数学条件概率PPT课件

1、若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为在事件A发生的发生的条件下事件B发生发生的条件概率，简称为B对A的条件概率，记作P(B|A)。若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率一、条件概率第1页/共31页例1.14 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回。(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率； (2)求第二次取到红球的概率；(3)求两次均取到红球的概率。解 设A第一次取到红球,B第二次取到红球41)|() 1 (ABP522312)()2(25PBP1

2、0112)()3(25PABP第2页/共31页S=ABA第一次取到红球,B第二次取到红球第3页/共31页显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，则AABnnABP)|(称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率条件概率定义定义 设A、B是S中的两个事件，P(A)0，则 )()(APABPnnnnAAB)A(P)AB(P)AB(P第4页/共31页“条件概率条件概率”是是“概率概率”吗？吗？何时何时P( (A| |B)=)=P( (A)? )?何时何时P( (A| |B)P( (A)? )?何时何时P( (A| |B)0，则有乘法公式乘

3、法公式P(AB)P(A)P(B|A)当P(AB)0时，上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地，n个随机事件A1,A2,An，且 P(A1A2An-1)0,有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2).P(An|A1An1)第11页/共31页例例1.181.18 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的1010个个试题中有试题中有4 4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲

4、抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。题签的概率。 解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件 52104)(AP15293104)()()(ABPAPABP15494106)()()(ABPAPBAP3018293104)()()()(ABCPABPAPABCP返回第12页/共31页例例1.191.19 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜只，观察其颜

5、色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球色相同的球，若从盒中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取次取得白球、第得白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解 设Ai为第i次取球时取到白球，则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP第13页/共31页三、全概率公式与贝叶斯公式 在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的

6、和，再由简单事件的概率求得最后结果。 如在例1.18中，如果把甲、乙、丙抽到难题签的事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法计算如下：例1.18第14页/共31页甲抽到难签的概率甲抽到难签的概率104)(AP例1.18乙抽到难签的概率，注意到乙抽到难签的概率，注意到)(BAABB)()()(BAPABPBP)()()()(ABPAPABPAP1049410693104丙抽到难签的概率，注意到丙抽到难签的概率，注意到CBACBABCAABCC)()()()()(CBAPCBAPBCAPABCPCP)()()()()()()()()()()()(BACPABPAPABCPABPAPBACPABPA

7、PABCPABPAP1048495106839610483941068293104可将此类问题推广到一般情况。第15页/共31页A1A2AnB事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组第16页/共31页定理1.1 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。设事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组且设 P(Ak)0,(k=1,2,n),则 )A|B()A()A|B()A()A|B()A()A|B()A()B(22111kknkkkPPPPPPPPP此公式称为全概率公式。2 2、全概率公式、全概率公式 )AB(P)A(P)AB(P)A(PP(B)2,n:特例第17页/共31页例

8、1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225. 02103. 04101. 04102. 0)()()()(321BAPBAPBAPBP解 设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。第18页/共31页例例1.21 1.21 某工厂生产的产品以某工厂生产的产品以100100件为一批，假定每一批产品件为一批，假定每一批产品中的次品最多

9、不超过中的次品最多不超过4 4件，且具有如下的概率：件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数一批产品中的次品数 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4概概 率率0.1 0.2 0.4 0.2 0.10.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取现进行抽样检验，从每批中随机抽取1010件来检验，若发现其中件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。率。解解 设设A表示事件表示事件“一批产品通过检验一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示表示“一一批产品含有批产品含有i件次品件

10、次品”，则，则B0,B1, B2, B3, B4组成样本空间的一个划组成样本空间的一个划分，分， 1)(, 1 . 0)(00BAPBP900. 0)(, 2 . 0)(10100109911CCBAPBP809. 0)(, 4 . 0)(10100109822CCBAPBP727. 0)(, 2 . 0)(10100109733CCBAPBP652. 0)(, 1 . 0)(10100109644CCBAPBP返回第19页/共31页)()()(40kkkBAPBPAP814. 0652. 01 . 0727. 02 . 0809. 04 . 0900. 0.021 . 0例例1.211.21

11、的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了了10001000批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约有有814814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有含有i( (i=0,1,2,3,4)=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率P( (Bi| |A) ) ( (i=0,1,2,3,4)=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应中最大的一个所对应i的越小越

12、好，这的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。就是下面讨论的另一个重要公式。 第20页/共31页3、贝叶斯公式贝叶斯公式(Bayes)(Bayes)（逆概率公（逆概率公式）式） 定理定理1.21.2 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个完备事件组，且P(Ak)0,(k=1,2,n),及P(B)0，则nkPPPPPniiikkk, 2 , 1)AB()A()AB()A()BA(1此式称为Bayes公式。 第21页/共31页例例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为为0的概率是多少？的概率是多少？123.

