第23节正弦定理和余弦定理地应用(共15页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第三章第三章三角函数、解三角形三角函数、解三角形第八节第八节正弦定理和余弦定理的应用正弦定理和余弦定理的应用测量中的有关几个术语测量中的有关几个术语术语名称术语名称术语意义术语意义图形表示图形表示仰角与俯仰角与俯角角在目标视线与水平视线所成的角中在目标视线与水平视线所成的角中， 目标目标视线在水平视线上方的叫做仰角视线在水平视线上方的叫做仰角， 目标视目标视线在水平视线下方的叫做俯角线在水平视线下方的叫做俯角方位角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角目标方向线之间的夹角叫做方位角 方位

2、方位角角的范围是的范围是 0 0360360方向角方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北锐角，通常表达为北( (南南) )偏东偏东( (西西) )例：例：(1)(1)北偏东北偏东：(2)(2)南偏西南偏西：1 1判断下列结论是否正确判断下列结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”“”或或“”“”) )(1)(1)从从A A处望处望B B处的仰角为处的仰角为，从，从B B处望处望A A处的俯角为处的俯角为，则，则，的关系为的关系为.(.() )(2)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0 0，2

3、 2 .(.() )(3)(3)若点若点P P在点在点Q Q的北偏东的北偏东 4444，则点，则点Q Q在点在点P P的东偏北的东偏北 4646.(.() )(4)(4)方位角大小的范围是方位角大小的范围是0 0，)，方向角大小的范围是，方向角大小的范围是0 0，2 2 .(.() )答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A A，B B( (如图如图) )，要测量，要测量A A，B B两点的距离，测量人员在岸边定出基线两点的距离，测量人员在岸边定出基线BCBC，

4、测，测精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业得得BCBC5050 m m，ABCABC105105，BCABCA4545. .可以计算出可以计算出A A，B B两点的距离为两点的距离为( () )A A5050 2 2 m mB B5050 3 3 m mC C2525 2 2 m mD.D.2525 2 22 2m m解析：选解析：选 A A由题意知由题意知CABCAB180180ABCABCBCABCA3030，由正弦定理得由正弦定理得ABABsinsinBCABCABCBCsinsinCABCAB，所以所以ABABBCBCsinsinBCABCAsinsinCABCAB50502 2

5、2 21 12 25050 2 2(m)(m)3.3.要测量底部不能到达的电视塔要测量底部不能到达的电视塔ABAB的高度，在的高度，在C C点测得塔顶点测得塔顶A A的的仰角是仰角是 4545，在，在D D点测得塔顶点测得塔顶A A的仰角是的仰角是 3030，并测得水平面上的，并测得水平面上的BCDBCD120120，CDCD4040 m m，则电视塔的高度为，则电视塔的高度为( () )A A1010 2 2 m mB B2020 m mC C20203 3 m mD D4040 m m解析：选解析：选 D D设电视塔的高度为设电视塔的高度为x xm m，则，则BCBCx x，BDBD 3

6、3x x. .在在BCDBCD中，由余弦定理中，由余弦定理得得3 3x x2 2x x2 240402 22 24040 x xcoscos 120120，即即x x2 22020 x x8008000 0，解得解得x x20(20(舍去舍去) )或或x x40.40.故电故电视塔的高度为视塔的高度为 4040 m.m.4 4若点若点A A在点在点C C的北偏东的北偏东 3030，点点B B在点在点C C的南偏东的南偏东 6060，且且ACACBCBC，则点则点A A在点在点B B的的_方向上方向上解析：如图所示，解析：如图所示，ACBACB9090，又又ACACBCBC，CBACBA4545

7、，而，而3030，9090454530301515. .点点A A在点在点B B的北偏西的北偏西 1515. .答案：北偏西答案：北偏西 1515精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业考点一考点一测量高度问题测量高度问题重点保分型考点重点保分型考点师生共研师生共研利用正弦、余弦定理解决高度问题是高考考查的一个方面利用正弦、余弦定理解决高度问题是高考考查的一个方面. .以实际问题情景为载体考查以实际问题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能力学生应用知识解决问题的能力. .考查频率一般，试题难度中等考查频率一般，试题难度中等. . 典题领悟典题领悟 (2018(2018衡水模拟衡水模拟) )

