三角形内有关角的三角函数恒等式的证明_2

1、三角形内有关角的三角函数恒等式的证明张思明课型和教学模式：习题课，“ 导学探索，自主解决” 模式教学目的：（1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。（2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。（3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。教学对象：高一（5）班教学设计：一引题：（ a，b 环节）11 复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？

2、拟答：，这些结果是诱导公式，的特殊情况。12 今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本 p233-p238 ，p261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。13 备考：期待找出有关abc 内角 a、b、c 的三角恒等式有：（1）p233 ：例题 10：sina+sinb+sinc=4cosa/2cosb/2cosc/2 (2)p238: 习题十七第 6 题： sina+sinb-sinc=4sina/2sinb/2cosc/2. (3) cosa+cosb+cosc=1+4sina/2s

3、inb/2sinc/2. (4) sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc. (5)cos2a+cos2b+cos2c=-1-4cosacosbcosc. (6)p264: 复参题三第 22 题： tga+tgb+tgc = tgatgbtgc. (7)也许有学生会找出:p264- （23）但无妨。14 请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明：提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。二第一层次的问题解决（c，d 环节）21 让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“ 代表性 ” 的 3 题（不超过3 题）书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同

4、的证法。证法备考：（ 1）左到右：化积- 提取 - 化积。（2）左到右：化积 - 提取 - 化积 sin(a+b)/2=cosc/2 (3)左到右：化积 - 留“1”提取 -化积（4）左到右：化积 - 提取 -化积 sin2c=sin2(a+b) (5)左到右：（6）左到右： tga+tgb=tg(a+b)(1-tgatgb) (7)左到右：通分后利用（4）的结果22 教师注意记录学生的“ 选择 ” ，问：为什么认为你们的选择有代表性？体现学法的 “ 暗导 ” 。选择的出发点可以多种多样，如从品种、不同的证法、逻辑源头等考虑。23 另一组学生判定结果或给出其他解法，（解法可能多样。）也可对前一

5、组学生所选择书写的“ 例题 ” 的“ 代表性 ” 进行评价。教师记录之。注意学生的书写中的问题（不当的跳步等 ）。24 其他证法备考：1如右到左用积化和差，（略）2利用已做的习题：先一般后特殊 3几何直观：左式右式由此得证（ 4）图 1 4用/2-a/2 ，/2-b/2 ，/2-c/2 代换 a，b，c（仍保持三个角之和为）可速由（ 4）推出（ 1）；由（ 5）推出（ 2）三探索发现练习（回朔与e 环节）31 请学生以小组为单位通过观察、联想、对比、猜想、发现解决以下几项任务（1）找出更多的三角恒等式。（2）用发散的方式寻求更多的结果。可以自主肯定的结论记为“ 定理 ” ，还不能肯定的结论暂记

6、为“ 猜想 ”32 小组活动 10 分钟后，组代表上前表述“ 发现 ” ，交流结果。33 教师注意记录学生的发现结果，挖掘“ 再发现 ” 的潜力。34 结果的 “ 予储 ”（1）结果一般化：如对 cos, tg 亦有类似结果 （2）变维发散三角形变四边形，如对四边形abcd 有，sina+sinb+sinc+sind=4sin(a+b)/2*cos(a-b)/2+cos(c-d)/2 =4sin(a+b)/2*cos(a+c-b-d)/4*cos(a+d-b-c)/4 =sin(a+b)/2*sin(b+c)/2*sin(c+a)/2 两边换成 cos 亦正确进一步可探索四边形abcd 是平行

7、四边形或是圆内接四边形时的相应结论。（3）逆序发散：如对（ 6），原等式成立，能推出a+b+c=吗？举反例可知不行，可推出a+b+c=k，k 是整数。（4）变形式发散：再如对偶联想：上面的式子该成cos 怎样？ （5）批判式的发散：等式的反面是不等式，可以思考在三角形条件下有哪些三角函数的不等式？如对锐角三角形abc ，有 sina+sinb+sinccosa+cosb+cosc sinasinbsinccosacosbcosc。对一般三角形tga+tgb+tgc=ctga+ctgb+ctgc 恒不成立 特别注意记录 “ 意外 ” 。35 评论与小结：请学生评述本课解决的问题、自认为用到的重要方法和得到重要结果、并做小结。教师记录补充（与学生互补之）-重点是学法和思维方法：怎样复习，怎样提高做题的效率，怎样学会“ 举一反三 ” ，怎样用发散思维的方式提出问题 。36 作业： a 类：阅读 p257-p261 b 类：（ 1）选择学生课上提出的三个结果，给出证明或证伪。（2）改写或重写本章的小结（参看p257-p261 ），补充在本章的学习过程中你认为重要的方法、技巧和