三角形的“四心”与向量的完美结合

1、第 1 页 共 18 页三角形的“四心”与向量的完美结合知识概述：三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式一、知识点总结1）o是abc的重心0ocoboa; 若o是abc的重心，则,31abcaobaocbocssss故;,0ocoboa1()3pgpapbpcg为abc的重心 . 2）o是abc的垂心oaococoboboa; 若o是abc( 非直角三角形) 的垂心，则,tan:tan:tan:cbasssaobaocboc故0tantantanoccobboaa3）o是abc的外心)(222ocoboaocoboa或若o是abc的外心 , 则cbaaobaocbocsssa

2、obaocboc2sin:2sin:2sinsin:sin:sin:故02sin2sin2sinoccobboaa4）o是内心abc的充要条件是0)()()(cbcbcacaocbcbcbabaobacacababoa引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记cabcab,的单位向量为321,eee，则刚才o是abc内心的充要条件可以写成0)()()(322131eeoceeobeeoao是abc内心的充要条件也可以是0occobboaa若o是abc的内心，则cbasssaobaocboc:故0sinsinsin0occobboaaoccobboaa或; |0ab pcbc paca pbpabc

3、的内心 ; 向量()(0)|acababac所在直线过abc的内心 ( 是bac的角平分线所在直线) ；第 2 页 共 18 页知识点一、将平面向量与三角形内心结合考查【例 1 】:o是平面上的一定点，a,b,c 是平面上不共线的三个点，动点p 满足)(acacababoaop，, 0则 p点的轨迹一定通过abc的（）（a）外心（b）内心（ c）重心（d）垂心【 解 答 】 ： 因 为abab是 向 量ab的 单 位 向 量 设ab与ac方 向 上 的 单 位 向 量 分 别 为21ee 和，又apoaop， 则原式可化为)(21eeap，由菱形的基本性质知ap平分bac， 那么在abc中，a

4、p平分bac，则知选 b. 练习： 在直角坐标系xoy中， 已知点 a(0,1)和点 b( 3, 4)， 若点 c在aob的平分线上，且 |2oc，则oc =_. 【解答】：点 c在aob的平线上，则存在(0,)使()|oaobocoaob=3 4(0,1)(,)5 5=39(,)55, 而| 2oc，可得103，10 3 10(,)55oc. 【例 2】：三个不共线的向量,oa ob oc满足()|abcaoaabca=(|baobba+|cbcb) =()|bccaocbcca= 0 ，则 o点是 abc的( ) a. 垂心 b. 重心 c. 内心 d. 外心解：|abcaabca表示与

5、abc中 a的外角平分线共线的向量，由()|abcaoaabca= 0 知 oa垂直a的外角平分线，因而oa是 a的平分线，同理，ob和 oc分别是 b和 c的平分线，故选 c . a c b 1e2ep 第 3 页 共 18 页【例 3】：已知 o是 abc所在平面上的一点，若aoabobcoc=0，则 o点是 abc的( ) a. 外心 b. 内心 c. 重心 d. 垂心解：oboaab，ocoaac，则()abc oababcac= 0，得()|bcabacaoabcabac. 因 为|abab与|acac分 别 为ab和ac方 向 上 的 单 位 向 量 ， 设|abacapabac，

6、则ap平分 bac. 又ao、ap共线，知ao平分 bac. 同理可证bo平分 abc ，co平分 acb ，所以 o点是 abc的内心 . 【方法总结】：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生” ，首先abab是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。【针对性练习】 : 1.o是平面上的一定点，cba,是平面上不共线的三个点， 动点p满足)(acacababoaop，, 0则p点的轨迹一定通过abc的（）（a）外心（

7、b）内心（c ）重心（d）垂心2. 设o是abc的内心，.,baccab若，acabao21则( ) cba21.cbb2221.2221.bccbc2221.3. 在abc中，, 3,2 acbcab设o是abc的内心，若acqabpao，则qp的值为 . 4. 已知abc的内心为,o且3,32, 5acbcab，则bcao第 4 页 共 18 页知识点二、将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”【例 4 】:( 湖南 ) p是 abc所在平面上一点，若papcpcpbpbpa，则 p是 abc的（ d ）a外心b内心c重心d垂心【解答】：由0pcpbpbpapcpbpbpa得. 即0,