8、如图，为了测量河对岸电视塔如图，为了测量河对岸电视塔CDCD的高度，小王在点的高度，小王在点A A处测得塔顶处测得塔顶D D的仰角为的仰角为 3030，塔底塔底C C与与A A的连线同河岸成的连线同河岸成 1515角角， 小王向前走小王向前走了了 1 1 200200 m m 到达到达M M处，测得塔底处，测得塔底C C与与M M的连线同河岸成的连线同河岸成 6060角，则电视塔角，则电视塔C CD D的高度为的高度为_m._m. 思维路径思维路径 ( (结论结论) )求求CDCD放在放在ACACD D中求解中求解在在RtRtACACD D中知中知DACDAC( (关键点关键点) )需再需再知

9、知ACAC在在ACMACM中，易知两角与一边，用正弦定理可解得中，易知两角与一边，用正弦定理可解得解析：在解析：在ACMACM中，中，MCAMCA606015154545，AMCAMC1801806060120120，由正弦，由正弦定理得定理得AMAMsinsinMCAMCAACACsinsinAMCAMC，即，即1 1 2002002 22 2ACAC3 32 2，解得，解得ACAC600600 6 6. .在在ACDACD中，中，tantanDACDACDCDCACAC3 33 3，DCDC600600 6 63 33 3600600 2 2. .答案：答案：600600 2 2 解题师说

10、解题师说 求解高度问题的求解高度问题的 3 3 个注意点个注意点(1)(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角( (它是在铅垂面上所成的角它是在铅垂面上所成的角) )、方向、方向( (位位) )角角( (它是在水平面上所成的角它是在水平面上所成的角) )是关键是关键(2)(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面在实际问题中，可能会遇到空间与平面( (地面地面) )同时研究的问题，这时最好画两个图同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3

11、)(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题 冲关演练冲关演练 (2018(2018大连大联考大连大联考) )为了测量某新建的信号发射塔为了测量某新建的信号发射塔ABAB的高度，先取与发射塔底部的高度，先取与发射塔底部B B在在同一水平面内的两个观测点同一水平面内的两个观测点C C，D D，测得，测得BDCBDC6060，BCDBCD7575，CDCD4040 m m，并在点，并在点C C的正上方的正上方E E处观测发射塔顶部处观测发射塔顶部A A的仰角为的仰角为 3030，且，且CECE1 1 m m，则发射塔高，则发射

12、塔高ABAB( () )A A(20(20 2 21)m1)mB B(20(20 3 31)m1)mC C2020 2 2 m mD D(40(40 2 21)1) m m精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析：选解析：选 A A如图，过点如图，过点E E作作EFEFABAB，垂足为，垂足为F F，则则EFEFBCBC，BFBFCECE1 1，AEFAEF3030. .在在BCDBCD中，由正弦定理得，中，由正弦定理得，BCBCCDCDsinsinBDCBDCsinsinCBDCBD4040sinsin 6060sinsin 45452020 6 6. .所以所以EFEF2020 6

13、6，在在 RtRtAFEAFE中，中，AFAFEFEFtantanAEFAEF2020 6 63 33 32020 2 2，所以所以ABABAFAFBFBF2020 2 21 1 (m)(m)考点二考点二测量距离问题测量距离问题题点多变型考点题点多变型考点追根溯源追根溯源测量距离问题是解三角形实际应用中的考查内容之一测量距离问题是解三角形实际应用中的考查内容之一，题型主要是选择题题型主要是选择题、填空题填空题，难难度一般度一般.,.,常见的命题角度有：常见的命题角度有：1 1两点都不可到达；两点都不可到达；2 2两点不相通的距离；两点不相通的距离；3 3两点间可视但有一点不可到达两点间可视但有

14、一点不可到达. . 题点全练题点全练 角度角度( (一一) )两点都不可到达两点都不可到达1.1.如图如图，A A，B B两点在河的同侧两点在河的同侧，且且A A，B B两点均不可到达两点均不可到达，要测要测出出A A，B B的距离，测量者可以在河岸边选定两点的距离，测量者可以在河岸边选定两点C C，D D，测得，测得CDCDa a，同时，同时在在C C，D D两点分别测得两点分别测得BCABCA，ACDACD，CDBCDB，BDABDA. .在在ADCADC和和BDCBDC中中，由正弦定理分别计算出由正弦定理分别计算出ACAC和和BCBC，再在再在ABCABC中中，应用余弦定理计算应用余弦定

