高等数学：D1_11 连续函数的运算与性质

1、高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 第一章 第十一节连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质一、连续函数的运算一、连续函数的运算二、连续函数的性质二、连续函数的性质高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期一、连续函数的四则运算一、连续函数的四则运算定理定理1若函数若函数)(),(xgxf在点在点0 x处连续处连续, 则则),()(xgxf ),()(xgxf )()(xgxf)0)(0 xg在点在点0 x处也连续处也连续.例如例如,在在,sin xxcos),(内连续内连续, 故故,cossintanxx

2、x ,sincoscotxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定义域内连续在其定义域内连续.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定理定理2 （反函数的连续性）（反函数的连续性）.)(),()(),()(,)(1严严格格单单调调且且连连续续上上也也或或区区间间在在闭闭则则其其反反函函数数单单调调且且连连续续上上严严格格在在闭闭区区间间若若函函数数afbfbfafyfxbaxfy 例例 由于由于y=sin x 在区间在区间-/2, /2上单调增加且上单调增加且连续，连续，所以它的反函数所以它的反函数y=arcsin x 在区间在区间-1

3、,1上也是单调增加且连续的上也是单调增加且连续的二、反函数的连续性二、反函数的连续性高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期同样，同样，y=arccos x 在区间在区间-1，1上也是单调减少上也是单调减少且连续；且连续； y=arctan x 在区间在区间(- ，+ )内单调增加且连续；内单调增加且连续；y=arccot x 在区间在区间(- ，+ )内单调减少且连续内单调减少且连续总之，反三角函数总之，反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的在它们的定义域内都是连续的高等数学高等数学

4、 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性定理定理3 若若,)(lim0axxx 函数函数)(uf在点在点a处处连续连续,则有则有)()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 注注2. .1. 极限符号可以与连续函数符号互换极限符号可以与连续函数符号互换;)(xu 的理论依据的理论依据.定理定理3给出了变量代换给出了变量代换高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定理定理3设函数设函数)(xu 在点在点0 x处连续处连续, 且且,)(00ux 而函数而函数)(ufy 在点在点0u

5、u 处连续处连续,则复合函数则复合函数)(xf 在点在点0 x处也连续处也连续. .注意注意定理定理 3是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,xu1 在在), 0()0 ,( 内连续内连续,uysin 在在),(内连续内连续,xy1sin 在在), 0()0 ,( 内连续内连续.xyo1sinyx 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期四、四、 初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理4 基本初等函数在其定义域上是连续的基本初等函数在其定义域上是连续的基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运

6、算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在一切初等函数在定义区间定义区间内连续内连续定理定理5 初等函数在其定义区间上是连续的初等函数在其定义区间上是连续的21yx的连续区间为的连续区间为lnsinyx 的连续区间为的连续区间为cos1yx的定义域为的定义域为因此它无连续点因此它无连续点而而例如例如, 1,1 (2,(21) ) ,nnnZ2,xnnZ 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期注意注意 1. 初等函数仅在其初等函数仅在其定义区间定义区间内连续内连续, 在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;例如例如,)1(

7、32 xxy:0,1,D xx及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx函数在区间函数在区间1,+)上连续上连续注：注：所谓定义区间，就是包含在定义域内的区所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间间高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例1 求求xxsinlnlim2 解解lnsinyx 它的一个定义区间是它的一个定义区间是), 0( 0(0, )2x 而而2sinlnsinlnlim2 xx0 是初等函数是初等函数高等数学

8、高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 2求求.12lim2 xexx解解因为因为12)( xexfx是初等函数是初等函数 , 且且20 x是其定义区间内的点是其定义区间内的点 , 所以所以12)( xexfx在点在点20 x处连续处连续 , 于是于是12lim2 xexx1222 e.52e 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期幂指函数幂指函数因为因为,)()(ln)()(xuxvxvexu 故幂指函数可化为复合函数故幂指函数可化为复合函数.易见易见: :若若0lim( )xxu xa , 0 0lim (

