2022年金桥高中补习班新王牌数学讲义椭圆的标准方程及其性质

1、学习必备欢迎下载§4椭圆的标准方程及其性质（学案）一、基础学问点1. .椭圆的定义在平面内与两定点f 1、f2 的距离的和等于常数 大于 |f 1f 2|的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 p m|mf 1| |mf 2| 2a ， |f 1f2| 2c，其中 a 0，c 0，且 a， c 为常数：（ 1）如 a c，就集合 p 为椭圆；（ 2）如 a c，就集合 p 为线段f1f2 ；（ 3）如 a c，就集合 p 为空集2. .椭圆的标准方程及几何性质焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上定义mf1mf22a 2af1f2图形y2x2标准方程

2、a2 b2 1a>b>0范畴 ax a， b yba ya， bx b对称中心原点 o0， 0顶点a1 a， 0， a2 a，0 b10， b， b20 ，b对称轴x 轴， y 轴焦点f10， c ，f 20， c焦距2c2a2 b23. 椭圆中几个常用的结论：（ 1）焦半径：椭圆上的点px0，y0与左下 焦点 f 1 与右 上焦点 f2 之间的线段叫做椭圆的焦半径， 分别记作 r1 |pf1|， r2 |pf 2|.x2y2ca a2 b2 1a b 0， r1 a ex0， r 2 a ex0e；y2x2 a2 b2 1a b 0， r1 a ey0， r 2 a ey0；焦半

3、径中以长轴端点的焦半径最大和最小近日点与远日点 .（ 2）焦点三角形： 椭圆上的点 px0，y0与两焦点构成的pf 1f2 叫做焦点三角形 .r 1 |pf1|，r 2 |pf2 |，x2y2 f1pf 2 ， pf1f 2 的面积为 s，就在椭圆a2 b2 1a b 0中：当 r1 r2 时，即点 p 的位置为短轴端点时， 最大； s b2tan2c|y0|，当|y 0| b 时，即点 p 的位置为短轴端点时，s 取最大值，最大值为bc.2.（ 3）焦点弦 过焦点的弦 ：焦点弦中以通径垂直于长轴的焦点弦 最短，弦长 l min 2bax2y2（ 4） ab 为椭圆 a2 b2 1a b 0的

4、弦， ax1， y1， b x2， y2，弦中点 mx0，y 0，就弦长 l1 k2|x x |1 1 |y y |；12b2x0k212直线 ab 的斜率 kab2.a y0二、基础自测x2y21. 2021 ·浙江省名校联考 已知 f 1， f 2 是椭圆a， b 两点，就 f 1ab 的周长为4 3 1 的两个焦点，过点f2 作 x 轴的垂线交椭圆于222. 如直线 x 2y 2 0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，就该椭圆的标准方程为x2a. 5 y2 1b.x 4y 1 5x2c. y2 1 或5x2y24 5 1d以上答案都不对3. 方程 x2 ky2 2 表示焦点在 y

5、轴上的椭圆，就 k 的取值范畴是 a.0 ， b.0 ， 2c.1 ， d.0 ， 14. 2021 ·洛阳市高三年级统考 已知中心在原点的椭圆c 的右焦点为 f15，0，直线 y x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，就椭圆方程为 x222y2x2y2x2y2a. 16 y 1b x 16 1c.20 5 1d. 5 20 12225. 已知 f 1 1，0，f 21， 0是椭圆 c 的两个焦点，过 f2 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 c 于 a，b 两点，且 |ab| 3，就 c 的方程为 x2a. 2 y2 1b.x 3y2x22 1c. 4 y 1d.x 35y24 1x2y26

6、. 已知椭圆 过点 p 3，2，且与椭圆9 4 1 有相同的焦点，就该椭圆的标准方程为.7. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p1 6， 1， p2 3， 2，就椭圆的方程为 x2y28. 已知 f1，f 2 是椭圆 c： a2 b2 1a>b>0 的两个焦点， p 为椭圆 c 上的一点，且 pf1f2 的面积为 9，就 b三、典例解析pf1 pf2 . 如【例 1】已知椭圆圆的左顶点为 x2a2 y2b21 a>b>0的一个焦点是圆 x2 y2 6x 8 0 的圆心，且短轴长为8，就椭a 3， 0b 4， 0c 10， 0d 5， 0【例 2】202