15、理计算出出ABAB. .若测得若测得CDCD3 32 2kmkm，ADBADBCDBCDB3030，ACDACD6060，ACBACB4545，则，则A A，B B两点两点间的距离为间的距离为_km._km.解析：解析：ADCADCADBADBCDBCDB6060，ACDACD6060，DACDAC6060，ACACDCDC3 32 2(km)(km)在在BCDBCD中，中，DBCDBC4545，由正弦定理，由正弦定理，得得BCBCDCDCsinsinDBCDBCsinsinBDCBDC3 32 2sinsin 4545sinsin 30306 64 4. .在在ABCABC中，由余弦定理，得

16、中，由余弦定理，得ABAB2 2ACAC2 2BCBC2 22 2ACACBCBCcoscos 4545精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3 34 43 38 82 23 32 26 64 42 22 23 38 8. .ABAB6 64 4(km)(km)A A，B B两点间的距离为两点间的距离为6 64 4km.km.答案：答案：6 64 4角度角度( (二二) )两点不相通的距离两点不相通的距离2.2.如图所示，要测量一水塘两侧如图所示，要测量一水塘两侧A A，B B两点间的距离，其方法先两点间的距离，其方法先选定适当的位置选定适当的位置C C，用经纬仪测出角，用经纬仪测出角，再

17、分别测出，再分别测出ACAC，BCBC的长的长b b，a a，则可求出，则可求出A A，B B两点间的距离即两点间的距离即ABABa a2 2b b2 22 2ababcoscos. .若测若测得得CACA400400 m m，CBCB600600 m m，ACBACB6060，则，则A A，B B两点的距离为两点的距离为_m._m.解析：在解析：在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得ABAB2 2ACAC2 2BCBC2 22 2ACACBCBCcoscosACBACB，ABAB2 24004002 26006002 22 2400400600cos600cos 6060280280

18、 000.000.ABAB2002007 7 (m)(m)即即A A，B B两点间的距离为两点间的距离为 2002007 7 m.m.答案：答案：2002007 7角度角度( (三三) )两点间可视但有一点不可到达两点间可视但有一点不可到达3.3.如图如图，为了测量两座山峰上为了测量两座山峰上P P，Q Q两点之间的距离两点之间的距离，选择山坡上一选择山坡上一段长度为段长度为 300300 3 3 m m 且和且和P P，Q Q两点在同一平面内的路段两点在同一平面内的路段ABAB的两个端点作的两个端点作为观测点，现测得为观测点，现测得PABPAB9090，PAQPAQPBAPBAPBQPBQ6

19、060，则，则P P，Q Q两点间的距离为两点间的距离为_ m.m.解析：由已知，得解析：由已知，得QABQABPABPABPAQPAQ3030. .又又PBAPBAPBQPBQ6060，AQBAQB3030，ABABBQBQ. .又又PBPB为公共边，为公共边，PABPABPQBPQB，PQPQPAPA. .在在 RtRtPABPAB中，中，APAPABABtantan 6060900900，故，故PQPQ900900，P P，Q Q两点间的距离为两点间的距离为 900900 m.m.答案：答案：900900 题题“根根”探求探求 1 1测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质

20、都是要求这两点间的测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出恰当地画出( (找出找出) )适合解决问题的三角形是解题的基适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键2 2求距离问题的两个策略求距离问题的两个策略精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(1)(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则

21、直接选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 冲关演练冲关演练 1 1已知已知A A，B B两地间的距离为两地间的距离为 1010 kmkm，B B，C C两地间的距离为两地间的距离为 2020 kmkm，现测得，现测得ABCABC120120，则，则A A，C C两地间的距离为两地间的距离为( () )A A1010 kmk