8、0)(capbpcpapb即则,abpcbcpacapb同理所以 p为abc的垂心 . 故选 d. 【例5】：已知o 是平面上的一定点，a、b、c 是平面上不共线的三个点，动点p 满足()|cos|cosabacopoaabbacc,0,), 则动点 p的轨迹一定通过 abc的( ) a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心解：由已知得()|cos|cosabacapabbacc，()|cos|cosab bcac bcap bcabbacc=| |cos()| | cos()|cos|cosabbcbacbccabbacc= (|)bcbc= 0， apbc，即 apbc ，所以动点 p的轨

9、迹通过 abc的垂心，选 b. 【例 6 】. 如图， ad、be 、cf是abc的三条高，求证： ad、be 、cf相交于一点。证：设 be 、cf交于一点 h， ab = a, ac = b, ah = h, 则 bh = ha , ch = hb , bc= ba bhac , chab0)()()(0)(0)(abhabhbahaahbah ahbc又点 d在 ah的延长线上， ad、be 、cf相交于一点a b c d e f h 第 5 页 共 18 页【例 7】：已知 h是 abc的垂心，且ah=bc ，试求 a的度数解：设 abc的外接圆半径为r，点 o是外心。 h 是 abc

10、的垂心ocoboaohocoboaohah)2cos21(2)(|2222arocobahahobocbc，)2cos21(2)(|2222arobocbcbcah=bc ， aa2cos212cos2102cos a而 a为 abc的内角， 0 2a360 从而 2a=90或 270a的度数为45或 135。【例 8】：abc中，ab=1, bc =6, ca = 2, abc的外接圆的圆心为o ，若aoabac，求实数,的值 . 解：bcacab， 两边平方得12ab ac. 分别取 ab 、 ac的中点 m 、 n， 连接 om 、 on. 则omamao=1()2ababac=1()2

11、abac. 又 o为 abc的外接圆的圆心，则omab= 0，即有1022. 同理有on ac= 0，得2402. 解得45，35. 【方法总结】：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识 . 将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。【针对性练习】 : 1在同一个平面上有abc及一点o满足关系式：222222aboccaobbcoa，则o为abc的（）.a外心.b内心.c重心.d垂心2.已知点h为abc的垂心，且，3-hbha则hcbh的值为3. 在斜三角形abc中，45a，h是abc的垂心

12、，,tantanbaccabah则第 6 页 共 18 页abcedo知识点三、将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”【例 9】 p是abc所在平面内任一点.g是abc的重心)(31pcpbpapg. 【解答】：证明：cgpcbgpbagpapg)()(3pcpbpacgbgagpgg是abc的重心gcgbga=0cgbgag=0，即pcpbpapg3由此可得)(31pcpbpapg. （反之亦然（证略） ）【例 10】.若o为abc内一点，0oaoboc，则o是abc的（）a内心b外心 c 垂心 d重心【解答】 ： 由0oaoboc得obocoa，如图以ob 、 oc 为相邻两边构作平行

13、四边形，则obocod，由平行四边形性质知12oeod，2oaoe，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选d。【 例11】 ：已 知o 是 平 面 上 的 一 定 点 ， a、 b、 c 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点p 满 足()| sin|sinabacopoaabbacc,0,), 则动点 p的轨迹一定通过abc的 ( ) a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 内心解 ： 由 已 知 得()|sin|sinabacapabbacc， 由 正 弦 定 理 知|sin|sinabbacc， ()|sinapabacabb，设 bc的中点为d，则由平行四边形法

14、则可知点p在 bc的中线 ad所在的射线上， 所以动点p的轨迹一定通过abc的重心，故选a . 【方法总结】： 本题需要扎实的平面几何知识， 平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。第 7 页 共 18 页【针对性练习】 : 1：o是平面上一定点，cba、是平面上不共线的三个点，动点p满足)(acaboaop，, 0，则点p的轨迹一定通过abc的（）a外心b内心c重心d垂心2.o是平面上的一定点，cba,是平面上不共线的三个点，动点p满足)sins

