2m

2、1 nm 1m nm 1 im lim 求质点从求质点从a移动到移动到b时力时力f对它所作的功。对它所作的功。设设|0ababf 3第二类曲线积分第二类曲线积分oxya1m 0m 2m 1 im im 1 nm nm l),(iif ,1iiismm的弧长为设它可近似地看作长度为它可近似地看作长度为is的有向线段，的有向线段， 并取并取iimm1上任一点上任一点),(ii处的处的切向量切向量),(ii的指向的指向作为有向线段的方向。作为有向线段的方向。b),(ii0取取 ),(iif jqipiiii),(),( 取近似取近似 iw iiiiisf),(),(0求和求和 niiww1iiiii

3、nisf),(),(01取极限取极限 w0lim iiiiinisf),(),(014iiiiinisf),(),(010lim w上式右端极限恰好是数量值函数上式右端极限恰好是数量值函数),(),(0yxyxf在曲线弧在曲线弧l上的第一类曲线积分，上的第一类曲线积分，故故w可表为可表为.),(),(0dsyxyxfwl第二类曲线积分第二类曲线积分5二、第二类曲线积分的概念二、第二类曲线积分的概念1. 定义定义 设设l为为xoy面内从点面内从点a到点到点b的一条光滑的的一条光滑的有向有向曲线弧曲线弧,在在l上有界，上有界，第二类曲线积分第二类曲线积分向量值向量值函数函数 ),(yxfjyxqi

4、yxp),(),( ),(0yx是定向曲线弧是定向曲线弧l上点上点),(yx处的单位切向量，处的单位切向量，如果第一类曲线积分如果第一类曲线积分dsyxyxfl),(),(06dsyxyxfl),(),(0存在，存在， 则称此积分为则称此积分为向量值向量值函数函数),(yxf在在定向曲线弧定向曲线弧l上的积分，上的积分，也称为也称为 第二类曲线积分第二类曲线积分对对坐标坐标的曲线积分的曲线积分, ,或或 记作记作,),(sdyxfl即即sdyxfl),(dsyxyxfl),(),(0积分弧段积分弧段被积函数被积函数第二类曲线积分第二类曲线积分 定向弧元素定向弧元素7第二类曲线积分第二类曲线积分

5、设平面曲线弧的单位切向量为设平面曲线弧的单位切向量为sdyxfl),(dsyxyxfl),(),(0)cos,(cos),(0yx则则dsyxyxfl),(),(0dsyxqyxpl)cos),(cos),(oxy0dxdydscosdsdxcosdsdydyyxqdxyxpl),(),(所以所以sdyxfl),(dyyxqdxyxpl),(),(82. 存在条件存在条件在光滑曲线弧在光滑曲线弧l上上第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在.连续连续, ,),(),(yxqyxp当当第二类曲线积分第二类曲线积分3. 推广推广可类似定义三维向量值函数可类似定义三维向量值函数),(zyxfkzyxrj

6、zyxqizyxp),(),(),(在空间的定向光滑曲线在空间的定向光滑曲线上的第二类曲线积分上的第二类曲线积分sdzyxfl),(dszyxzyxfl),(),(0ldxzyxp),(dyzyxq),(dzzyxr),(94. 性质性质,21lll和和分分成成如如果果把把,是有向曲线弧是有向曲线弧设设l yyxqxyxpd),(d),(ll1l2 第二类曲线积分与第二类曲线积分与(1) lyqxpdd则则 1ddlyqxp(2)方向相反的是与ll有向曲线弧有向曲线弧,则则 yyxqxyxpd),(d),( 2ddlyqxp曲线的方向有关曲线的方向有关. . lllloxyoxy第二类曲线积分

7、第二类曲线积分5. 注意注意如如l是封闭曲线是封闭曲线, 还采用积分号还采用积分号l10第二类曲线积分第二类曲线积分两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系sdyxfl),(dsyxyxfl),(),(0dyyxqdxyxpl),(),(即即dsyxqyxpl)cos),(cos),().cos,(cos0其中，11例例 lyyxqxyxpd),(d),(2xy 解解 ,411cos2x .412cos2xx lyyxqxyxpd),(d),(所以所以sxxyxqyxpld412),(),(2 把第二类曲线积分把第二类曲线积分化为第一类曲线积分化为第一类曲线积分,其中其中l为沿抛物线为沿抛