22、mB B1010 3 3 kmkmC C1010 5 5 kmkmD D1010 7 7 kmkm解析：选解析：选 D D由余弦定理可得：由余弦定理可得：ACAC2 2ABAB2 2CBCB2 22 2ABABCBCBcoscos 12012010102 220202 22 2101020201 12 2 700.700.ACAC1010 7 7(km)(km)2 2一艘船以每小时一艘船以每小时 1515 kmkm 的速度向东航行，船在的速度向东航行，船在A A处看到一个灯塔处看到一个灯塔M M在北偏东在北偏东 6060方方向，行驶向，行驶 4 4 h h 后，船到达后，船到达B B处，看到这

23、个灯塔在北偏东处，看到这个灯塔在北偏东 1515方向，这时船与灯塔的距离为方向，这时船与灯塔的距离为( () )A A1515 2 2 kmkmB B3030 2 2 kmkmC C4545 2 2 kmkmD D6060 2 2 kmkm解析：选解析：选 B B作出示意图如图所示，依题意有作出示意图如图所示，依题意有ABAB15154 46060，DACDAC6060，CBMCBM1515，MABMAB3030，AMBAMB4545. .在在AMBAMB中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得6060sinsin 4545BMBMsinsin 3030，解得解得BMBM3030 2 2. .考点

24、三考点三测量角度问题测量角度问题重点保分型考点重点保分型考点师生共研师生共研利用正弦、余弦定理解决角度问题是高考考查的一个方面利用正弦、余弦定理解决角度问题是高考考查的一个方面. .以实际问题情景为载体考查以实际问题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能力，试题难度中等学生应用知识解决问题的能力，试题难度中等. . 典题领悟典题领悟 游客从某旅游景区的景点游客从某旅游景区的景点A A处至景点处至景点C C处有两条线路处有两条线路 线路线路 1 1 是是从从A A沿直线步行到沿直线步行到C C，线路，线路 2 2 是先从是先从A A沿直线步行到景点沿直线步行到景点B B处，然后从处，然后从B B

25、沿直线步行到沿直线步行到C C. .现有甲现有甲、 乙两位游客从乙两位游客从A A处同时出发匀速步行处同时出发匀速步行， 甲的速度是乙的速度的甲的速度是乙的速度的11119 9倍倍，甲走线路甲走线路 2 2，乙走线路，乙走线路 1 1，最后他们同时到达，最后他们同时到达C C处经测量，处经测量，ABAB1 1 040040 m m，BCBC500500 m m，则则sinsinBACBAC等于等于_精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析：依题意，设乙的速度为解析：依题意，设乙的速度为x xm/sm/s，则甲的速度为则甲的速度为11119 9x xm/sm/s，因为因为ABAB1 1 0

26、40040 m m，BCBC500500 m m，所以所以ACACx x1 1 04004050050011119 9x x，解得，解得ACAC1 1 260260 m.m.在在ABCABC中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，coscosBACBACABAB2 2ACAC2 2BCBC2 22 2ABABACAC1 1 0400402 21 1 2602602 25005002 22 21 1 0400401 1 26026012121313，所以所以 sinsinBACBAC 1 1coscos2 2BACBAC1 1121213132 25 51313. .答案：答案：5 51313 解题

27、师说解题师说 1 1注意解决测量角度问题的注意解决测量角度问题的 3 3 事项事项(1)(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂联袂”使用的优点使用的优点2 2掌握解三角形应用题的掌握解三

28、角形应用题的 4 4 步骤步骤 冲关演练冲关演练 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 4545方向，相距方向，相距 1212 n n milemile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 1010 n nmilemile 的速度沿南偏东的速度沿南偏东 7575方向前进，若红方侦察艇以每小时方向前进，若红方侦察艇以每小时 1414 n nmilemile 的速度，沿北偏东的速度，沿北偏东 4545方向拦截蓝方的小艇若要在最短方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角

29、的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过解：如图，设红方侦察艇经过x x小时后在小时后在C C处追上蓝方的小艇，处追上蓝方的小艇，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业则则ACAC1414x x，BCBC1010 x x，ABCABC120120. .根据余弦定理得根据余弦定理得(14(14x x) )2 212122 2(10(10 x x) )2 2240240 x xcoscos 120120，解得解得x x2.2.故故ACAC2828，BCBC20.20.根据正弦定理得根据正弦定理得BCBCsinsinACACsinsin 120120，

