高等数学：3-3 洛必达法则（1-35）

1、3.3 洛必达法则洛必达法则问题问题:本节讨论以下七种不定型的极限计算问题本节讨论以下七种不定型的极限计算问题 : 001)(07 )( 03)( )(2 )(4 15)( 006)(注意注意:这七种不定型中以这七种不定型中以 , 为基本不定型为基本不定型 , 00 其余五种都可化为这两种基本不定型其余五种都可化为这两种基本不定型 10 型型 00我们仅对我们仅对 的过程进行定理的叙述的过程进行定理的叙述ax定理定理 ( 型的洛必达法则型的洛必达法则 ) 00设设(1) 函数函数 f (x) , g (x) 在在 ( a , a + ) , ( 0 ) 上有定义上有定义 ,且且; xg , x

2、faxax00)(lim)(lim(2)( )( xg , xf 在在 ( a , a + ) 上存在上存在 , 且且 ; xg0)( (3)）或或 Axgx fax（)()(lim）（或或 Axgxfxgxfaxax)( )( lim)()(lim则则证明证明构造辅助函数构造辅助函数, ax , aax , xfxF0),()()( ax , aax , xgxG0),()()( 则对任意则对任意 x ( a , a+ ) , F(x) , G(x) 在在 a , x 上连续上连续,( a , x ) 上可导上可导 , , xgxG 0)()(且且利用柯西中利用柯西中值定理值定理 , 存在存

3、在 ( a , a + x ) 使使)()()()(xGxFxgxf)()()()(aGxGaFxF)( )( gf)( )( GF两边取极限有两边取极限有 , a ax 注意到注意到）（或或 Agfxgxfaxax)( )( lim)()(lim 说明说明: (1) 如果将定理中的如果将定理中的 ( a , a+ ) 换成换成, Rx aN0或或),( 则定理的结论对则定理的结论对, ax x等情形的等情形的 不定型也成立不定型也成立 , 00）（或或 Axgxfxgxfxx)( )( lim)()(lim(2) 定理中的条件定理中的条件 (3) 是重要的是重要的 , 如果如果)( )( l

4、imxgxfax不存在不存在 (不为不为 ) , 则则 洛必达法则对此问题洛必达法则对此问题无效无效 , 不能得出不能得出 不存在不存在)()(limxgxfax）（或或 Axgxfxgxfaxax)( )( lim)()(lim即有即有例例计算下列极限计算下列极限x xx1210lim)(xarcx xcot)ln(lim)(112解解 (1) 这是一个这是一个 型的不定型型的不定型 , 利用洛必达法则利用洛必达法则, 有有001221200lnlimlimxxxxx (2) 这是一个这是一个 型的不定型型的不定型 , 利用洛必达法则利用洛必达法则, 有有00 xarcx xcot)ln(l

5、im111122xxxxlim22111111xxxx)(lim2ln 例例计算计算3044xxx xsinsinlim解解这是一个这是一个 型的不定型型的不定型 , 利用洛必达法则利用洛必达法则, 有有00原式原式洛洛203444xxx xcoscoslim洛洛xxx x644160sinsinlim洛洛10644640 xx xcoscoslim例例计算计算xxxx xtanarctansinarcsinlim0解解 原式原式洛洛xxxx x222011111coscoslim2220111xxxx xcoscoslim洛洛xxxxxxxx x2211220sincossincoslim整

6、理整理xxxxxxx xsincoscos)(sinlim2012121112120 xxxxxxx xcossincossin)(lim分子、分母分子、分母 同除同除 x说明：说明：利用洛必达法则要与其他的极限计算方法利用洛必达法则要与其他的极限计算方法结合起来使用结合起来使用 例例计算计算)cosarctan(sin)cosln(limsin3230131xxxe xx解解这是一个这是一个 型的不定型型的不定型 , 但直接利用洛必达但直接利用洛必达00法则计算比较复杂法则计算比较复杂原式原式恒等变形恒等变形32301311)cosarctan(coslnlimsinxex xx等价变换等价

