人教高一数学函数奇偶性和周期性讲义

1、第三节1、 求函数解析式的方法： 1、待定系数法： 若已知函数解析式的类型，设出其一般形式，根据特殊值，确定相关系数即可。例1、若已知函数为一次函数，且，则的解析式为 2、 解方程法： 利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于的方程组求出。例2、已知函数满足方程，则的解析式是 。3、 配凑法： 对的解析式进行配凑变形，使它能用来表示，再用x来替代两边所有的即可。4、换元法：设，解出带入，求出，注意换元后新元的范围。例3、已知，则的解析式 。例4、已知，求的解析式。5、 赋值法： 给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式。 例5、已知，对任意的实数,都有，求的解析式。2、 函数的奇偶性

2、：（一） 图象关于y轴对称的函数即是偶函数，图象关于原点对称的函数即是奇函数1偶函数（一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数2奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数注意：（1） 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域而言的，是函数的整体性质；（2） 函数的奇偶性考察的是f(x)和f(-x)的关系，所以f(x)和f(-x)都应该有意义，即x和-x都应该在函数的定义域内，所以定义域在数轴上必须关于原点对称，否则，这个函数一定不具有奇偶性，即

3、函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（3） 函数的奇偶性必须具有任意性，即对于任意一个x，都有f(-x)=f(x)或者f(-x)=-f(x)。（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称（3） 奇偶函数的性质： 1、奇函数关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数关于原点对称的区间上的单调性相反。2、 任何一个关于原点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数和一个偶函数和的形式，即，其中，。3、 运算性质： 根据性质可以判定，4、 奇函数和偶函数的特有性质： 若奇函数在x=0处有定

4、义，则必有； 若函数为偶函数，则有 奇偶性题型：判断函数奇偶性 一般方法：首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称，若不是关于原点对称，则必不是奇偶函数；对于解析式较复杂的函数，有时需将函数化简之后再判定其奇偶性，但一定要考虑其定义域； 对于分段函数，必须是分段判断它的奇偶性，只有在每一段都满足奇偶函数定义时，才能下结论。例6、判断下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）（4）（5）2、 函数的图像画法：1、 对称： （1） 将函数关于x轴对称，则其函数解析式变为-； 将函数关于y轴对称，即此函数解析式为，因为此时有； 若将函数关于原点对称，则函数变为-； （2）若将函数保留x轴上方的部分，再将

5、x轴下方的图像翻折到x轴上方，即变为； 若将函数图象y轴右边的部分保留，并将y轴右侧的部分对称的翻折到y轴左侧，则函数解析式为，即此函数为偶函数。（3） 函数的平移： 函数向右平移a个单位长度，则其解析式变为； 函数向上平移b分单位，则其解析式变为+b。 即函数平移的规律为：左加右减，（针对于x而言，无论其系数是什么）；上加下减，针对于y。例6、对于任意实数，min表示二者中较小的那个数，对于，则min的最大值为 。 3、 函数的周期性：1、 定义：如何存在一个非零常数T，使得函数定义域的任意x，都有,则称为周期函数，T为这个函数的周期。若所有的周期中存在一个最小正数，则这个最小正数为函数的周期。2、 由函数周期性的定义知:(1) 若函数满足，则函数为周期函数，且其周期为2a；(2) 若函数恒成立，则函数