30、所以所以 sinsin20sin20sin 12012028285 5 3 31414. .所以红方侦察艇所需要的时间为所以红方侦察艇所需要的时间为 2 2 小时，角小时，角的正弦值为的正弦值为5 5 3 31414. .普通高中、重点高中共用作业普通高中、重点高中共用作业( (高考难度一般，无须挖潜高考难度一般，无须挖潜) )A A 级级基础小题练熟练快基础小题练熟练快1.1.如图如图，两座灯塔两座灯塔A A和和B B与河岸观察站与河岸观察站C C的距离相等的距离相等，灯塔灯塔A A在在观察站南偏西观察站南偏西 4040， 灯塔灯塔B B在观察站南偏东在观察站南偏东 6060， 则灯塔则灯塔

31、A A在灯塔在灯塔B B的的( () )A A北偏东北偏东 1010B B北偏西北偏西 1010C C南偏东南偏东 8080D D南偏西南偏西 8080解析解析：选选 D D由条件及题图可知由条件及题图可知，A AB B4040，又又BCDBCD6060，所以所以CBDCBD3030，所以所以DBADBA1010，因此灯塔，因此灯塔A A在灯塔在灯塔B B南偏西南偏西 8080. .2 2如图如图，从气球从气球A A上测得正前方的河流的两岸上测得正前方的河流的两岸B B，C C的俯角分别为的俯角分别为 7575，3030，此时气此时气球的高是球的高是 6060 m m，则河流的宽度，则河流的宽

32、度BCBC等于等于( () )A A240(240( 3 31)m1)mB B180(180( 2 21)m1)m精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业C C120(120( 3 31)m1)mD D30(30( 3 31)m1)m解析：选解析：选 C Ctantan 1515tan(60tan(604545) )tantan 6060tantan 45451 1tantan 6060tantan 45452 2 3 3，BCBC60tan60tan 606060tan60tan 1515120(120( 3 31)(m)1)(m)3.3.如图如图，在塔底在塔底D D的正西方的正西方A A

33、处测得塔顶的仰角为处测得塔顶的仰角为 4545，在塔底在塔底D D的南偏东的南偏东 6060的的B B处测得塔顶的仰角为处测得塔顶的仰角为 3030，A A，B B的距离是的距离是 8484 m m，则则塔高塔高CDCD为为( () )A A2424 m mB B1212 5 5 m mC C1212 7 7 m mD D3636 m m解析：选解析：选 C C设塔高设塔高CDCDx xm m，则则ADADx xm m，DBDB 3 3x xm.m.又由题意得又由题意得ADBADB90906060150150，在在ABDABD中，利用余弦定理，得中，利用余弦定理，得84842 2x x2 2(

34、 ( 3 3x x) )2 22 2 3 3x x2 2coscos 150150，解得解得x x1212 7 7( (负值舍去负值舍去) )，故塔高为，故塔高为 1212 7 7 m.m.4 4一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点人在喷水柱正西方向的点A A测得水柱顶端的仰角为测得水柱顶端的仰角为 4545，沿点，沿点A A向北偏东向北偏东 3030前进前进 100100 m m到达点到达点B B，在，在B B点测得水柱顶端的仰角为点测得水柱顶端的仰角为 3030

35、，则水柱的高度是，则水柱的高度是( () )A A5050 m mB B100100 m mC C120120 m mD D150150 m m解析：选解析：选 A A作出示意图如图所示，设水柱高度是作出示意图如图所示，设水柱高度是h hm m，水柱底端，水柱底端为为C C，则在则在ABCABC中中，A A6060，ACACh h，ABAB100100，在在 RtRtBCDBCD中中，BCBC 3 3h h，根据余弦定理得，根据余弦定理得，( ( 3 3h h) )2 2h h2 21001002 22 2h h100100coscos 6060，即，即h h2 25050h h5 5 000

