量子力学教程第九讲

1、The variables in Quantum mechanics 1第九讲第九讲第第 二二 章章3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有两力学量同时有确定值的条件确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute The Heisenberg Uncertainty PrincipleThe variables in Quantum mechanics 21 1在什么情况下力学量具有确定值；力学在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、量可能值、概率、 平均值的计算方法，两个力学量同时具平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；有确定值的条件；2

2、 2不确定关系及其应用；不确定关系及其应用； 。学 习 内 容学 习 内 容重点重点难点The variables in Quantum mechanics 3 3.7 算符对易关系、两力学量同时可测的条件、算符对易关系、两力学量同时可测的条件、 测不准关系测不准关系1 1算符的对易关系算符的对易关系设设 和和 为两个算符为两个算符FG若若 ，FGGF则称则称 与与 对易对易GF若若 ，FGGF则称则称 与与 不对易不对易GF引入对易子：引入对易子：FGGFGF,若若 ，0,GF 则则 与与 对易对易GF若若 ，0,GF 则则 与与 不对易不对易GF（1 1）力学量算符的基本对易关系）力学量算

3、符的基本对易关系The variables in Quantum mechanics 4,0,0,0 x yy zz x, 0, 0, 0 xyyzzxpppppp , 0 xx,1, 2, 3 ,0pp 123,xx xy xz1,2,3()xyzpppppp,1, 2, 3 ,0,0,0,yzxyxzxyzx px px piy piy py pz pz pz pi,( ,1, 2, 3)xpi The variables in Quantum mechanics 5证明对易关系式证明对易关系式 xxUipxUx)(),(ExProve设设 为任一可微函数为任一可微函数, ,f x y z

4、 ,xxxxxU xPfUPPUfUP fPUf ,xUU x Pix Uffi UixxUUi fifxx特别地，当特别地，当 代入上对易式，即证得代入上对易式，即证得 U xx,xx Pi同理可证：同理可证：,yy Pi,zz PifUfi Ui fi UxxxThe variables in Quantum mechanics 6 ,0AA , ,A BBA ,CABACBA,CBCACBA,CABCBACBA,CBABCACBA , , , , , , 0AB CBC ACA Bprove:（2 2）对易恒等式）对易恒等式雅可比恒等式雅可比恒等式双线性双线性 BACBACABCBCA,

5、CABCBA ,A BC ABCBCAThe variables in Quantum mechanics 7,LLiL LLi L,xyzyzxzxyLLi LLLi LLLi L（3 3）角动量算符的对易关系）角动量算符的对易关系110is an odd permutation of xyzis an even permutation of xyzotherwise222,0,0,0 xyzLLLLLL2,0LL,xyzThe variables in Quantum mechanics 8,yyzyxLpzpyLL, , ,zyyzyyyyy p Ly L pz p Lz L p, ,z

6、xzxzyy p zpxpz zpxp p, ,zzxzxyzyp xpzy p zpypz xpp pz, , ,zzxxzyzyp pzy p z pyzp px zxp pxyi ypi xpzLiProve:Prove: ,0yy L,0yypL等于零等于零()yxixpyp 等于零等于零The variables in Quantum mechanics 9定 理定 理prove:prove:2 2力学量同时有确定值的条件力学量同时有确定值的条件设设 是是 和和 的共同本征函数完全系，则的共同本征函数完全系，则 nFG,nnnnnnFG 0nnnnnnFG GF 设设 是任一状态波函

7、数，是任一状态波函数，1n nna0nnnFG GFa FG GF,0FG GFF G 若算符若算符 和和 具有共同的本征函数完全具有共同的本征函数完全系，则系，则 和和 必对易。必对易。FGGFThe variables in Quantum mechanics 10逆 定 理逆 定 理prove:prove:设设 是是 的本征函数完全系，则的本征函数完全系，则 nF若算符若算符 与与 对易，则对易，则FGFGGFnnnF （1 1）nnnnFGGFG（2 2） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（为简单起见，先考虑非简并情况。由（1 1）、（）、（2 2）式知，式知， 和和 都是都是 属于本

8、征值属于本征值 的本征函数，它的本征函数，它们最多相差一个常数因子们最多相差一个常数因子 ，即，即nnGFnnnnnG 可见，可见， 也是也是 的本征方程的解。因此，的本征方程的解。因此， 是是 的本征函数完全系的本征函数完全系nG nG若算符若算符 与与 对易，则它们具有共同的本对易，则它们具有共同的本征函数完全系征函数完全系FG3.7 算符对易关系两力学算符对易关系两力学量同时可测的条件量同时可测的条件 测不准测不准关系关系（续7）The variables in Quantum mechanics 11 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两

9、个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。者说不能同时测定。 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。注注 为简单起见，以上定理和逆定理

10、的证明是在非简为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这里就不再证明了（这里就不再证明了）The variables in Quantum mechanics 12Ex.2Ex.2 角动量算符角动量算符 和和 对易，即对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系因此它们有共同的本征函数完备系 。0,2LLz( , ) l mY zL2L22(1)zLl lLm，3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续9）( )pr同时有确定值。同时有确定值。,xyz