9、 ),xxv xb 则则00( )( ) ln ( )lim( )limv xv xu xxxxxu xe 0lim ( )ln ( )xxv xu xe abeln .ba 即即0( )lim( )v xbxxu xa 注意公式成立的条件注意公式成立的条件形如形如)()()(xvxuxf 的函数称为的函数称为幂指函数幂指函数.)0)( xu高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期即即000lim( )( )lim ( )lim ( )xxv xv xbxxxxu xu xa例例3求求.)2(lim110 xxxex解解110lim(2)xxxxe 1

10、2 .21 若若0lim( )xxu xa , 0 0lim ( ),xxv xb 01lim10lim(2)xxxxxe 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例4. 求求解解:原式原式3sinln(12 )xx 3x说明说明: 若若0lim( )0,xxu x 则有则有 0( )lim 1( )v xxxu x 0lim ( ),xxv x 0lim ( ) ( )xxv x u x2x 3sin0lim(12 )xxx 0limxe0limxe 6e 0lim ( )ln 1( )xxv xu x ee 高等数学高等数学 化学化学141、14

11、2 20142015学年第一学期学年第一学期1.求求0sinlimlnxxx课堂练习课堂练习2.求求2arctan1limxxe3.求求121 cos0lim(1sin)xxx 答案：答案：0答案：答案：4e 答案：答案：2e高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定义定义对于在区间对于在区间I上有定义的函数上有定义的函数),(xf如果如果有有,0Ix 使得对于任一使得对于任一Ix 都有都有)()(0 xfxf )()(0 xfxf 则称则称)(0 xf是函数是函数)(xf在区间在区间I上的最大上的最大(小小)值值.例如例如,sin1xy ,2 , 0

12、 x, 2max y. 0min y,sgn xy 在在),(上上, 1max y. 1min y在在), 0(上上,. 1minmax yy五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定义最大值和最小值定义高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期注意注意: 若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续, 或在闭区间内有或在闭区间内有 间断点，结论不一定成立间断点，结论不一定成立定理定理6 在在闭区间闭区间上连续的函数在该区间上连续的函数在该区间 上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值即即: 设设xoyab)(xfy 12则则1

13、2, ,a b使使1()min( )axbff x 2()max( )axbff x 最大值和最小值定理最大值和最小值定理f(x) 在在 a,b 上连续上连续,高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例如例如,无最大值和最小值无最大值和最小值 xoy11xoy1122也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, ,(0,1)yx x1, 01( )1,13, 12xxf xxxx高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期bxoya)(xfy 12mM定理定理7 由定理由定理 6 可知有可知有 , max( )

14、,xa bMf x , min( )xa bmf x 证证: 设设上有界上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. ,xa b 故故( ),mf xM有有( ) , f xa b因因此此在在有界性定理有界性定理f(x) 在在 a,b 上连续上连续,高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定理定理8. 设函数设函数f(x) 在在 a,b 上连续且上连续且至少有一点至少有一点使使xyoab)(xfy ( ) ( )0f a f b( ,),a b ( )0f 零点定理零点定理高等数学高等数学 化学化学141、142 2

15、0142015学年第一学期学年第一学期定理定理9且且( ),f aA( ),f bB AB则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C ,至少有一点至少有一点证证: 作辅助函数作辅助函数( )( )xf xC 则则且且( )( )ab()()ACBC故由零点定理知故由零点定理知, 至少有一点至少有一点使使即即Abxoya)(xfy BC 使使设函数设函数f(x)在在a,b上连续上连续函数函数 在在a,b上连续上连续,介值定理介值定理( )x ( )0, ( )fC ( , ),a b ( )fC ( , ),a b 0高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学

