西安交大概率论试题三套要点

1、共4页第1页西安交通大学考试题(A)一成绩课程概率论与数理统计学 院 考试日期 2014年6月22日专业班号姓 名 学号 期末 口一、解答题(每小题5分，共35分)1111 .设事件A, B相互独立，A,C互斥，且P(A)=-，P(B)=-，P(C)=-，求324P(AB|C)。2 .同时抛掷3枚均匀硬币，试求恰好有两枚正面向上的概率。3 .设随机变量X的概率密度为f(x)=ax2(-1 <x<1) ,(1)确定a的值;(2)求Y =X2的概率密度。4 .设随机变量 X N(N产2),已知 PX M70 = 0.5 , PX =60 = 0.25 ,求 N与。的值。(9(0.68)

2、=0.75 )5 .设XU(0,2),Y的概率密度为fY(y)=1 /冗(1 + y2)(-g<y<+/),且相互独 立，求Z = X +Y的概率密度。6 .设 X Exp(0.2) , Y B(100,0.1), Pxy =-0.5 ,求 D(2X 3Y +5).7 .设(X1 ,X2 ,X3,X 4,X5)是来自总体XN(0,1)的简单随机样本,问1212Y =(X 1 +X 2 +X 3 )2 + -(X 4 +X 5)2服从什么分布？32二(8分)袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽) 在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是正

3、品的概 率是多少？三(12分)设(X, Y)的联合概率密度为f (x,y) = *0<x<y<1,曾，其他(1)求边缘密度fx(x)和£丫(y) ;(2)判断X与Y是否独立？(3)求PX+Y之1.四（10分）设a为区间（0,1）上的一个定点，随机变量X服从区间（0,1）上的均匀分 布，以Y表示点X到a的距离，问a何值时X与Y不相关。五（10分）某厂每月生产的10000台液晶投影机，但它的液晶片生产车间生产液 晶片的合格品率为80% ,为了以99.7%可能性保证出厂的投影机都能装上合格的液晶片,试问该液晶片车间每月至少该生产多少液晶片？（中（2.75） = 0.997

4、 ）.六（10分）设总体X的概率密度为f（x；e）=48x国（0<x<1）,日>0是未知参数，设（X1,X2，,Xn）是来自于X的一组样本，试求：（1）参数日的矩法估计量；（2）参数8的极大似然估计量共 4 页第3 页七、(12分)为比较甲、乙两种型号的计算器充电后所能使用的时间(单位：h),现从两种型号中分别抽取11及12只，测得样本观测值分别为1112型号甲：x = 5.5,£ (为x)2 =2.74,型号乙：y=4.37,£ (% y)2 =2.41i 4i 1假设两组样本相互独立，所能使用的时间服从正态分布N(巴,。12)和N(N2,o22),(1

5、)两种计算器充电后所能使用的时间的方差是否有明显差异(: 二0.01) ?(2)两种计算器充电后的平均使用时间是否相等(口=0.01) ?(3)求巴2的置信度为95%的置信区间上界。(F0.005(10.11) =5.42 , F0.005(11.10) =4.78, t0.005(21) = 2.8314, 7 2.95(10) = 3.940)八(3分)设8是参数日的无偏估计，且有 D冏0 ,证明：铲不是8 2的无偏估计。西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)课程名称：概率论与数理统计课时:50 考试时间：2014年6月22日(5分)P(AB|C) = P(ABC)/P(C

6、) =(P(AB) -P(ABC)/(1 - P(C) .=(1 / 3 1 / 2)/( 3 / 4) = 2 / 9,2.设Ai表示事件第i枚硬币正面朝上，则所求概率为P恰好有两枚硬币正面朝 上 = P(AiA2A3)+ P(AiA2A3)+P(AiA2A3)= 3/8. (5 分)另解：设X表示正面朝上的次数，则 X B(3,0.5),所求概率为(5分)PX =2 =C；(1/2)3 = 3/8.0, y<01 y3. 1 = fax2dx = a 2/3, a =3/2. FY (y) = PX 2 < y = f _3/2x2dx,0< y<1, , y1,