7、变换3230131xex xxcoscoslimsin变形整理变形整理33301131xxx xcoscoscoslim3302311131x xcoslim例例计算计算)sinln(limcosxxee xxxx110解解这是一个这是一个 型的不定型型的不定型 , 但直接利用洛必达但直接利用洛必达00法则计算比较繁琐法则计算比较繁琐 , 先利用等价代换简化问题先利用等价代换简化问题 分子分子:)(cos1111xxxcosx-xeeee)cos(xex11221xe分母分母:21xxxxxsin)sinln(原极限原极限22021xxe x lime21 20 不定型不定型 我们不加证明的给

8、出下面的定理我们不加证明的给出下面的定理定理定理 ( 型的洛必达法则型的洛必达法则 ) 设设(2)( )( xg , xf在在 ( a , a + ) 上存在上存在 , 且且 ; xg0)( (3)）（或或 Axgxfax)( )( lim）（或或 Axgxfxgxfaxax)( )( lim)()(lim(1) 函数函数 f (x) , g (x) 在在 ( a , a + ) , ( 0 ) 上有定义上有定义 ,且且 , xfax)(lim; xg ax)(lim则有则有说明说明:(1) 如果将定理中的如果将定理中的 ( a , a+ ) 换成换成, Rx aN0或或),( 则定理的结论对

9、则定理的结论对, ax x等趋限过程的等趋限过程的 不定型也成立不定型也成立(2) 定理中的条件定理中的条件 (3) 是重要的是重要的 , 如果如果)( )( limxgxfax不存在不存在 (不为不为 ) , 则则 洛必达法则对此问题无效洛必达法则对此问题无效 , 不能得出不能得出 不存在不存在(无明确结论无明确结论)()(limxgxfax例例计算计算xx xlncotlnlim0解解这是一个这是一个 型的不定型型的不定型 , 利用洛必达法则利用洛必达法则 , 有有xxxxx xx1200)csc(tanlimlncotlnlim10 xxx xcossinlim例例计算计算)(lim0

10、xe xx解解这是一个这是一个 型的不定型型的不定型 .设设 1n n 利用洛必达法则利用洛必达法则 , 有有 xe xxlim1 xe xxlim21 xe xx)(lim)()()(lim011n xne nxx )()()(lim0111n xne nxx nxe nxx)()(lim 11说明说明: 上例说明上例说明 , 无论正数无论正数有多大有多大 , 当当 x时时 , ex 的增长总比幂函数的增长总比幂函数 x的的增长快增长快例例计算计算)(lnlim0 xx x解解 这是一个这是一个 型的不定型型的不定型 ,利用洛必达法则利用洛必达法则 , 有有 xx xlnlim011 xxl

11、im11 xxxlim说明说明: (1) 上例说明上例说明: lnx 的的增长总比幂函数增长总比幂函数 x慢慢 (2) 进一步可以证明进一步可以证明: 对任意对任意 0 , k 0 , 有有 0 xx kxlnlim30 其他的不定型其他的不定型 不不定定型型01)(如果如果, x f0)(lim, x g)(lim则则)()(limxgxf是是 . 0 不不定定型型由于由于, xgxfxgxf)()()()(1, xfxgxgxf)()()()(1所以所以 , 不不定定型型 0 )()( limxgxf的极限的极限 可化为可化为00的极限的极限:, xgxfxgxf)()(lim)()(li

12、m1或者或者 型的极限型的极限 :, xfxgxgxf)()(lim)()(lim1的计算问题的计算问题例例计算计算)(lnlim00n xx nx解解xx nxlnlim0nxxx 10lnlim) (型型洛洛101nxxnx lim00nx nxlim注意注意:若将极限变形成若将极限变形成xx nxlnlim0 xx nxlnlim10) 00 (型型洛洛xxnx nx11210)(lnlim)ln(limnxxxn 20可以看出可以看出: 这样处理将问题复杂化这样处理将问题复杂化 在处理在处理 时时 , 需考虑化为需考虑化为 0 不不定定型型型型 00 型型还是还是 的问题的问题 说明说

13、明:例例求极限求极限xx x2121 tan)(lim解解)( 型型0原极限原极限xxx x22121 cossin)(lim) (型型00 xx x2121 coslim洛洛xxx2221 sinlim 4241xsinxxlim (2) 不不定定型型如果如果, xf )(lim, xg )(lim则则)()(lim(xgxf 不不定定型型称为称为)()()()(xgxfxgxf1111 上式说明上式说明: 极限可化为极限可化为 的极限问题来处理的极限问题来处理 型型 00 不不定定型型 对于对于 , 我们总可通过我们总可通过 (1) 式将此式将此(1)()()()(xgxfxfxg 111