13、0814. 011 . 0)|()()|()()|(40000iiiBAPBPBAPBPABP类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。第22页/共31页例例1.221.22 有甲乙两个袋子，甲袋中有有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，个白球，1个红球，个红球，乙袋中有乙袋中有2个红球，个红球，1个白球。这个白球。这6个球手感上不可区别。个球手感上不可区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？一球，问此球是红球的概率？解 设A1从

14、甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球。12731433221)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP甲乙第23页/共31页思考 例1.22中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答答74127)()|()()()|(1111APABPBPBAPBAP第24页/共31页例例1.231.23设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，产量依设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，产量依次占全厂的次占全厂的45%45%，35%35%，20%20%。且各车间的次品率依次为。且各车间的次品率依次为4%4%，2%2%，5%5%。现从待

15、出厂的产品中抽取。现从待出厂的产品中抽取1 1个产品，问个产品，问(1)(1)该产品是该产品是次品的概率，次品的概率，(2)(2)该产品是由哪个车间生产的可能性最大。该产品是由哪个车间生产的可能性最大。解 设A表示产品为次品的事件，B1,B2,B3分别表示产品是甲、乙、丙车间生产的事件，则P(B1)=45%，P(B2)=35%， P(B3)=20%，且P(A|B1)=4%， P(A|B2)=2%，P(A|B3)=5% (1)P(A)= P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =45%4%+35%2%+20%5%=0.035(2)514. 0035. 004

16、. 045. 0)()()()()()()()()(332211111BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPABP200. 0035. 002. 035. 0)(2ABP286. 0035. 005. 020. 0)(3ABP第25页/共31页若一病人高烧到若一病人高烧到4040，医生要确定他患有何种疾，医生要确定他患有何种疾病 ， 则 必 须 考 虑 病 人 可 能 发 生 的 疾 病病 ， 则 必 须 考 虑 病 人 可 能 发 生 的 疾 病B1,B2,Bn。这里假定一个病人不会同时得几。这里假定一个病人不会同时得几种病，即种病，即B1,B2,Bn互不相容，医生可以凭以互不相容，医生可

17、以凭以往的经验估计出发病率往的经验估计出发病率P(Bi)，这通常称为，这通常称为先验先验概率概率。进一步要考虑的是一个人高烧到。进一步要考虑的是一个人高烧到4040时，时，得得Bi这种病的可能性，即这种病的可能性，即P(Bi|A)的大小，它可的大小，它可由由BayesBayes公式计算得到。这个概率表示在获得公式计算得到。这个概率表示在获得新的信息新的信息( (即知病人高烧即知病人高烧40)40)后，病人得后，病人得B1,B2,Bn这些疾病的可能性的大小，这通常这些疾病的可能性的大小，这通常称为称为后验概率后验概率。有了后验概率，就为医生的诊。有了后验概率，就为医生的诊断提供了重要依据。断提供

18、了重要依据。若我们把若我们把A视为观察的视为观察的“结果结果”，把，把B1,B2,Bn理解为理解为“原因原因”，则，则BayesBayes公式反映了公式反映了“因果因果”的概率规律，并作出了的概率规律，并作出了“由果朔因由果朔因”的推断。的推断。第26页/共31页 例1.24 根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检查有如下效果。若以的检查有如下效果。若以A表示事件表示事件“试验反应为阳性试验反应为阳性”，以以C表示事件表示事件“被检查者确实患有癌症被检查者确实患有癌症”，则有，则有95. 0)(,95. 0)(CAPCAP现对一大批人进行癌症普查，设被查的人确实患有癌症的概率是P(C)=0.005，试求当一个被检查者其检验结果为阳性时，那么他确实患癌症的条件概率是多少？即求P(C|A)。解005.0)(CP95. 0)(,95. 0)(CAPCAP)()()()()()()(CAPCPCAPCPC