7、y -1'fY ( y) = FY ( y)=(3/ 2)5, 0 <y <1, 0,其他(5分)(5分)*bofz(Z)X (x)fY(z - x)dx5.Y f2 012-IX)dX)-Z01(112 dxx) )(5 分)(arctan z - arctan( z - 2)2二'6 由已知条件可得，E(X) =5,D(X)=25, E(Y) = 10,D(Y ) = 9,故D(2X -3Y 5) =4D(X ) -12Cov(X,Y) 9D(Y)上(5分)二4 25 -12 (-0.5) 5 3 9 9 =271.117.因为，Y 飞(2r 3)”,忑(X 4

8、+ - 170 -4.由 0.5 =PX W70 = P<，得卜=70,cjCJ由 PX E60 = P- =6()=1 一()=0.25 ,得一=0.68,仃=14.71 0 5 )N( 0，1),1o 1o o.所以，Y=_(X 1+X2 +X3)2 + _(X4 +X5)2 工2(2)。(5 分)32二 设A表示事件任取的一枚硬币为正品，B表示将硬币掷r此每次都出现国徽，则由全概率公式，得 m 1nP(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B| A) =r +;(4 分)m n 2 n m由Bayes公式，所求概率为mP(A|B) = P(AB)/P(B) = P(A)P

9、(B| A)/P(B) =r.(4 分)m n 2J1 、,-22二 小 事, 产.6(1 - y)dy,0<x<a13E(XY ) = ° x | x -a | dx = ° x(a - x)dx，i x( x -a)dx = a /3-a/2 1/ 3.C0v(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y)=a3/3a2/2 + 1/12.(6 分)故由Cov(X,Y) =0可得方程，4a3-6a2+1=0,此方程等价于 (2a -1)(2a -2a+1) = 0,从中解得在(0,1)内的实根为a =0.5,即a=0.5时，X与Y不相关。(2分)五设每月至少应生

10、产n片液晶片，其中的合格品数为X ,则X B(n,0.80)。下面求n, 使下述概率不等式成立PX 之 10000之0.997 或 PX <10000 <0.003.由中心极限定理，3(1-x) ,0<x<l,一 (1) fX(x)=/(x,y)dy =(欢=二甘30,其它，L0,其匕，y yr事 产事，>6(1 y)dx,0c y<1,6y(1 - y), 0 < y < 1, 公八'fY(y) = t/(x,y)dx= < 0= c 甘针(6 分)'(0,其它，&,其匕，(2)因为 fX(x)，fY(y)#f(x

11、,y),故，X 与Y 不独立。(3 分)1 /21-x(3) PX+Y 之 1=1 口 f (x,y)dxdy = 1 0 dxfx 6(1 y)dy = 1/4.(3 分)x y ：1四 由题设条件知 X U(0,1),Y =| X -a|,E(X)=1/2.(2 分)1a12（3分）又因为 E(Y)=j|xa|dx=(a x)dx + 1(x -a)dx = a a + 1/2.(2分)(5分)L”Xi) 2, 1 Xi ,X2 ,Xn 0,当 0 xi 1,i= 1,2，n时，对数似然函数为nlnL =n/21nl (二 1尸 in Xi i 4d(lnL)JL，、nx2 口2 1yxi

12、 ,dun一得日的极大似然估计量为 醉=(1£ inXi).n i 1(5分)七(1)检验假设 Ho :2,=<12H/52#。；S2Ho 为真时，F =F(10,11),S2由观测值，f =s2/s2 =(2.74/10)/(2.41/11)=1.251,而 F0.005 d0.11) = 5.42,F0.995(10.11) =0.2092,且0.2092 <1.251 <5.42 ,故接受 Ho。(4 分)(2)检验假设Ho：L=J选取统计量T =X -YSw J/ni 1/h，其中sW =(ni -1)S2 (n2-1)S2niX -0.8n10000 -0

13、.8n10000 -0.8n,八、PX <10000 = P<G() < 0.003. (5 分)0.8 0.2 n 0.16n0.16n10000 -0.8n查表可得,一 < -2.75 ,0.16n由此解得n>126552,即每月至少应生产12655片液晶片。六 (1) E(X)= Gf(x)dx= fx展 乂*汩,乂=用/(第+1). 0令指/(g?+1)='X,得8的矩估计量为4 = (-X)21 X(2)设Xi,X2，Xn为样本观察值，则似然函数为当原假设H0为真时，T = , t（21）12_（10）由观测值算得置信上界为2.74 / 3.94

