高等数学：5-5定积分的物理应用

1、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功液体的压力液体的压力引引 力力函数的平均值与均方根函数的平均值与均方根 第五节第五节 定积分的物理应用定积分的物理应用设物体在变力设物体在变力F(x)作用下沿作用下沿x轴从轴从ax 移动到移动到, )(babx 力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, , 求变力所求变力所做的功做的功. .在在,ba上任取小区间上任取小区间, d,xxx 在其上所作的在其上所作的功元素功元素xxFWd)(d 因此变力因此变力F(x)在区间在区间 ,ba上所作的功为上所作的功为 W定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用xxaxxFd)( ba一、变力沿直线所作的功

2、一、变力沿直线所作的功bdxx 例例ro q a b,bar rrd 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用取任一小区间取任一小区间,d,rrr 取取r为积分变量为积分变量,单位正电荷沿直线从距离点电荷单位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到 b处处 (a b) , ,求电场力所作的功求电场力所作的功. .解解 当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点时时, ,2rqkF 一个一个电场力为电场力为 1 r 功元素功元素,dd2rrkqW 所求功所求功barkq 1.11 bakq ba Wrrkqd2说明说明处的电位为处的电位为 rrqkd2a 电场在电场在1 库仑定律库仑定律

3、在一个带在一个带+q电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下, ,kqa ra r二、液体的压力二、液体的压力 在很多实际问题要求计算液体作用于一在很多实际问题要求计算液体作用于一物体表面上的侧压力物体表面上的侧压力.如如,水坝或闸门的压力水坝或闸门的压力.当压强为常数时当压强为常数时,压力压力=压强压强面积面积,当物当物体表面位于液体中时体表面位于液体中时,不同深度所受的压强是不同深度所受的压强是故往往需要用定积分计算液体对表面故往往需要用定积分计算液体对表面因而采用因而采用“元素法元素法”思想思想.的侧压力的侧压力.定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用不同的不同的,解解 建立坐

4、标系建立坐标系.oxyC(0,3)D(10,1)CD的方程的方程351 xy1d23 d5Pgxxx 压力元素压力元素123 d5Pgxxx 例例)(1633 千牛千牛 010定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用设某水渠的闸门与水面垂直设某水渠的闸门与水面垂直,水渠的横截面水渠的横截面是等腰梯形是等腰梯形.当水灌满时当水灌满时,求闸门所受的水压力求闸门所受的水压力.xxxd 2,6,10,下下底底为为 米米 上上底底为为 米米 高高为为米米质量分别为质量分别为mM ,的质点的质点, , r M mr二者间的引力二者间的引力: :大小大小2rmMkF 方向方向沿两质点的连线沿两质点的连线

5、三、引力三、引力定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用相距相距则要用定积分计算则要用定积分计算.采用采用“元素法元素法”思思想想.如果要计算如果要计算一根细棒对一个质点的引力一根细棒对一个质点的引力,那么那么,由于细棒上各点与该点的距离是变化的由于细棒上各点与该点的距离是变化的,且各点对该点的引力方向也是变化的且各点对该点的引力方向也是变化的,故不能故不能用上述公式计算用上述公式计算. xyoMa)(m2l2l 解解 建立坐标系建立坐标系. 2,2lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 取取 y为积分变量为积分变量,取任一小区间取任一

6、小区间d,yyy 有一长度为有一长度为, l线密度为线密度为 的均匀细棒的均匀细棒, 在其在其中垂线上距棒中垂线上距棒a 单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质点M,计算该棒对质点计算该棒对质点M的引力的引力.例例小段与质点的距离为小段与质点的距离为22yar 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用 细杆对质点细杆对质点引力元素引力元素 22ddyaymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(d2322yayamk 23)(d22yayamkFx ,)4(22122laalkm 引力在铅直方向分力为引力在铅直方向分力为. 0 yF xyoMa2l2l rydyy xFd c

7、osd FFdFyaad22 taytan 设设)cos( 22cosyaa 对称性对称性2l2l 2rMmkF )(m定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用实例：实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌值来描述这个班的成绩的概貌.nyyyyn 21算术平均值公式算术平均值公式只适用于有限个数值只适用于有限个数值问题：问题：求气温在一昼夜间的平均温度求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：入手点：连续函数连续函数 在区间在区间 上的平均值上的平均值.)(xf,ba讨论思想：讨论思想：分割、求和、取极限分割、求和、取极限.四、函数的平

8、均值与均方根四、函数的平均值与均方根（1）分割分割：把把区区间间,ba分分成成n等等分分,1210bxxxxxann 每个小区间的长度每个小区间的长度;nabx 设各分点处的函数值为设各分点处的函数值为nyyyy,210函数函数 在区间在区间 上的平均值近似为上的平均值近似为)(xf,ba;1210nyyyyn 每个小区间的长度趋于零每个小区间的长度趋于零.（2）求和求和：（3）取极限取极限：,lim1210nyyyyynn 函数函数 在区间在区间 上的上的平均值平均值为为)(xf,banababyyyyynn 1210limx niixxyab110lim1,)(lim1110 niixxx

9、fab badxxfaby)(1几何平均值公式几何平均值公式区间长度区间长度yab)( )()( fab 例例 1 1 计计算算纯纯电电阻阻电电路路中中正正弦弦交交流流电电tIim sin 在在一一个个周周期期上上的的功功率率的的平平均均值值（简简称称平平均均功功率率）. 解解设电阻为，设电阻为，R则电路中的电压为则电路中的电压为iRu ,sintRIm 功率功率uip ,sin22tRIm 一个周期区间一个周期区间,2, 0 平均功率平均功率tdtRIpm 2202sin12 tdtRIpm 2202sin12 )(sin22022ttdRIm )()2cos1(4202tdtRIm 202

10、22sin4 ttRIm 242 RIm22RIm .2mmUI )(RIUmm 结论：结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一 通常交流电器上标明的功率就是平均通常交流电器上标明的功率就是平均功率交流电器上标明的电流值都是一种功率交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为特定的平均值，习惯上称为有效值有效值 周期性非恒定电流周期性非恒定电流i（如正弦交流电）（如正弦交流电）的有效值规定如下：当的有效值规定如下：当)(ti在它的一个周在它的一个周期期T内在负载电阻内在负载电阻R上消耗的平均功率，上消耗的平均功率，等于取固定值等于取固定值I的恒定电流在的恒定电流在R上消耗的功上消耗的功率时，称这个值率时，称这个值I为为)(ti的有效值的有效值.均方根均方根固固定定值值为为I的的恒恒定定电电流流在在R上上消消耗耗的的功功率率为为RI2,电流电流)(ti在在R上消耗的功率为上消耗的功率为Rti)(2,它在它在, 0T上的平均功率为上的平均功率为,)(102 TRdttiT,)(1022 TRdttiTRI按定义有按定义有 TdttiTI022)(1.)(102 TdttiTI有效值计算公式的推导有效值计算公式的推导即即正弦交流电正弦交流电tItim