7、1 ·高考辽宁卷 已知椭圆 c22xy1，点 m 与 c 的焦点不重合如m 关于 c 的焦点： 9 4 的对称点分别为 a，b，线段 mn 的中点在 c 上，就 |an| |bn|.x2y2【例 3】设 f 1，f2 分别是椭圆25 16 1 的左、右焦点， p 为椭圆上任一点，点m 的坐标为 6，4，就|pm | |pf 1|的最大值为2y2【例 4】2021 ·高考安徽卷 设 f1，f 2 分别是椭圆e： x b2 10< b<1 的左、右焦点，过点f1 的直线交椭圆 e 于 a，b 两点如 |af1| 3|f1b|， af2 x 轴，就椭圆e 的方程为x2

8、y2【例 5】设 f1 ，f 2 为椭圆9 4 1 的两个焦点， p 为椭圆上的一点，已知p， f1， f 2 是一个直角三|pf的值角形的三个顶点，且 |pf 1| |pf2|，求|pf 1|.2x22【例 6】经过椭圆求 ab 的长.2 y1 的左焦点 f1 作倾斜角为 60°的直线 l，直线 l 与椭圆相交于a，b 两点，x2y2【例 7】设椭圆 c：a2 b2 1a>b>0 的右焦点为 f，过 f 的直线 l 与椭圆 c 相交于 a， b 两点，直线 l 的倾斜角为 60°，椭圆的半焦距为c，且c2. 假如 |ab|15，求椭圆 c 的方程 .a342【

9、例 8】（ 1）已知 f 是椭圆 x2y1 的左焦点， p 是此椭圆上的动点， a1，1是肯定点， 求|pa| |pf|的最大值和最小值.9 5 （ 2）求 a0， 2到椭圆 x2 y2 1 上的动点的距离的最大值和最小值.4x2y2（ 3）在椭圆18 8 1 上求一点，使它到直线2x3y 150 的距离最短 .2【例 9】2021·福建 设 p，q 分别为圆 x2 y6 2 2 和椭圆 x y2 1 上的点，就 p，q 两点间的10最大距离是 a.52b.46 2c.7 2d.622【例 10】（ 1）已知椭圆 x4 y2 1 的左、右焦点分别为f 1、f 2，点 m 在该椭圆上，

10、且f1m·f2m 0，就点 m 到 y 轴的距离为 23a. 326b. 3c. 3d. 32（ 2）在椭圆 x2y1 内，通过点 m 1,1 ，且被这点平分的弦所在的直线方程为16 4 a x 4y 5 0b x4y 5 0c 4x y5 0d 4x y 5 0四、巩固练习x21. 已知方程 2 y 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，就实数k 的取值范畴是 2k2k 111a ， 2b 1， c 1， 2d 22， 12. 矩形 abcd 中， |ab| 4，|bc| 3，就以 a，b 为焦点， 且过 c，d 两点的椭圆的短轴的长为 a 23b 26c 42d 433. 2021烟&

11、#183;台质检 一个椭圆中心在原点，焦点f 1， f 2 在 x 轴上， p2， 3是椭圆上一点，且|pf 1|，|f1f 2|， |pf 2|成等差数列，就椭圆方程为x2y2x2y2x2y2x2y2a. 8 6 1b.16 6 1c. 8 4 1d.16 4 1x2y24. 2021豫·西五校联考 已知椭圆4 b2 10b 2的左、右焦点分别为f1 、f2，过 f1 的直线 l 交椭圆于 a、b 两点，如 |bf2 | |af 2|的最大值为 5，就 b 的值是 3a 1b.2c.2d.322xy5. 椭圆 36 9 1 上有两个动点p、q， e3， 0， epeq，就 ep · qp 的最小值为 a 6b 3 3c9d 12 63x2y26. 2021宜·昌调研 过椭圆5 4 1 的右焦点作一条斜率为2 的直线与椭圆交于a， b 两点， o 为坐标原点，就 oab 的面积为c22xy7. 椭圆 a2 b2 1a b 0的半焦距为 c，如直线 y 2x 与椭圆的一个交点p 的横坐标恰为c，就 a为2 2a. 222 1b. 2c.3 1d.2 18. 如下列图， a，b 是椭圆的两个顶点， c 是 ab 的中点， f 为椭圆的右焦点， oc 的延长线交椭圆于点m，且 |of | 2，如 mf oa，就椭圆