14、例例计算计算)csc(cotlimxx x0解解xxx xsinsincoslim10这是这是 . 不不定定型型)csc(cotlimxx x0 xx xsincoslim10) 00 (型型洛洛00 xxxcossinlim例例计算计算)ln(limxxx x111解解这是这是 . 不不定定型型原极限原极限xxxxx xln)(lnlim111)( 型型00洛洛xxxxx1111lnlnlim整理整理11xxxxxxlnlnlim)( 型型00洛洛211111xxxlnlnlim说明说明:不不定定型型 通过通过 (1) 化为化为 是理论上的是理论上的 , 型型00实际应用时实际应用时 , 应

15、尽量采用简便的方法应尽量采用简便的方法例例计算计算)cossin(lim22201xxx x解解这是这是 . 不不定定型型原极限原极限xxxxx x222220sincossinlim)( 型型004220241xxx xsinlim304222xxxx xcossinlim洛洛302441xxx xsinlim洛洛20641xxxcoslim342206421xxx)(lim例例计算计算)ln(limxxx x112解解这是这是 . 不不定定型型原极限原极限)ln(limxxx x1112)( 型型021111xxx x)ln(lim322211111xxxx xlim洛洛21111322x

16、xxx xlim212122xxx xlim , , 不不定定型型10300)(a) 如果如果, x f0)(lim, x g0)(lim则极限则极限)()(limxgxf . 0 0不不定定型型称为称为)(ln)()(lim)(limxfxgxgexf所以所以 , 极限可化为极限可化为不不定定型型 0 的极限计算的极限计算 是是而而 xfxg )(ln)(lim. 0 不不定定型型(b) 如果如果, xf )(lim, xg 0)(lim则极限则极限)()(limxgxf . 0不不定定型型称为称为, exfxg)(ln)(lim(c) 如果如果, x f1)(lim, xg )(lim则极

17、限则极限)()(limxgxf . 1 不不定定型型称为称为, eexfxfxgxfxgxg)(ln)(lim)(ln)()(lim)(lim是是而而 xfxg )(ln)(lim. 0 不不定定型型, eexfxfxgxfxgxg)(ln)(lim)(ln)()(lim)(lim不不定定型型 0 的极限计算的极限计算 所以所以 , 可化为可化为是是而而 xfxg )(ln)(lim. 0 不不定定型型所以所以 , 可化为可化为不不定定型型 0 的极限计算的极限计算 例例计算计算xxxx 13 )(lim解解这是这是 . 0不不定定型型原极限原极限 e xxxx)ln(lim31xx xx)l

18、n(lim3洛洛133131)ln(limxxxx xxxx 3331lnlimxxxx31313lnlim 3ln 3331ln)(limex xxx )ln(limxxxxe31例例计算计算xxx _22 )(coslim解解这是这是 . 0 0不不定定型型原极限原极限 e xxx_cosln)(lim22 e xxxcosln)(lim22 由于由于xx_xcosln)(lim22 xx_x212 coslnlim2221)(cossinlimxxx_x 洛洛xxx_xcossin)(lim222 xx_xcos)(lim222 ) 00 (型型洛洛0222xx_xsin)(lim 所以

19、所以 , 有有 1022ex xx_ )(coslimxxx_xcossin)(lim222 例例计算计算xxx 22sec)(sinlim解解这是这是 . 1 不不定定型型原极限原极限 e xxxsinlnseclim22 e xxxsinlnseclim22 xxxsinlnseclim22xxx22cossinlnlim) 00 (型型洛洛xxxxxsincossincoslim222112122xxsinlim所以所以 , 有有 2122 ex xxsec)(sinlim例例已知已知 f (x) 在在 (- , + ) 内可导内可导 , 且且, exf x)( lim, xfxfcxcx xxx)()(limlim1求求 c 的值的值解解 因为因为 xfxfx)()(lim1( 利用拉格朗日中值定理利用拉格朗日中值定理 ) ef x)( lim (介于介于 x-1与与 x 之间之间 )知知 c 0 又因又因ccxcxccxxxxecxccxcx 22221limlim于是有于是有 ee2c c 21例例求求 A 使函数使函数0111x , exxx)(0 x , A)(xf在在 x = 0 处连续处连续解解要