15、in(cacacbababoaop，,0则p点的轨迹一定通过abc的（）（a）外心（b）内心（c）重心（d）垂心3. 已知o是abc的重心，且满足08sin7sin3sinoccobboaa, 则角b等于（）30.a60.b90.c120.d知识点四、将平面向量与三角形外心结合考查【例 12】 : 若o为abc内一点，oaoboc， 则o是abc的 （）a内心 b 外心 c垂心 d重心【解答】：由向量模的定义知o到abc的三顶点距离相等。故o是abc的外心，选 b。【方法总结】：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。【 例13 】 : 已 知o 是 平 面 上 的

16、一 定 点 ， a、 b、 c 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点p 满 足()2|cos|cosobocabacopabbacc, 0,), 则动点 p的轨迹一定通过abc的( ) a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 内心解： 设 bc的中点为d，则2obocod，则由已知得()|cos|cosabacdpabbacc，()|cos| cosab bcac bcdp bcabbacc=| | cos()| |cos()|cos|cosabbcbacbccabbacc=第 8 页 共 18 页( |)bcbc= 0 . dp bc ，p点在 bc的垂直平分线上，故动点

17、p的轨迹通过 abc的外心 . 选 c . 【例 14】：已知 o是abc所在平面上的一点，若()oaobab =()obocbc =()ocoaca= 0，则 o 点是 abc的( ) a. 外心b. 内心c. 重心d. 垂心解：由已知得：() ()oaoboboa =() ()obococob =() ()ocoaoaoc = 0 2222oboaocob =22oaoc = 0 | | |oaoboc . 所以 o点是 abc的外心 . 选 a . 【针对性练习】 :1. 设abc的外接圆的圆心为o, 半径为 1，且oocoboa, 则oboa( ) 21.a0 .b1.c21.d2、如

18、图，在圆o 中，若弦ab3，弦 ac5，则aobc的值是（）(a) 8 (b) 1 (c) 1 (d) 8 3. 已知o是平面上的一定点，cba,是平面上不共线的三点，动点p 满足), 0(),coscos(2cacacbababocobop， 则动点 p的轨迹一定通过abc的 （）.a内心.b外心.c垂心.d重心4. 已知abc的外接圆的半径为 1， 圆心为点，o且, 0543ocoboa则abc的面积为 （）58.a57.b56.c54.d5.已知o为abc的外心，且,120, 1, 2bacacab设bacaab,，若baao21则a b o c (第 2 题) 第 9 页 共 18 页

19、216已知点o为abc的外心 , 角 a, b, c对边分别为a, b, c. () 若0543ocoboa, 求boccos的值；( ) 若caboabco, 求222bca的值 .知识点五、将平面向量与三角形四心结合考查【例 15 】：已知点 o是abc内一点，23oaoboc = 0, 则：(1) aob与aoc的面积之比为 _ ；(2) abc与aoc的面积之比为 _ ；(3) abc与四边形 aboc的面积之比为 _. 解： (1) 将 ob延长至 e， 使 oe = 2ob ，将 oc延长至 f， 使 of = 3oc ， 则o a o e o f= 0, 所以 o是aef的重心

20、. 1139aocaofaefsss，1126aobaoeaefsss，:3: 2aobaocss. (2) 11618boceofaefsss，abcaobaocbocssss=111()6918aefs=13aefs，又19aocaefss, :3:1abcaocss. (3) abocaobaocsss=115()6918aefaefss，13abcaefss:6:5abcabocss.【例 16 】: 已知向量1op ，2op ，3op 满足条件1op +2op +3op =0，|1op |=|2op |=|3op |=1 ，求证： p1p2p3是正三角形 . （ 数学第一册（下） ，

21、复习参考题五b组第 6 题）【解答】证明：由已知1op +2op =-3op ，两边平方得1op 2op =21，a b c o ( 第 6 题)第 10 页 共 18 页a b(x1,0) c(x2,y2) y x h q g d e f 同理2op 3op =3op 1op =21，|21pp|=|32pp|=|13pp|=3 ，从而p1p2p3是正三角形 . 反之，若点o是正三角形p1p2p3的中心，则显然有1op +2op +3op =0 且|1op |=|2op |=|3op |.即o是abc所在平面内一点，1op +2op +3op =0 且 |1op |=|2op |=|3op