36、0000 0，即，即( (h h50)(50)(h h100)100)0 0，即，即h h5050，故水柱的高度是，故水柱的高度是 5050 m.m.5 5一艘海轮从一艘海轮从A A处出发，以每小时处出发，以每小时 4040 海里的速度沿南偏东海里的速度沿南偏东 4040的方向直线航行，的方向直线航行，3 30 0分钟后到达分钟后到达B B处，在处，在C C处有一座灯塔，海轮在处有一座灯塔，海轮在A A处观察灯塔，其方向是南偏东处观察灯塔，其方向是南偏东 7070，在，在B B处观察灯塔，其方向是北偏东处观察灯塔，其方向是北偏东 6565，那么，那么B B，C C两点间的距离是两点间的距离是(

37、 () )A A1010 2 2 海里海里B B1010 3 3 海里海里C C2020 3 3 海里海里D D2020 2 2 海里海里解析：选解析：选 A A画出示意图如图所示，易知，在画出示意图如图所示，易知，在ABCABC中，中，ABAB2 20 0海里，海里，CABCAB3030，ACBACB4545，根据正弦定理得根据正弦定理得BCBCsinsin 3030ABABsinsin 4545，解得解得BCBC1010 2 2( (海里海里) )精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业6.6.如图如图，为了测量为了测量A A，C C两点间的距离两点间的距离，选取同一平面上选取同一平面上

38、B B，D D两两点点，测出四边形测出四边形ABCDABCD各边的长度各边的长度( (单位单位：km)km)：ABAB5 5，BCBC8 8，CDCD3 3，DADA5 5，且，且B B与与D D互补，则互补，则ACAC的长为的长为( () )A A7 7 kmkmB B8 8 kmkmC C9 9 kmkmD D6 6 kmkm解析：选解析：选 A A在在ACDACD中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：coscosD DADAD2 2CDCD2 2ACAC2 22 2ADADCDCD3434ACAC2 23030. .在在ABCABC中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：coscos B BA

39、BAB2 2BCBC2 2ACAC2 22 2ABABBCBC8989ACAC2 28080. .因为因为B BD D180180，所以，所以 coscos B BcoscosD D0 0，即即3434ACAC2 230308989ACAC2 280800 0，解得，解得ACAC7.7.7 7海上有海上有A A，B B两个小岛相距两个小岛相距 1010 n n milemile，从，从A A岛望岛望C C岛和岛和B B岛成岛成 6060的视角，从的视角，从B B岛岛望望C C岛和岛和A A岛成岛成 7575的视角，那么的视角，那么B B岛和岛和C C岛间的距离是岛间的距离是_ n n mile

40、.mile.解析：如图，在解析：如图，在ABCABC中，中，ABAB1010，A A6060，B B7575，C C180180606075754545，由正弦定理，得由正弦定理，得ABABsinsinC CBCBCsinsinA A，所以所以BCBCABABsinsinA AsinsinC C1010sinsin 6060sinsin 45455 5 6 6(n(n mile)mile)答案：答案：5 5 6 68.8.如图所示，一艘海轮从如图所示，一艘海轮从A A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 1515方向，与海轮相距方向，与海轮相距 2020 n n mil

41、emile 的的B B处，海轮按北偏西处，海轮按北偏西 6060的方向航的方向航行了行了 3030 minmin 后到达后到达C C处，又测得灯塔在海轮的北偏东处，又测得灯塔在海轮的北偏东 7575的方向上的方向上，则海轮的速度为则海轮的速度为_n_n mile/e/min.解析：由已知得解析：由已知得ACBACB4545，B B6060，由正弦定理得由正弦定理得ACACsinsinB BABABsinsinACBACB，所以所以ACACABABsinsinB BsinsinACBACB2020sinsin 6060sinsin 45451010 6 6，所以海轮航行的速度为所以

42、海轮航行的速度为1010 6 630306 63 3(n(n mile/min)mile/min)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业答案：答案：6 63 39.9.某同学骑电动车以某同学骑电动车以 2424 km/hkm/h 的速度沿正北方向的公路行驶的速度沿正北方向的公路行驶，在在点点A A处测得电视塔处测得电视塔S S在电动车的北偏东在电动车的北偏东 3030方向上，方向上，1515 minmin 后到点后到点B B处处，测得电视塔测得电视塔S S在电动车的北偏东在电动车的北偏东 7575方向上，则点方向上，则点B B与电视塔的距离与电视塔的距离是是_km._km.解析解析：如题图