14、 =0.6954（4分）Sw 1/10 1/11由a =0.01,查t分布表，得.005(21) = 2.8314 ,则拒绝域为| t卜2.8314,又|t|=| -5.5-4.37|=23.7985=2.8314,故拒绝原假设 H0。(4 分)J2.74 2.41)/211/10 1/112(3)仃；的置信度为95%的置信上界为二2一1 ,工2.95(10) = 3.940 ,八 因为*是参数日的无偏估计，则E （的=日，又已知D（的>0 ,从而E（62） = D（i?）+（E（a）2 =D（g +62 >e2,故不是82的无偏估计。（3分）西安交通大学考试题课 程概率论与数理统

15、计I学院专业班号 考试日期 2014年1月13日姓名 学号 期末一、解答题(每小题6分，共36分)1 .对于事件 A,B,已知 P(A) =0.5, P(B) =0.4 , P(AuB)=0.7,求 P(AB).2 .一个学生宿舍有4名同学，(1)求4人生日都不在星期日的概率；(2)求4 人生日不都在星期日的概率x)22 /2一、A+ Be« /2,x>0,3.设随机变量X的分布函数为F(x)= <0, x 三 0,(1)确定A, B的值；(2)求P2 <X <4 。 (3)求X的概率密度。4 设随机变量 X 和 Y相互独立，X N(1,7), Y N(3,1

16、)，记 Z =3X +Y, W=eX 求随机变量Z和W的概率密度。5 .设随机变量X和Y, XB(10,0.2), Y P(5),如果D(X aY+3)=E(X aY+3)2),求 a 的值；又 PXY = 0.5，求 D(X aY+3)。1 96 .设总体XN(巴。2), X1,X2，X10是来自总体X的样本，X =-X Xi ,9 yS2=-£ (Xi -X)2 ,求统计量 X10 _X J_9_ 的分布.81S .10二(10分)已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.2%是色盲患者，若从 男女人数之比是6:4的人群中随机地挑选一人，问(1)此人恰好是色盲患者 的概率；(2),

17、如果此人恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？三(16分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y) = 3ay，J),0'yd 1.确定 a 的值；2.求边缘密度 fX(x)和 fY(y); P，其它，3.判断X与Y是否独立？ 4.求PX+Y<1.四（6分）某公司出售的手机的寿命X （以年计）服从参数为1/5的指数分布, 该公司规定；出售的手机若在一年之内损坏可以予以调换，若出售一部手 机获利200元，调换一部手机公司需要花费 300元，试求公司出售一部 手机净获利的数学期望。五（10分）某校有20000名学生，每人以60%的概率去教室自习，问学校至 少应设多少

18、个座位，才能以 95%概率保证去上自习的同学都有座位坐？（中（1.65） =0.95）六（10分）设（XX2，Xn）是来自总体X的样本，已知总体X的概率密度为 f （X；九）=«（1）求参数九的矩估计量;九2xe'x,x >0,在 其中九A0为未知参数, 。其它，（2）求参数人极大似然估计量七（12分）某大学从来自A、B两市的新生中分别随机抽取8名与9名新生，测其身高（单位:cm）后算得 X=1759y = 172.0, s2 =11.3,s| =9.1 ,假设两市新生的身高分别服从正态分布XN（%。；），YN（L尸2）,其中的参数均未知。（1） A市新生的平均身高是否

19、为175cm（口 =0.05）?（2）两市新生的身高的方差是否相等（a =0.05） ?（3）求均-%的置信度为95%的置信区间。（Mg=2.3646,t0.025（15） =2.13iaF0.025（7,8） =4.9,F0.025（87） =4.53）西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计课时:46 考试时间：2014年1月13日、1. P(AB) =P(A) P(B) -P(A B) =0.5 0.4 -0.7 =0.2,P(AB) = P(A-AB) =0.5 -0.2 =0.3 (6 分)2. 设A =四人生日都不在星期日),A2 =四人生日不都在