22、|点o是正p1p2p3的中心 . 【例 17 】 在 abc中，已知 q、 g 、 h分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：q、 g 、 h三点共线， 且 qg:gh=1:2 。【解答】： 证明： 以 a为原点，ab所在的直线为x 轴， 建立如图所示的直角坐标系。设 a(0,0) 、 b （x1,0 ） 、 c(x2,y2) ，d、 e、f 分别为 ab 、bc 、ac的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222xxxyxyefd（、由题设可设1324,)(,)2xqyhxy（、, 122(,)33xxyg212243(,)(,)222xxyahxyqfy，212(,)bcxxy22

23、12422142()0()ahbcahbcxxxy yxxxyy212223221232()()0222()22qfacxxyqfacxyyxxxyyy121221224323()(,),)22xxxxxxyqhxyy2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1(,)(,)6321 =3xxxyxxyxxxyqgyxxxxxyxxxxxyqh222（62y66y22y即=3qhqg，故q 、g 、h三点共线，且qg ：gh=1： 2 第 11 页 共 18 页【方法总结】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦

24、，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。【例 18 】若o 、h分别是abc的外心和垂心 . 求证：ocoboaoh.【解答】证明： 若abc的垂心为h，外心为o，如图 . 连bo并延长交外接圆于d，连结ad，cd. abad，bccd. 又垂心为h，bcah，abch，ahcd，chad，四边形ahcd为平行四边形，ocdodcah，故ocoboaahoaoh. 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂

25、心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题. 【例 19 】设o、g、h分别是锐角abc的外心、重心、垂心. 求证ohog31【解答】证明： 按重心定理g是abc的重心)(31ocoboaog按垂心定理,ocoboaoh由此可得ohog31. 【例 20 】在abc中，hgo,分别是abc的外心、重心、垂心。（1） 求证：ocoboaoh；（2） 求证：hgo,三点共线；（3） 若oaah，求bac的大小 . 解：连接 bo 并延长交abc外接圆于点

26、d 连接 ad,cd,ah,ch, 显然bcah，bccd，所以hoabdcg第 12 页 共 18 页cdah /， 同 理dach /， 所 以cdha， 即ocobocodohoa， 所 以ocoboaoh因为g是是abc的重心，所以oaacabaoagog2132=oaacab31=ocoboa31。oaah，则oaoaoh，所以oaocob，两边平方并注意到ocoboa，又boccos=bac2cos=21，323或bac【针对性练习】 : 1. 已知点o是abc内一点，且ocoboa, 若abc与obc的面积之比为1:3， 则2. 设m为abc内一点，且，acabam5141则ab

27、m与abc的面积之比为 ( ) 51.a41.b94.c95.d3.abc的面积为,s是三角形的内角，o是平面abc内一点，且满足ocoboacossin2,0 则下列判断正确的是（）aocsa.的最小值为s21aobsb.的最小值为s)12(aobaocssc.的最大值为s21bocsd.的最大值为s) 12(【课后练习】1 已知 a、 b、 c是平面上不共线的三点，o是三角形abc的重心，动点 p满足op=31 (21oa+ob21+2oc),则点 p一定为三角形abc的（ b ）a.ab 边中线的中点 b.ab边中线的三等分点（非重心）c.重心 d.ab边的中点第 13 页 共 18 页

28、1.b取 ab边的中点 m ， 则omoboa2， 由op=31(21oa+ob21+2oc) 可得 3mcomop23，mcmp32，即点 p为三角形中ab边上的中线的一个三等分点，且点p不过重心，故选b. 2已知 abc ，p为三角形所在平面上的动点，且动点p满足：0pa pcpa pbpb pc，则 p点为三角形的（d ）外心内心 c 重心 d 垂心3 在 三 角 形abc 中 ， 动 点p 满 足 ：cpabcbca222， 则p 点 轨 迹 一 定 通 过 abc 的 ：（ b ）外心内心 c 重心 d 垂心4.abc中，o为其外心，为平面内一点，opocoboa，则p是abc的a.

