人教版八年级数学上《等边三角形》拓展练习

1、等边三角形拓展练习、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1 . （5分）如图，在 ABC中，/ACB = 90° , D是AB上的点，过点 D作DELAB交BC于点F,交AC的延长线于点 E,连接CD , / DCA = / DAC ,则下列结论正确的有 （ ） /DCB=/B;CD=LaB;4ADC 是等边三角形； 若/E=30° ,则 DE =EF+CF.2. （5分）下列说法:C.D.第3页（共23页）等边三角形的三个内角都相等；等边三角形的每一个角都等于 60° ;三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.其中，正确说法

2、的个数是（）C. 3D. 43.（5分）如图，在平面直角坐标系中,O为坐标原点，A （0, V5）, B （- 1, 0）,平行于l上存在点P,使得 PAB是等边三角形，则点 C的AB的直线l交y轴于点C,若直线A. （1, 0）或（3, 0）C. （0, - 3）或（0,虱3）B. （0, 1）或（0,氏D.（-距,0）或（3, V3）4. （5 分）已知如图等腰 ABC, AB = AC, / BAC=120° , ADBC 于点 D,点 P 是 BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP = OC,下面的结论：/ APO+/DCO =30° ;/APO = /DCO

3、;AOPC是等边三角形； AB=AO+AP.其中正确的是（）A.B.C.D.5. （5分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1, 0）,点B的坐标为（2, 0）,点P为线段AB外一动点且PA=1,以PB为边作等边 PBM,则当线段AM的长取到最大值时，点P的横坐标为（）A . - 1B.C.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）在同一平面内，将一副直角三角板 ABC和EDF如图放置（/C = 60° , / F = 45° ）,其中直角顶点 D是BC的中点，点A在DE上，则/ CGF =7. （5分）已知：如图所示，边长为 6的等边 ABC,以BC

4、边所在直线为x轴，过B点且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则 A点坐标为8. （5分）如图，六边形 ABCDEF的六个角都是 120° ,边长 AB=1cm, BC=3cm, CD =/ BAC=120° , ADBC 于点 D,点 P 是 BA延长线上一点， 点O是线段AD上一点，OP=OC,下面结论：/ APO+/DCO =30° ;（填上所有正确结论的序号）AOPC是等边三角形；AC=AO+AP;SaABC=S四边形ADCP；其中正确的有10. （5 分）已知如图等腰 ABC, AB = AC, /BAC=120° , ADBC 于点

5、D,点 P 是 BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP = OC,下面的结论：/ APO+/DCO =30° ;/APO = / DCO ; 4OPC 是等边三角形；AB=AO+AP.其中正确的序号是.S D C三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）如图， ABC为等边三角形，BD平分/ ABC交AC于点D, DE/ BC交AB于点E.（1）求证： ADE是等边三角形.（2）求证：AE=AB.第5页(共23页)DE / AB,过点 E12. (10分)如图，在等边 ABC中，点D, E分别在边BC, AC上，且作EFLDE,交BC的延长线于点 F,(1)求

6、/ F的度数；(2)若CD = 3,求DF的长.O,且 OD / AB,13. (10分)如图.在等边 ABC中，/ ABC与/ ACB的平分线相交于点OE / AC.(1)试判定 ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程.求证： DEF是等边三角形.14. （10 分）如图， ABC 是等边三角形， DFAB, DEXCB, EF XAC,CD = 3,过点D15. (10分)如图，在等边 ABC中，点D, E分别在边 BC、AC上，若 作DE / AB,过点E作EF，DE ,交BC的延长线于点 F .(1)求证： CDE为等边三角形;(2)求

7、EF的长.等边三角形拓展练习参考答案与试题解析、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.（5分）如图，在 ABC中，/ ACB = 90° , D是AB上的点，过点 D作DELAB交BC 于点F,交AC的延长线于点 E,连接CD , / DCA = / DAC ,则下列结论正确的有 （ ） /DCB=/B;CD=AB;4ADC 是等边三角形； 若/E=30° ,则 DE =2EF+CF.第9页（共23页）A.B.C.D.【分析】 由在 ABC中，/ ACB = 90° , DE ±AB,易证得/ DCA = Z DAC ,继而可得/ DCB = Z B

8、正确;由可证得AD = BD=CD,即可得CD=±AB正确;易得4ADC是等腰三角形，但不能证得 ADC是等边三角形；由若/ E=30° ,易求得/ FDC =Z FCD = 30° ,则可证得 DF = CF ,继而证得 DE =EF+CF.【解答】 解：二.在 ABC 中，Z ACB = 90° , DEXAB, ./ ADE = Z ACB = 90° ,，/A+/B=90° , / ACD + /DCB = 90° , . / DCA=Z DAC,AD= CD, / DCB = Z B;故 正确；.CD = BD,