43、如题图，由题意知由题意知ABAB2424151560606 6，在在ABSABS中中，BASBAS3030，ABAB6 6，ABSABS1801807575105105，ASBASB4545，由正弦定理知，由正弦定理知BSBSsinsin 3030ABABsinsin 4545，BSBSABABsinsin 3030sinsin 45453 3 2 2(km)(km)答案：答案：3 3 2 21010如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A A处时测得公路北侧一山顶处时测得公路北侧一山顶D D在西偏北在西偏北 3030的方向上，行驶的方向上

44、，行驶 600600 m m 后到达后到达B B处，测得此山顶在西偏北处，测得此山顶在西偏北 7575的方向上，仰的方向上，仰角为角为 3030，则此山的高度，则此山的高度CDCD_m._m.解析：由题意，在解析：由题意，在ABCABC中，中，BACBAC3030，ABCABC1801807575105105，故，故ACBACB4545. .又又ABAB600600 m m，故由正弦定理得，故由正弦定理得600600sinsin 4545BCBCsinsin 3030，解得解得BCBC300300 2 2 m.m.在在 RtRtBCDBCD中，中，CDCDBCBCtantan 30303003

45、00 2 23 33 31001006 6(m)(m)答案：答案：100100 6 6B B 级级中档题目练通抓牢中档题目练通抓牢1 1某船开始看见灯塔在南偏东某船开始看见灯塔在南偏东 3030方向，后来船沿南偏东方向，后来船沿南偏东 6060的方向航行的方向航行 1515 kmkm 后后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( () )A A5 5 kmkmB B1010 kmkmC C5 5 3 3 kmkmD D5 5 2 2 kmkm解析解析：选选 C C作出示意图作出示意图( (如图如图) )，点点A A为该船开始的位置为该船开始的位置

46、，点点B B为为灯塔的位置，点灯塔的位置，点C C为该船后来的位置，所以在为该船后来的位置，所以在ABCABC中，有中，有BACBAC6060精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业30303030，B B120120，ACAC1515，由正弦定理，得由正弦定理，得1515sinsin 120120BCBCsinsin 3030，即即BCBC15151 12 23 32 25 5 3 3，即这时船与灯塔的距离是，即这时船与灯塔的距离是 5 5 3 3 km.km.2 2地面上有两座相距地面上有两座相距 120120 m m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为

47、，在高塔塔底望，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为矮塔塔顶的仰角为2 2，且在两塔底连线的中点且在两塔底连线的中点O O处望两塔塔顶的仰角互为余角处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高则两塔的高度分别为度分别为( () )A A5050 m,100m,100 m mB B4040 m,90m,90 m mC C4040 m,50m,50 m mD D3030 m,40m,40 m m解析：选解析：选 B B设高塔高设高塔高H Hm m，矮塔高，矮塔高h hm m，在，在O O点望高塔塔顶的仰角为点望高塔塔顶的仰角为. .则则 tantanH H120120，tantan2 2h h120120，根据

48、三角函数的倍角公式有根据三角函数的倍角公式有H H1201202 2h h1201201 1h h1201202 2. .因为在两塔底连线的中点因为在两塔底连线的中点O O望两塔塔顶的仰角互为余角望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在所以在O O点望矮塔塔顶的仰角点望矮塔塔顶的仰角为为2 2，由由 tantanH H6060，tantan2 2h h6060，得得H H60606060h h. .联立联立解得解得H H9090，h h40.40.即两座塔的高度分别为即两座塔的高度分别为 4040 m,90m,90 m.m.3.3.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为

49、120120的扇形的扇形AOBAOB，C C是是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AOAO的小路的小路CDCD. .已知某人已知某人从从O O沿沿ODOD走到走到D D用了用了 2 2 minmin，从，从D D沿着沿着DCDC走到走到C C用了用了 3 3 min.min.若此人步若此人步行的速度为行的速度为 5050 m/minm/min，则该扇形的半径的长度为，则该扇形的半径的长度为( () )A A5050 5 5m mB B5050 7 7m mC C5050 1111 m mD D5050 1919 m m解析：选解析：选 B B设该扇