29、 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 内心5. 已知非零向量 ab与ac满足 (ab|ab| +ac|ac| ) bc=0 且ab|ab|ac|ac| =12 , 则 abc为( ) a. 三边均不相等的三角形 b.直角三角形 c.等腰非等边三角形 d.等边三角形解析： 非零向量与满足(|abacabac) =0，即角 a的平分线垂直于bc ， ab=ac，又cos a| |abacabac=12， a=3，所以 abc为等边三角形，选d6 已知abc三个顶点cba、，若cabccbabacabab2，则abc为（）a等腰三角形 b等腰直角三角形c直角三角形 d既非等腰又非直角三角形7： 已知

30、 o是 abc所在平面上的一点，若apabpbcpcpoabc( 其中 p是 abc所在平面内任意一点) ，则 o点是 abc的( ) a. 外心 b. 内心 c. 重心 d. 垂心p第 14 页 共 18 页a b c m n g 图 1 解： 由已知得bpbcpccpabpapopaabc=babcacpaabc，babcacaoabc=()bcabacabccb=()|bcabacabcabac，由上题结论知o点是 abc的内心 . 故选 b. 8.abc的外接圆的圆心为o ，两条边上的高的交点为h ，)(ocoboamoh，则实数m = 1 9.如图 1，已知点g是abc的重心，过g作

31、直线与 ab ，ac两边分别交于m ，n两点，且amxab，anyac，则113xy。证 ：点g 是abc的 重 心 ， 知g ag bgco， 得()()a ga baga ca go， 有1()3agabac。 又m， n， g 三 点 共 线 （ a 不 在 直 线mn 上 ），于 是 存 在,， 使 得(1)a ga ma n且， 有agxabyac=1()3abac，得113xy，于是得113xy10. 在abc内求一点p，使222apbpcp最小11、已知 o （ 0，0） ， b（1，0） ，c（b，c） ，是obc的三个顶点。试写出obc的重心 g，外心 f，垂心 h的坐标，并

32、证明g、f、h三点共线。（ 2002 年全国）cp图ab第 15 页 共 18 页ocbap图 11 解： 重心 g为)3,31(cb，设 h点的坐标为),(0ybbcoh，bc=(b-1 ，c) ，0) 1(0cybb，故cbby)1(0 h点的坐标为)1(,(cbbb设外心 f的坐标为),21(1y由 |fo|=|fc| ，得ccbby2) 1(21，所以 f 点的坐标为（，） 。从而可得出gh=（，） ，fh=（，）fh32gh，gh fh， f、g、h三点共线 。点评： 向量不仅是平面解析几何入门内容，而且是解在关数形结合问题的重要工具。它一般通过概念的移植、转化，将坐标与向量结合起来

33、，从而使一些难题在思路上获得新的突破。12、已知 p是非等边 abc外接圆上任意一点，问当p位于何处时， pa2+pb2+pc2取得最大值和最小值。解：如图11，设外接圆半径为r，点 o是外心，则pa2+pb2+pc2=222)()()(ocpoobpooapo)(262ocpoobpooapor)(262ocoboaporohpor262（由命题六知：h为垂心，）当 p为 oh的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6r2+2roh 当 p为 oh的延长线与外接圆的交点时，有最小值6r22roh 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度

34、分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0ocoboao是abc的重心 . 证法 1：设),(),(),(),(332211yxcyxbyxayxo0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx0ocoboaoabcde第 16 页 共 18 页33321321yyyyxxxxo是abc的重心 . 证法 2：如图ocoboa02odoaodao2doa、三点共线，且o分ad为 2：1 o是abc的重心（2）oaococoboboao为abc的垂心 . 证明：如图所示o是三角形 abc的垂心， be垂直 ac ，ad垂直 bc ， d、e是垂足 . 0)(caobocoaobocoboboaacob同理bcoa，aboco为abc的垂心（3）设a,b,c是三角形的三条边长，o是abc的内心ooccobboaa0为abc的内心 . 证明：baccab、分别为acab、方向上的单位向量，baccab平分bac, (aobaccab) ，令cbabccbabcao（baccab) 化简得0)(accabboacba0occobb