9、AD= BD,.CD =B;故正确;/ DCA=/ DAC, . AD= CD,但不能判定 ADC是等边三角形；故 错误; .若/ E=30° ,/ A= 60° , . ACD是等边三角形， ./ ADC= 30° , . / ADE = Z ACB = 90° , ./ EDC = Z BCD = / B=30° ,.CF= DF, .DE= EF+DF = EF+CF.故 正确.故选：B.【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质.注意证得D是AB的中点是解此题的关键.2.（5分）下列说法：等边三角形的三个内角都相等；等

10、边三角形的每一个角都等于60° ;三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.其中，正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】根据等边三角形的性质和判定即可判断；【解答】解：等边三角形的三个内角都相等；正确；等边三角形的每一个角都等于60° ;正确；三个角都相等的三角形是等边三角形；正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.正确;故选：D.【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.3.(5分)如图，在平面直角坐标系中,O为坐标原点，A (0, V3), B (-

11、1, 0),平行于第21页（共23页）AB的直线l交y轴于点C,若直线C. (0,-3)或(0, 3氐B. (0, 1)或(0,-近)l上存在点P,使得 PAB是等边三角形，则点 C的D. (-3, 0)或(3,0)【分析】分两种情形构建一次函数即可解决问题；【解答】解：如图，.A (0,6)，B ( 1, 0), -OA=h/3, OB=1, .tan/ABO =代， . AB=2OB = 2,在x轴正半轴上取一点 P (1, 0),连接PA,则 APB是等边三角形, 直线AB的解析式为y = V3x+V3,直线PC的解析式为y=J&x- C (0, -V3),作点P关于直线AB的对

12、称点P ' (- 2, 4),过P'平行AB的直线的解析式为 y=h/3x+3/3, 可得 C' (0, 3、4)，综上所述，满足条件的点 C坐标为（0,-近）或（0, 3石）.故选：C.4.【点评】本题考查两直线平行和相交问题，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学 会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.是BA30° ;)（5 分）已知如图等腰 ABC, AB = AC, / BAC=120° , ADBC 于点 D,点 P 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP = OC,下面的结论：/APO+/DCO = /APO = / DCO;4

13、OPC是等边三角形； AB=AO+AP.其中正确的是（A.B,C.D.APO +【分析】利用等边对等角，即可证得：/ APO = /ABO, /DCO=/DBO,则/ DCO = / ABO+ / DBO = / ABD ,据此即可求解；因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是/ ABD的角平分线，可作判断；证明/ POC = 60°且OP=OC,即可证得 OPC是等边三角形；首先证明 OPACPE,贝U AO=CE, AC = AE+CE= AO+AP.【解答】解：如图1,连接OB,. AB=AC, ADXBC, .BD=CD, Z BAD=yZ BAC = -1-X 120&#

14、176; =60。, .OB=OC, Z ABC =90° /BAD = 30° .OP= OC,.OB= OC=OP, ./APO=/ ABO, /DCO = /DBO, ./ APO+/ DCO = / ABO+/ DBO = / ABD =30° ;故正确；由知：/ APO = / ABO , / DCO = / DBO , 点O是线段AD上一点， / ABO与/ DBO不一定相等，则/ APO与/ DCO不一定相等, 故不正确；. /APC+/DCP+/PBC= 180° , ./ APC+Z DCP = 150° , . / APO+

15、Z DCO = 30° , ./ OPC+Z OCP= 120° , ./POC=180° - (/ OPC+/OCP) =60° , .OP= OC, . OPC是等边三角形；故正确；如图2,在AC上截取AE=PA,连接PB, . Z FAE=180° - Z BAC = 60° , .APE是等边三角形， ./ PEA=/APE = 60° , PE= PA, ./ APO+Z OPE = 60° , . Z OPE+Z CPE=Z CPO = 60° , ./ APO=Z CPE, .OP= CP,

16、在 OPA和 CPE中，irPA=FEqZAPO=ZCPE,pp二CPOPAA CPE (SAS),AO= CE,，AC= AE+CE=AO+AP;故正确；本题正确的结论有： 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等 三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键.5.（5分）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（-1, 0）,点B的坐标为（2, 0）, 点P为线段AB外一动点且PA=1,以PB为边作等边 PBM,则当线段AM的长取到最 大值时，点P的横坐标为（）A TBTC.D.【分析】如图，将 MPA绕点P顺时针旋转60° ,得到 BP