16、期学年第一学期 obyxa Mmf(x)推论推论: 在闭区间上的在闭区间上的连续函数连续函数必取必取得介于最小值得介于最小值与最大值之间与最大值之间的任何值的任何值高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例5. 证明方程证明方程证证: 显然显然又又故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点使使即即在区间在区间(0,1)内至少有一个根内至少有一个根.在在0,1上连续上连续32410 xx32( )41f xxx(0)10,f(1)20f (0,1), ( )0,f 32410高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学

17、期学年第一学期设函数设函数 f (x) 在区间在区间a , b 上连续，且上连续，且f(a) b，例例6证证由零点定理由零点定理( )f 即即( , ),( )a bf 使使得得( )( )F xf xx令令( ) , F xa b在在( )( )F af aa而而0 ( )( )F bf bb0 ( , ),a b 使使( )( )0Ff证明证明则则上连续上连续高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期证证( )( )()F xf xf xa令令( )F x例例7. 证明至少存在一点证明至少存在一点使使设设f(x)在在0,2a上连续上连续,且且而而(0

18、)(0)( ),Fff a( )( )(2 )F af afa当当由零点定理由零点定理( )()ffa即即(0, ),a 使使( )0F P78 习题习题8 (0)( ),ff a (0)(2 ),ffa ( )()ffa (0)(2 ),ff a (0)( )0FF a 0, ,a 当当(0)( )ff a 时，时，(0)( )(2 )ff afa在在0,a上连续上连续高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期证证例例8. 证明至少存在一点证明至少存在一点使使设设f(x)在在0,2a上连续上连续,且且当当( )()ffa即即(0, ),a 使使( )0

19、F P78 习题习题8 (0)( ),ff a (0)(2 ),ffa ( )()ffa (0)(2 ),ffa 0, ,a 当当(0)( )ff a 时，时，(0)( )(2 )ff afa则则 x =0,a 使使( )()f xf xa综合得综合得0, ,a 使使( )()ffa高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期辅助函数的作法辅助函数的作法（1）将结论中的）将结论中的(或或x0或或c)改写成改写成 x（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x), 对对F(x)用定理用定理高等数学高等数学 化学化学141、142

20、20142015学年第一学期学年第一学期内容小结内容小结1. 连续函数的四则运算连续函数的四则运算有限个连续函数的和、差、积、商有限个连续函数的和、差、积、商 (分母不为零时分母不为零时)仍为连续函数仍为连续函数 .2. 反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性(1) 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.(2) 若若,)(lim0axxx 函数函数)(uf在点在点a处连续，处连续， 则有则有).(lim)()(lim00 xfafxfxxxx 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期1. 连续函

21、数的四则运算连续函数的四则运算2. 反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性3. 初等函数的连续性初等函数的连续性(3) 设设)(xu 在点在点0 x处连续，处连续，且且,)(00ux 而而)(ufy 在点在点0uu 处连续，处连续，则复合函数则复合函数)(xfy 在点在点0 x处也连续处也连续 .基本初等函数在各自的定义域上都连续基本初等函数在各自的定义域上都连续 .内容小结内容小结内容小结内容小结高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期1. 连续函数的四则运算连续函数的四则运算2. 反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性3. 初等

22、函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在各自的定义域上都连续基本初等函数在各自的定义域上都连续 .初等函数在其各自的定义域上都连续初等函数在其各自的定义域上都连续 . 这里定义这里定义区间指包含在其定义域内的区间区间指包含在其定义域内的区间 .4. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质内容小结内容小结内容小结内容小结高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期4. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质3. 初等函数的连续性初等函数的连续性有界性定理有界性定理最大最小值定理最大最小值定理 零点定理零点定理 介值定理介值定理注意应用条件注意应用条件: (1) 闭区间；闭区间； (2) 连续函数连续函数.5. 证明方程有根的解题思路证明方程有根的解题思路(1) 直接法直接法: 先利用最大最小值定理，先利用最大最小值定理，(2) 辅助函数法辅助函数法: 再利用介值定理再利用介值定理;先作辅助函数先作辅助函数),(xF再利用零点定理再利用零点定理.内容小结内容小结内容小结内容小结高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一