8、物线从点从点(0,0)到到(1,1). lyqxpdd lsqpd)coscos( ),2, 1(xt 第二类曲线积分第二类曲线积分12第二类曲线积分与曲线的方向有关第二类曲线积分与曲线的方向有关.三、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的计算思想思想因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算化为定积分计算. .上限是终点的上限是终点的坐标坐标.第二类曲线积分第二类曲线积分13,)()( tytxl 的参数方程为的参数方程为定理定理,时时变变到到由由 运运动动到到沿沿的的起起点点从从点点lalyxm),(,b终终点点上在闭区间,)(),(ttqp lyyxqxyxpd),(

9、d),(弧弧l上上连续连续,则则且且, 0)()(22 tt )(t ),(t tt d)( tt d)( ),(t )(t 第二类曲线积分第二类曲线积分 ),(yxfjyxqiyxp),(),( 设设在定向曲线在定向曲线,:t具有一阶连续具有一阶连续导数导数,sdyxfl),(14特殊情形特殊情形)(:xyyl )(:yxxl lyyxqxyxpd),(d),(,ax起起点点为为, cy起点为起点为 lyyxqxyxpd),(d),(1)(2)b终终点点为为d终终点点为为则则xxyxyxqxyxpbad)()(,)(, yyyxqyxyyxpdcd),()(),( 则则,)()(: tytx

10、l ttttqtttpd)()(),()()(),( lyyxqxyxpd),(d),(第二类曲线积分第二类曲线积分15,)()()(: tztytx zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),(3)推广推广, 起点起点t 终点终点 )()(),(),(ttttp)()(),(),(ttttq tttttrd)()(),(),( 第二类曲线积分第二类曲线积分16例例上上为抛物线为抛物线其中其中计算计算xylxxyl 2,dxy 2)1, 1( a)1 , 1(b 解解的定积分的定积分化为对化为对xxy lxxyd xxxd)( 1023d2xx54 aoxxyd obxxyd xxx

11、d.)1 , 1()1, 1(的一段弧的一段弧到到从从ba (1)1010oxy第二类曲线积分第二类曲线积分17的定积分的定积分化为对化为对y2yx 112y11到到从从 y54 lxxyd(2),d2dyyx y yyd2 上上为抛物线为抛物线其中其中计算计算xylxxyl 2,d.)1 , 1()1, 1(的一段弧的一段弧到到从从ba oxyxy 2)1, 1( a)1 , 1(b 第二类曲线积分第二类曲线积分114d2yy18 其中其中是由点是由点a(1,1,1)到点到点b(2,3,4)的直线段的直线段.直线直线ab的方程为的方程为312111 zyx,1tx 1013d)146(tt解

12、解化成参数式方程为化成参数式方程为于是于是 zyxyyxxd)1(dd计计算算例例,21ty tz31 , 0 t, 1 ta点对应点对应b点对应点对应 zyxyyxxd)1(dd第二类曲线积分第二类曲线积分10d3)31 (d2)21 (d)1 (tttttt19例例 lyxyxx,d)(d2计算计算(1) l是上半圆周是上半圆周 反时针方向反时针方向;,22xay )0 ,(aa)0 ,( ab 解解,costax a点对应点对应 (2) l是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段. )0 ,(aa)0 ,( ab (1)中中l的的参数方程参数方程为为, 0 t. tb点对应点对应)

13、0 ,(aa)0 ,( ab 其中其中taysin 原式原式=23232aa oxy第二类曲线积分第二类曲线积分)cos(dcos202tata)sin(d)cossin(tatata20oxy(2) l的方程为的方程为原式原式=xxaad2 .aax 到到从从332a )0 ,(aa)0 ,( ab , 0 y lyxyxx,d)(d2计算计算(2) l是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段. )0 ,(aa)0 ,( ab 其中其中第二类曲线积分第二类曲线积分21例例,1|dd abcdaxyyx计算计算直接化为定积分计算直接化为定积分计算, abxyyx1dd bcxyyx1dd

14、 daxyyx1dd cdxyyx1dd取逆时针方向取逆时针方向., 1| yx解解由曲线积分的性质由曲线积分的性质. 则则 bc cd da1 yx1 yx1 yx1 yx)0 , 1(a)1 , 0(b)0 , 1( c)1, 0( d其中其中abcda为为 011)1(ddxxxx0 101)1(ddxxxx 011)1(ddxxxx0 abcda 101)1(ddxxxx 101)1(d2xxx 101)1(d2xxx0tx 101)1(ddxxxx 101)1(ddxxxxoxy第二类曲线积分第二类曲线积分ab22第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系五、小结五、小结四