17、N,连接AN.根据旋转不变性可知：PA= PN, / MPB = /APN=60° , AM = BN,推出 PAN 是等边三角形，推 出AN=PA=1,由BNWAN+AB,推出当 N, A, B共线日BN的值最大，此时点 N在BA的延长线上，由此即可解决问题；【解答】解：如图，将 MPA绕点P顺时针旋转60° ,得到 BPN,连接AN.根据旋转不变性可知：PA=PN, / MPB =/APN = 60° , AM = BN,. PAN是等边三角形，AN= PA= 1 , BNW AN+AB,当N, A, B共线时，BN的值最大，此时点 N在BA的延长线上，可得点

18、 P的横坐标故选：C.【点评】本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6.（5分）在同一平面内，将一副直角三角板 ABC和EDF如图放置（/C = 60° , / F = 45° ）, 其中直角顶点 D是BC的中点，点 A在DE上，则/ CGF=15 ° .【分析】根据直角三角形的性质得到 AD = CD,求得/ DAC = Z C= 60。根据三角形的内 角和和对顶角的性质即可得到结论.【解

19、答】解：.一/ BAC=90° , D为BC的中点，AD= CD, ./ DAC = Z C= 60° , ./ EAG= 120° , ./AGE=180° - 120° -45° =15° , ./ CGF = Z QGE= 15° ,故答案为：15.【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键.7. （5分）已知：如图所示，边长为6的等边 ABC,以BC边所在直线为x轴，过B点且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A点

20、坐标为（3,3/?）.¥A二BC 聂【分析】根据等边三角形的性质解答即可.【解答】解：过A作ADXBC,. BC=6,等边三角形 ABC, .AD =3后.点A的坐标为（3, 3/3）,故答案为：（3, 3/3）【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答.8. （5分）如图，六边形 ABCDEF的六个角都是 120° ,边长 AB=1cm, BC=3cm, CD =3cm, DE=2cm,则这个六边形的周长是：15cm120。，所以通过【分析】凸六边形 ABCDEF ,并不是一规则的六边形，但六个角都是适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解.G

21、、【解答】解：如图，分别作直线 AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点H、P. 六边形 ABCDEF的六个角都是 120° , 六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是 60° . .APF、BGC、ADHE> GHP 都是等边三角形.-，GC=BC=3cm, DH = DE = 2cm. .GH = 3+3+2 = 8cm, FA= PA= PG - AB - BG = 8 - 1 - 3= 4cm, EF = PH - PF - EH = 8 4 2= 2cm.，六边形的周长为 1+3+3+2+4+2 = 15cm.故答案为：15cm.【点评】 本题考查

22、了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形， 从而求得周长.是非常完美的解题方法，注意学习并掌握.9. （5 分）已知如图等腰 ABC, AB = AC, / BAC= 120° , ADBC 于点 D,点 P 是 BA 延长线上一点， 点O是线段AD上一点，OP=OC,下面结论：/ APO+/DCO =30° ; AOPC是等边三角形；AC=AO+AP;Saabc = S四边形ADCP;其中正确的有 （填上所有正确结论的序号）【分析】连接OB,根据垂直平分线性质即可求得 OB=OC=OP,即可解题；根据周角等于 360°和三角形内角和为 180&

23、#176;即可求得/ POC = 2/ABD = 60° ,即可 解题；AB上找到 Q点使得AQ=OA,易证 BQOAPAO,可得PA=BQ,即可解题；作CHLBP,可证 CDOACHP和RtAABDRtAACH ,根据全等三角形面积相等 即可解题.【解答】解：如图,B D C连接OB,. AB=AC, BD = CD,AD是BC垂直平分线，.OB= OC=OP, ./APO=/ ABO, /DBO = /DCO,. / ABO+Z DBO= 30° ,丁./APO+/DCO = 30° .故 正确；. OBP 中，/ BOP = 180° / OPB

24、/ OBP, BOC 中，/ BOC=180° - Z OBC- Z OCB,，/POC= 360° - Z BOP-/ BOC=/ OPB+/OBP+/OBC+/OCB, . / OPB=Z OBP, / OBC=Z OCB, ./ POC= 2/ABD = 60° ,PO= OC, .OPC是等边三角形，故 正确；在AB上找到Q点使得AQ=OA,则4 AOQ为等边三角形，则/ BQO=Z PAO = 120° ,在 BQO和 PAO中，rZBQ0=ZPA04 ZABOZAPO, ；0B二OP . BQOA PAO (AAS),PA= BQ, AB=

25、BQ+AQ,.AC= AO+AP,故 正确；作CHXBP,3 D C . / HCB= 60° , / PCO= 60° , ./ PCH = Z OCD,在 CDO和ACHP中，irZODC=ZPHC=90fl，ZOCD=ZPCHOCXP (等边三角形边长相等) 七ICDOACHP (AAS), 1 SaOCD= Sa CHP.CH = CD,1.cd = bd,BD= CH,在 RtAABD 和 RtAACH 中，fAB=ACbd二CH' RtAABD RtAACH （HL）,SaABD = SaAHC ,四边形 OAPC 面积=Sa OAC+ Sa AHC+S