20、星期日)A3 =四人生日都在星期日)，基本事件数为74 ,有利于事件Ai的结果数为64,有利于事件A3的结果数为1,于是，P(A) = 64 / 74 , P(A2)=1-1/74。(6 分)3 由 P( y )=1,F(0+0)=F(0),得 A=1,A + B=0,即 A = 1,B = 1 .(3分)P2 <X <4 =F(4) -F(2) =e e" ; f(x)=，X32/2八xe , x> 0,t(6 分)l0,x"()4由已知，Z N (0,64 ),从而Z概率密度为fZ(z)= 1 /(8总")e"w的概率密度为fW(w

21、) = fX(lnw) 1/w = 1/亚/7e4nw41) /14(w>0), (6 分)5 由已知，EXaEY+3=0，即 25a+3=0,故 a=1;当 Pxy =0.5时,D(X -Y +3) =D(X)-2COV(X,Y) + D(Y)=1.6-2 0.5 71.6 5 +5 = 6.6-2石(6 分)6 因为 X10 X N(0,10/91) , (X10 -X)V9/10a2 N(0,1) , 8/a2S272(8),又Xio,X,S2相互独立，所以，(X10 -X)/SV9/10t(8) o (6 分)设A =挑选的某人是色盲患者)，B=挑选的某人是男性,(1)由全概率公

22、式，得P(A) =P(B)P(A|B) +P(B)P(A| B) =6/10 黑 0.05 + 4/10父 0.002 = 0.0308 ； (5 分)(2)由 Bayes公式，P(B | A) = P(AB)/P(A) =6/10父 0.05/0.0308 =0.974。(5 分 )k1 x1二 (1) 1 = dx( ay(1-x)dy = a/2 1 (x -x)dx = a/24, a = 24 ; (4 分)-Hefx(x)=.f(x, y)dy 二r x124y(1x)dy,0<x<1,0,其它，23_ J2(x2-x3),0<x<1, 二0,其它，*hof

23、(x,y)dx = *24y(1 -x)dx,0 :二 y ：二 1, y0,其它,2 ,12y(1 - y) ,0 :二 y ：二 1, 0,其它，'(3) fx(x) "y) * f (x, y),故，x 与Y不独立。(3 分)1/21 _y(4) PX +Y <1 = f f f (x, y)dxdy = d dy J 24y(1 _ x)dx =1/2.(3 分)x y 1四 设公司出售一部手机净获利为随机变量丫，则 Y = «200,X >1,-100,X <1,（2分）于是Y的数学期望为EY =200PX 1 -100PX -1 _0.

24、2一二 300e-100.七二-0 2x1 _ _ _0 2x=200 1 0.2e - dx-100j00.2e . dx（8分）五 设学校应设n个座位，去上自习的学生数为X ,则X B（20000,0.6） , （2分），由中心极限定理,X -12000 n -12000, n -12000、PX<n=P-, < 1 ( ；-) =0.95, (6 分 ).48004800. 4800于是有n2°£0 =1.65, n =12073,（2 分）, 4800即学校至少应设12073个座位，才能保证够用。六 （1） EX = *xf （x）dx =（九2x2e*

25、dx = 2/人，令2/7= X,得人的矩估计量为，? = 2/X。（5分）(2)设Xi,X2，,人为样本观察值，则似然函数为nn 迂 xiL()二 2ni【裨 i-，Xi QX2 0， ，Xn 0,【0,其它，nn当Xi A0,i =1,2,，n时，对数似然函数为ln L(7J =2nln人-九£ Xi +£ In Xi ,i 1i 1令d(lnL(附=W Xi =0,得九的极大似然估计量为，?=已。(5分) di 1X七 (1)检验假设H0:N=175, H1M /175Ho为真时，T=速二175kt， S由观测值,t =0.7572 <2.3646*025(7)

26、,接受 H。(4 分)检验假设心：。12, =。2乩：。12#。2、,一,S2为真时,F =TF(7,8),S2由观测值，f =S12/s2 =1.228,而 F0.025(7.8) =4.90 , F0.975(7.8) = 0.2206 ,且 0.2206 <1.228 <4.9 ,故接受 H0。(4 分)(3)_在方差未知且相等时 匕-'的置信度为95%的置信区间为(X -Y -t0.025 (15)Sw<1/8+1/9 , X -Y -t0.025(15)SwJ1/8 + 1/9 ),由观测值算得置信区间为(0.6041, 7.1959)(4分)西安交通大学考

