大学物理：机械波4-1

1、1第十三章 机械波振动在空间的传播过程。振动在空间的传播过程。机械波机械波机械振动在弹性介质中的传播机械振动在弹性介质中的传播（声波、绳波、水面波（声波、绳波、水面波）电磁波电磁波交变电磁场在空间的传播交变电磁场在空间的传播几率波几率波物质波，微观物理中的波动物质波，微观物理中的波动简谐振动在弹性介质中的传播简谐振动在弹性介质中的传播2第十三章 机械波3第十三章 机械波一、机械波的产生一、机械波的产生 条件条件波源：波源：作机械振动的物体作机械振动的物体 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。出去，就形成机械波。弹性介质：弹

2、性介质：承担传播振动的物质承担传播振动的物质 如声带如声带 如空气如空气A振源振源A振动通过振动通过弹性力传播开去弹性力传播开去真空真空4第十三章 机械波x横波横波纵波纵波u横波和纵波横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向介质质点的振动方向与波传播方向相互相互平行平行的波；的波；介质质点的介质质点的振动方向和波传播方向振动方向和波传播方向相互相互垂直垂直的波；的波；横波：横波：纵波：纵波： 0t4Tt 2Tt Tt43Tt Tt45横横 波波4Tt 2Tt Tt43Tt Tt45Tt230t 纵纵 波波1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181 2 3 4 5

3、6 7 8 91011121314151617185第十三章 机械波振动曲线振动曲线ty结论结论(1) 波动中各质点并不波动中各质点并不随波逐流随波逐流；yx波动曲线波动曲线(2) 各个质点的相位依次落后各个质点的相位依次落后, ,波动是相位的传播；波动是相位的传播；(3) 波动曲线与振动曲线不同。波动曲线与振动曲线不同。波形图：波形图： 某时刻某时刻 各点振动的位移各点振动的位移 y (广义：任一物理量广义：任一物理量)与相应的平与相应的平衡位置衡位置坐标坐标 x 的关系曲线的关系曲线思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？6第十三章 机械波二二. . 机

4、械波的几何描述机械波的几何描述在波传播过程中，任一时刻媒质中在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。振动相位相同的点联结成的面。沿波的传播方向作的沿波的传播方向作的有方向的线。有方向的线。球面波球面波柱面波柱面波波面波面波线波线波面波面波线波线波面波面波线波线波前波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。在某一时刻，波传播到的最前面的波面。xyz波面波面波线波线波前的形状决定了波的类型波前的形状决定了波的类型平面波平面波7第十三章 机械波波前进一个波长距离所需的时间。波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了周期表征了波的时间周期性。波的时间周期性。同一波线上相邻两个相位差为同

5、一波线上相邻两个相位差为 2 2 的质点的质点之间的之间的距离距离；即；即波源作一次完全振动，波前进的距离波源作一次完全振动，波前进的距离三、描述波动的参量三、描述波动的参量单位时间内，波前进距离中完整波的数目。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。振动状态在媒质中的传播速度。振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为波速与波长、周期和频率的关系为Tu:波长（）:T周期（ ） :频率 :u波 速波长反映了波的空间周期性。波长反映了波的空间周期性。波 幅 ：无能量吸收介质中，等于波源的振幅无能量吸收介质中，等于波源的振幅A A。8第十三章 机械波波面为平面的简谐波波面为平面的简谐

6、波简谐波简谐波 介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。各质点作同频率的谐振动。平面简谐波平面简谐波 本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。说明说明 简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。规律是研究更复杂波的基础。9第十三章 机械波一、平面谐波的波动方程（波函数）一、平面谐波的波动方程（波函数）1.什

7、么是波动方程什么是波动方程?波动方程波动方程描述介质中各质点的振动位移描述介质中各质点的振动位移 y 是如何随质是如何随质 点的位置坐标点的位置坐标 x 和时间和时间 t 的变化而变化的。的变化而变化的。( , )yf x t2.如何建立波动方程如何建立波动方程?已知条件：已知条件：a.介质无耗介质无耗b.波以波以 u 向向 x 正方向传播正方向传播c.波线上一点波线上一点O的振动方程已知为：的振动方程已知为：cos()oyAt求：波线上任一点求：波线上任一点P的振动方程？的振动方程？Pxoxu解：解： P点作谐振动点作谐振动A 时间上，时间上，P点振动落后于点振动落后于O点点t相位上，相位上

8、，P点振动落后于点振动落后于O点点2tT10第十三章 机械波PxoxuO的振动：的振动：cos()oyAtP的振动：的振动：cos()PyAttcos ()Att xtu ()oy tt ( , )cos ()xyf x tAtu波动方程波动方程t 是波从是波从O点传播到点传播到P点所经历的时间，点所经历的时间，x 0，P点落后于点落后于O点点x 0，P点超前于点超前于O点点2TuTcos2 ()txyAT2kcosyAtkx11第十三章 机械波 讨论讨论 1. 式中各量的物理意义：式中各量的物理意义：A波幅，波幅，（各点振幅波源振幅）（各点振幅波源振幅）T周期周期 （同振动周期），（同振动周