11、ppp在在 描述的状态中，描述的状态中，在在 描述的状态中，描述的状态中，,lmY 和和 可同时有确定值可同时有确定值: :2LzLEx.1Ex.1动量算符动量算符 彼此对易，它们有共同的彼此对易，它们有共同的本征函数完备系本征函数完备系 ,xyzp p prpiper23)2()(The variables in Quantum mechanics 13Ex.5Ex.5 彼此不对易，故彼此不对易，故 一般不一般不可能同时有确定值。可能同时有确定值。zyxLLL,zyxLLL, Ex.4 坐标算符与动量算符不对易坐标算符与动量算符不对易 ，故故 一般不可同时具有确定值。一般不可同时具有确定值。

12、 iPxx,xPx,42222,(1),2snzeELl lLmn Ex.3 氢原子的算符氢原子的算符 彼此对易：彼此对易：2zHL L、 、0,2LH0,zLH0,2zLL它们有共同的本征函数完备系它们有共同的本征函数完备系 ( , , ) nlmr 故故 可可同时有确定值同时有确定值: :zLLH,2在在 状态中，状态中，, ,nlmr The variables in Quantum mechanics 14（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的最小（数目）力学量算符的集合称为力学量完全集。最小（数目）力学量算符的集合称为力学量完

13、全集。三维空间中自由粒子，完全确三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的定其状态需要三个两两对易的力学量：力学量：.,zyxpppEx.2Ex.2氢原子，完全确定其状态也需氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：要三个两两对易的力学量：.,2zLLH一维谐振子，只需要一个力学一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：量就可完全确定其状态：H（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。数相同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本

14、征函数，即体系的任何状态系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。均可用它展开。3 .3 . 力 学 量 完 全 集 合力 学 量 完 全 集 合Ex.3Ex.3Ex.1Ex.1The variables in Quantum mechanics 154 4测不准关系测不准关系 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 角动量的测不准关系角动量的测不准关系引 言引 言由前面讨论表明，两对易力学量算符则同由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函

15、数，不同时具有来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。确定值。问 题问 题两个不对易算符所对应的力学量在某一状两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？是多少？不确定度：不确定度：测量值测量值 F Fn n 与平均值与平均值 F 的偏差的的偏差的大小。大小。The variables in Quantum mechanics 16GGGFFF,)()(FFGGGGFFFGGF() ()FG FG FG FGGF GF GF GFk iFGGF 设设 和和 的对易关系为的对易关系为GFk iGF,k iFGGF考虑积分

16、：考虑积分：2( )()IFi Gd dGiFGiF)()(*dFGGFidFF)()()()()(*2dGG)()(*（再利用力学量算符的厄米性）（再利用力学量算符的厄米性） 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导 The variables in Quantum mechanics 170)()(222GkF由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：是系数必须满足下列关系： 4)()(222kGF（称为测不准关系）（称为测不准关系） 如果如果 不等于零，则不等于零，则 和和 的均方偏差不会同时为的均方偏差不会同时为零，它们的乘

17、积要大于一正数，这意味着零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 和和 不能不能同时测定。同时测定。kFGFG222*()()FdiF GG FdGd The variables in Quantum mechanics 18 由测不准关系由测不准关系 看出：若两个力学量看出：若两个力学量算符算符 和和 不对易，则一般说来不对易，则一般说来 与与 不能同不能同时为零，即时为零，即 和和 不能同时测定（但注意不能同时测定（但注意 的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符态。反之，若两个厄米算符 和和 对易，则可以找对易，则可

18、以找出这样的态，使出这样的态，使 和和 同时满足，即可同时满足，即可以找出它们的共同本征态。以找出它们的共同本征态。 222() ()4FGkFGFG , 0F G FG0F0GFG4)()(222xpx故有故有 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 22)2xxp （或写成或写成, ipxxThe variables in Quantum mechanics 192xpx简记为简记为 表明：表明： 和和 不能同时为零，坐标不能同时为零，坐标 的均方差越的均方差越小，则与它共轭的动量小，则与它共轭的动量 的均方偏差越大，亦就是说，的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。

19、坐标愈测量准，动量就愈测不准。xxpxPx 角动量的测不准关系角动量的测不准关系22224)zyxzyxLLLLiLL（，当粒子处在当粒子处在 的本征态时的本征态时zL42222241)(4)mmLLyx（The variables in Quantum mechanics 20测不准关系的应用测不准关系的应用 Ex. 1 利用测不准关系估算线性谐振子的零点能利用测不准关系估算线性谐振子的零点能0ESolve：谐振子的能量谐振子的能量 21nEn222( )()xnnnxN eHx222212xpH平均能量：平均能量： 2222121xpHEdxxPxPnn)()(*dxxdxdxinn)()

20、(dxxxdxdixxinnnn)()()()(The variables in Quantum mechanics 210)(2dxxxxn222222222()()()() ()4PPPPxxxxPx2224Px22222221112228EHpxxx0P ( )nnpx dxPThe variables in Quantum mechanics 22222221280ExxdEdxmin012EE 故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，零点能在旧量子理论是没有的。零点能在旧量子理论是没有的。22x（零点能）（零点能）The variables in Quantum mechanics 23Prove:22224)xzyxzyLLLLiLL （，则测不准关系：则测不准关系：222224040)xxyLLL （平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，必有：欲保证不等式成立，必有：0 xL同 理同 理0 yL由于在由于在 本征态本征态 中，测量力学量中，测量力学量 有确定值，有确定值，所以所以 均方偏差必为零，即均方偏差必为零，即zLlmYzLzLEx.2 利用测不