27、试题成绩课 程概率论与数理统计系 别 考试日期 2013 年6 月 28 日专业班号姓 名学号期中 期末(注：解题过程写在答题纸上)一一、简单计算题：(5*7=35分)1、设 P(A)=0.1, P(B|A)=0.9, P(B | A) =0.2 ,求 P(A| B)。ax b,0 : x ： 1 2、已知 r.v.X 口 f (x)=<，且 Px>1/2 =5/8，求 a及 b。J 0,其它3、设随机变量X , Y相互独立，并且具有同一分布律，且X的分布律X 01为：，求Z =maxX,Y的分布律。P 0.5 0.54、已知 r.v.X N(2,0.42),求 E(X+3)2共

28、页第1页5、设r.v.X与Y相互独立，分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),求PX +Y <1。6、设 Y=(Xi+X2)2+(X3 X4)2，而 Xi，X2，X3，X4 是来自总体 X|_N(0,22)的样本，已知CY72(2)，求C值。17、设总体Xj N(匕1), Xi,X2,X3为来自总体的样本，喝=aXI+bX2+X3 ,3一51?2 =(a-b)Xi十一X2十X3都是N的无偏估计，求a,b的值124二、(10分)设某地区成年居民中肥胖者占10%,不胖不瘦者占82%,瘦者占8%, 又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概

29、率为5%,试求：(1 ) 该地区居民患高血压病的概率；(2 ) 若知某人患高血压，则他属于肥胖者的概率有多大？三、(12分)设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为:f(x, y) =-ye ,0 < x < y,0,其它,共 页 第5页试求：(1) fX (x)fY(y) ； (2) P(X +Y <1)西安交通大学考试题四、（12分）设袋中有4个球分别标有数字1, 2, 2, 3,从袋中任取一球后, 不放回再取一球,分别以X,Y记第一次，第二次取得球上标有的数字，求：（1）求X , Y的联合分布率；（2）求X , Y的边际分布；（3）判断X与Y是否独立。（4）判断X与Y

30、是否相关。五、（8分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P（14<X <30）。六、（10分）设某随机变量X的密度函数为f（x） = |i薛 x>1求P的矩估计量 0 x"1和极大似然估计量。七、（10分）设某机器生产的零件长度（单位：cm） X N（N,。2）,今抽取容量 为16的样本，测得样本均值X=10,样本方差s2=0.16. （1）求N的置信度为 0.95的置信区间；（2）检验假设H。：。2 <0,1 （显著性水平口 =0.05）。八、（3分）设事件A, B,C

31、相互独立，证明Au B与C相互独立。（B付注）中（2.5） =0.9938，中（1.5） = 0.9332t0.05（16） =1.746, t0.05（15） =1.753, t皿"） =2.132,彳05（16） =26,296,405（15）=24,996,管.025（15） =27,488.P(A)=0.1, P(AD=0.82, P(A)=0.08, P(B A) =0.2,P(B A2)= 0.1,P(B A3) =0.05,1、解2、解3、解所以4、解5、解6、解7、解p(AB) = 0.09, p(BA) = p(B - AB) = P(B) - p(AB) = 0.

32、18, p(B) = 0.27,1=p(A B)-3F11Jqf (x)dx = J0(ax+b)dx =1= -a +b1,51 (ax b)dx =:28Wa b=51一 1>,=a=1,b= 2JX01pi.00.250.250.510.250.250.5pj0.50.5Z01P0.250.75:E(X) - -2,D(X) =0.42,. E(X2) =4.16=E(X 3)2 =E(X2 6X 9) =1.16Z =X Y, Z LJ N(1,2)1 1P(X Y <1) =P(Z < 1) = F(1) = .：，(一)二：，(0) =0.52由已知得X1 X2L h(0,8), X3- 9N (0,8),Y =(X1 X2)2 (X3 -X4,8)2L 2(2) = C11 .E(?) =E(aX- bX2 -X3) =(a b -)J - '33E(?2) =E(a-b)X15151X2