26、a CHP , Sa ABC= Sa AOC+Sa ABD+ Sa OCD，四边形OAPC面积=Saabc.故错误.故答案为：.【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 BQOA PAO是解题的关键.10. （5 分）已知如图等腰 ABC, AB = AC, /BAC=120° , ADBC 于点 D,点 P 是 BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP = OC,下面的结论：/ APO+/DCO =30° ;/APO = / DCO;4OPC 是等边三角形；AB = AO+AP.其中正确的序号是 .pDCAPO +【分析】利用

27、等边对等角，即可证得：/ APO = /ABO, /DCO=/DBO, / DCO = / ABO+ / DBO = / ABD,据此即可求解;因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是/ ABD的角平分线，可作判断;证明/ POC = 60°且OP=OC,即可证得 OPC是等边三角形;首先证明 OPACPE,贝U AO=CE, AB = AC= AE+CE=AO+AP.【解答】解：如图1,连接OB,/ BAD =BAC = -i-X 120°. AB=AC, ADXBC,BD= CD, .OB=OC, Z ABC =90° /BAD = 30 ° .O

28、P= OC, .OB= OC=OP, ./APO=/ ABO, /DCO = /DBO, ./ APO+ Z DCO = Z ABO+ Z DBO = Z ABD =30° ;故 正确；由知：/ APO = / ABO , / DCO = / DBO , 点O是线段AD上一点， / ABO与/ DBO不一定相等，则/ APO与/ DCO不一定相等，故 不正确;. /APC+/DCP+/PBC= 180° , ./ APC+Z DCP = 150° , . / APO+Z DCO = 30° , ./ OPC+Z OCP= 120° , ./PO

29、C=180° - (/ OPC+/OCP) =60° ,.OP= OC, .OPC是等边三角形；故 正确；如图2,在AC上截取AE=PA,连接PB, . Z FAE=180° - Z BAC = 60° , .APE是等边三角形,PEA=/APE = 60° , PE=PA, ./ APO+Z OPE = 60° , . / OPE+/CPE=/ CPO = 60° , ./ APO=/ CPE, .OP= CP,在 OPA和 CPE中，irPA=FE，/APO=/CPE, gCPOPAA CPE (SAS),AO= CE,

30、AB= AC = AE+CE = AO+AP;故正确;本题正确的结论有：，故答案为.【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键.三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）如图， ABC为等边三角形，BD平分/ ABC交AC于点D, DE/ BC交AB于点E.（1）求证： ADE是等边三角形.（2）求证：AE=-i-AB.【分析】(1)根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可.(2)根据等边三角形的性质解答即可.【解答】证明：(1) .ABC为等边三角形，A=Z ABC=Z C=60°

31、; . DE / BC, ./AED = / ABC = 60° , /ADE = /C=60° . .ADE是等边三角形.(2) . ABC为等边三角形，AB= BC = AC. BD 平分/ ABC,AD = J-AC.2.ADE是等边三角形，.AE=AD.AE = -AB.2【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答.12. (10分)如图，在等边 ABC中，点D, E分别在边 BC, AC上，且 DE/AB,过点E 作EFLDE,交BC的延长线于点 F,(1)求/ F的度数；(2)若CD = 3,求DF的长.第#页(共23页

32、)【分析】(1)根据平行线的性质可得/ EDC = /B=60。，根据三角形内角和定理即可求解；(2)易证 EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解.【解答】解：(1) . ABC是等边三角形，B=60° , DE / AB, ./ EDC = Z B= 60° , EFXDE, ./ DEF = 90 ° , ./ F=90° / EDC = 30° ;(2) ,. /ACB = 60° , / EDC =60° ,. EDC是等边三角形.ED= DC = 3,. / DEF = 90° , / F =

33、 30° ,DF= 2DE = 6.【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半.13. (10分)如图.在等边 ABC中，/ ABC与/ ACB的平分线相交于点 O,且OD / AB, OE / AC.(1)试判定 ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程.AB D E C【分析】(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到ODE是等边三角形；(2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到/DBO = / DOB ,根据等角对等边可得至|JDB = DO,同理可证明 EC=EO,因为 DE=OD=OE,所以 BD = DE = EC.【解答】解：(1) AODE是等边三角形，第20页(共23页)其理由是：. ABC是等边三角形,ABC=/ ACB = 60° , （2 分）1.OD /AB, OE / AC, ./ ODE = /ABC=60° , Z OED = Z ACB = 60° （ 3 分）ODE是等边三角形；（4分）（2）答：BD= DE=EC,其理由是：: OB平分/ABC,且/ A