9、期），波长，波长，u波速，波速，x任一质点平衡位置坐标，任一质点平衡位置坐标，y任一质点在任一时刻的振动位移。任一质点在任一时刻的振动位移。2. 若平面谐波沿若平面谐波沿 x 轴负方向传播，则轴负方向传播，则P点比点比O点超前，点超前，cos ()PyAtt cos ()xAtu3. 若已知若已知A点振动方程点振动方程cos()AyAt则则P点波动方程：点波动方程：cos ()PxLyAtuALoxuP12第十三章 机械波 讨论讨论 4. 任意两点任意两点x1，x2振动相差：振动相差：21 () ()xxttuu21()xxu2x5. 建立波动方程的方法：建立波动方程的方法： 确定传播方向，以

10、及此波引起的确定传播方向，以及此波引起的A点的振动方程；点的振动方程；任意点，不一定是波源 建立坐标；建立坐标； 在在x轴上任取一点轴上任取一点P，根据波的传播方向，写出，根据波的传播方向，写出P点的点的振动超前或落后振动超前或落后A点的时间点的时间t； 在在A点振动方程中，加上点振动方程中，加上t （超前时）或减去（超前时）或减去t （落后（落后时），即得到此坐标系中的波动方程；时），即得到此坐标系中的波动方程； 纵波、横波的波动方程形式相同。纵波、横波的波动方程形式相同。13第十三章 机械波例例 有一平面谐波在空间传播，已知波的传播方向，和由此有一平面谐波在空间传播，已知波的传播方向，和由

11、此波引起的波引起的A点的振动方程为：点的振动方程为：3cos(4)2Ayt 求下列各情况下的波动方程。求下列各情况下的波动方程。AyxouLyxouAAyxouLLyxouAxxtu （落后）（落后）3cos4()2xytuxx Ltu （落后）（落后）3cos4()2xLytuxxLtu 3cos4()2xLytu （超前）（超前）xxLtu （超前）（超前）3cos4()2xLytu14第十三章 机械波二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义1. x固定固定( , )cos ()xyf x tAtu（xx0）0( )cos ()xyf tAtu02cosxAt 坐标坐标x0处的质点的振

12、动方程。处的质点的振动方程。2. t固定固定（tt0）0( )cos ()xyf xAtu t0时刻的波形曲线，即时刻的波形曲线，即t0时刻在波线上各质点离开时刻在波线上各质点离开平衡位置的真实拍照。平衡位置的真实拍照。3. 当当x，t均变化时，均变化时，yf（x, t）表示任一时刻在波的传播方）表示任一时刻在波的传播方向上，任一质点的位移随时间的变化规律。向上，任一质点的位移随时间的变化规律。 不同时刻对应着不同的波形曲线。随时间不同时刻对应着不同的波形曲线。随时间t变化，变化，波形也在变化，可观察到波形向前传播。波形也在变化，可观察到波形向前传播。摄像照像15第十三章 机械波 讨论讨论 1

13、. 已知已知t1时刻的波形曲线和波的传播方向，求时刻的波形曲线和波的传播方向，求t后后的波形曲线和的波形曲线和t1时各点的振动方向。时各点的振动方向。 (t/2)uxux2. 已知已知，T，则下列关系式成立：，则下列关系式成立：yxou1x2x两质点在同一时刻相位两质点在同一时刻相位 ：1 、22x同一质点在两时刻相位同一质点在两时刻相位 ：1 、22tT2Txt16第十三章 机械波 讨论讨论 3. 已知已知t0时刻的波形曲线和波的传播方向，如何时刻的波形曲线和波的传播方向，如何写波动方程？写波动方程？yuxo取某一点，写出该点振动方程取某一点，写出该点振动方程取取o点，点，A 0t 00y

14、002o点振动方程：点振动方程：cos()2oyAt波动方程：波动方程：cos ()2xyAtu17第十三章 机械波一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为轴正方向传播，已知其波函数为m )10. 050(cos04. 0 xty)210.0250(2cos04.0 xtym 04. 0As 04.0502Tm 2010. 02m/s 500Tua. a. 比较法比较法( (与标准形式比较）与标准形式比较）)(2cos),(0 xTtAtxy标准形式标准形式波函数为波函数为比较可得比较可得例例解解(1)波的波幅、波长、周期及波速；波的波幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。质点振动的最大速度。求求(1)18第十三章 机械波21(500.10 )(500.10 )2txtxs 04. 012ttT12(500.10)(500.10)2txtxm 2012xx2211(500.10)(500.10 )txtxm/s 5001212ttxxu0.04 50sin(500.10 )ytxt vm/s max28. 65004. 0vb.b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）分析法（由各量物理意义，分析相位关系）m .yA040max振幅振幅波长波长周期周期波速波速(2)u19第十三章 机械波三、波动微分方程三、波动微分方程无色散介质无色散