50、形的半径为设该扇形的半径为r r，连接，连接COCO. .精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由题意，得由题意，得CDCD150(m)150(m)，ODOD100(m)100(m)，CDOCDO6060，在在CDOCDO中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，CDCD2 2ODOD2 22 2CDCDODODcoscos 6060OCOC2 2，即即 1501502 21001002 22 21501501001001 12 2r r2 2，解得解得r r5050 7 7. .4.(20184.(2018惠州调研惠州调研) )如图所示，在一个坡度一定的山坡如图所示，在一个坡度一定的山坡ACA

51、C的顶上的顶上有一高度为有一高度为 2525 m m 的建筑物的建筑物CDCD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的在山坡的A A处测得处测得DACDAC1515，沿山坡前进沿山坡前进 5050 m m 到达到达B B处处，又测又测得得DBCDBC4545，根据以上数据可得，根据以上数据可得 coscos_._.解析：由解析：由DACDAC1515，DBCDBC4545，可得，可得DBADBA135135，ADBADB3030. .在在ABDABD中，根据正弦定理可得中，根据正弦定理可得ABABsinsinADBADBBDBDsinsinBADBAD

52、，即即5050sinsin 3030BDBDsinsin 1515，所以所以BDBD100sin100sin 1515100100sin(45sin(453030) )25(25( 6 6 2 2) )在在BCDBCD中，由正弦定理得中，由正弦定理得CDCDDBCDBCBDBDsinsinBCDBCD，即即2525sinsin 454525256 6 2 2sinsinBCDBCD，解得，解得 sinsinBCDBCD 3 31.1.所以所以 coscoscos(cos(BCDBCD9090) )sinsinBCDBCD 3 31.1.答案：答案： 3 31 15.(20185.(2018福州

53、质检福州质检) )如图如图，小明同学在山顶小明同学在山顶A A处观测到一辆汽处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶， 小明小明在在A A处测得公路处测得公路上上B B，C C两点的俯角分别为两点的俯角分别为 3030， 4545， 且且BACBAC135135. .若山高若山高ADAD100100m m，汽车从，汽车从B B点到点到C C点历时点历时 1414 s s，则这辆汽车的速度约为，则这辆汽车的速度约为_m/s(_m/s(精确到精确到 0.1)0.1)参考数据：参考数据： 2 21.4141.414， 5 36.解析解析：

54、 因为小明在因为小明在A A处测得公路上处测得公路上B B，C C两点的俯角分别为两点的俯角分别为 3030， 4545， 所以所以BADBAD6060，CADCAD4545. .设这辆汽车的速度为设这辆汽车的速度为v vm/sm/s，则，则BCBC1414v v. .在在 RtRtADBADB中，中，ABABADADcoscosBADBADADADcoscos 6060200.200.在在 RtRtADCADC中，中，ACACADADcoscosCADCAD100100coscos 4545100100 2 2. .在在ABCABC中，由余弦定理，中，由余弦定理，精选优质文档-倾情为你奉上专

55、心-专注-专业得得BCBC2 2ACAC2 2ABAB2 22 2ACACABABcoscosBACBAC，所以所以(14(14v v) )2 2(100(100 2 2) )2 22002002 22 2100100 2 2200200coscos 135135，所以，所以v v5050 10107 722.622.6，所以这辆汽车的速度约为所以这辆汽车的速度约为 22.622.6 m/s.m/s.答案：答案：22.622.66.6.一艘海轮从一艘海轮从A A出发，沿北偏东出发，沿北偏东 7575的方向航行的方向航行(2(2 3 32)n2)n milemile 到到达海岛达海岛B B，然后

56、从然后从B B出发出发，沿北偏东沿北偏东 1515的方向航行的方向航行 4 4 n n milemile 到达海岛到达海岛C C. .(1)(1)求求ACAC的长；的长；(2)(2)如果下次航行直接从如果下次航行直接从A A出发到达出发到达C C，求，求CABCAB的大小的大小解：解：(1)(1)由题意，在由题意，在ABCABC中，中，ABCABC18018075751515120120，ABAB2 2 3 32 2，BCBC4 4，根据余弦定理得，根据余弦定理得，ACAC2 2ABAB2 2BCBC2 22 2ABABBCBCcoscosABCABC(2(2 3 32)2)2 24 42 2(2(