八上数学勾股定理知识点1

1、勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为q, b,斜边长为c,那么 a2+b2=c1.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+b2=c2,那么这个三角 形是直角三角形。2. 勾股数：满足a2 + b2=c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组。）*附：常见勾股数：3,4,5；6,&10；9, 12, 15；5, 12, 133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长

2、a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直 角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：有一个角为90°的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： 确定最大边（不妨设为c）； 若c1=a1+b2,则aabc是以zc为直角的三角形；若a2+b2<c则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2+b2>,则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4. 注意： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 在直角三角形

3、中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。5. 勾股定理的作用： 已知直角三角形的两边求第三边； 已知直角三角形的一边，求另两边的关系； 用于证明线段平方关系的问题； 利用勾股定理，作出长为徧的线段。二、平方根：（1119的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。（也称为二次方根），也就是说如果x=a,那么x就叫做a的平方根。2、平方根的性质： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数q的正的平方根，记作''血”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“一需”, 这两个平方根合起来记作“土石”。（a叫被开方数，“ j

4、 ”是二次根号，这里“ j ”, 亦可写成“ v" ”） 0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 负数没有平方根。3、开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。4、（1）平方根是它本身的数是零。（2）算术平方根是它本身的数是0和1。（3）（v）2 = aa > 0）,v = a（a > 0）,7 = -aa < 0）.（4）一个数的两个平方根z和为0三、立方根：（19的立方）1、立方根的定义：如果一个数的立方等于那么这个数就叫做a的立方根。（也称为二次 方根），也就是说如果x3=a,那么x就叫做a的立方根。记作“丽”。2、立方根的

5、性质： 任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 0的立方根是0. 互为相反数的数的立方根也互为相反数，即炜二-亦 ）3 = a3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方 的运算结果是立方根。4、立方根是它本身的数是1, 0,1。5、平方根和立方根的区别：（1）被开方数的取值范围不同：在土石中，>0,在扬中，a可以为任意数值。（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。6、立方根和平方根：不同点：（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范i韦

6、i 不同：土石中的被开方数a是非负数；丽中的被开方数可以是任何数.（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；（3）立方根等于本身的数有0、1、-1,平方根等于本身的数只有0.共同点：0的立方根和平方根都是0.四、实数：1、定义：有理数和无理数统称为实数无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，n）o有理数：有限小数或无限循环小数注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类:有理数<'正有理数'零>实数负有理数无理数<"正无理数1、负无理数有限小数或无限循环小数无限不循环小数，整数、厂有理数r

7、有限小数或无限循环小数实数vi分数丿<无理数（无限不循环小数）实数的性质：实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。 实数同有理数一样，可用数轴上的点表示,且实数和数轴上的点一一对应。 两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。 实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。3、近似数：rh于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到 精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。取近似值的方法一一四舍五入法4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是o的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：把一个数记为a

8、xion（+l<a<io,n是整数）的形式，就叫做科学记数法。6、实数和数轴：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与 数轴上的点是一一对应的。一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为q, a斜边长为c,那么 cr+h2=c.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+b2=c2,那么这个三角 形是直角三角形。3.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾

9、股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组。）*附：常见勾股数：3,4,5；6,&10；9, 12, 15；5, 12, 133.判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直 角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：有一个角为90°的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： 确定最大边（不妨设为c）； 若c2=6z2+z72,则aabc是以zc为直角的三角形；若6/2+/72<c2,则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若圧+沪>。2,则此三

10、角形为锐角三角形（其中c为最大边）5. 注意： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一个锐角等于3（）。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 在直角三角形屮，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° o 5勾股定理的作用： 已知直角三角形的两边求第三边； 已知直角三角形的一边，求另两边的关系； 用于证明线段平方关系的问题； 利用勾股定理，作出长为徧的线段。知识归纳1勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a, b,斜边为c,那么a2+b2=c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西

11、方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三 角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五''形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角 三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重盞，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4s° + s正方形防©二se方形ajo，4xl + (z?-tz)2

12、=c2,化简可证.方法二四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为s = 4x-ab + c2=2ab + c2 大正方形血积为s = (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2 所以/ + b2 = c23 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边z间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐 角三角形和饨角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察 的对象是直角三角形4 勾股定理的应用 己知直角三角形的任意两边长，求第三边在abc 中，zc = 90° ,贝吒二如+戸,?=扭, a =

13、 ylc2-h2 知道直角三角形-边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题5 勾股定理的逆定理如果三角形三边长a, b, c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，其中c为 斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转 化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2+h2与较长 边的平方c?作比较，若它们相等时，以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若a2+b2<c 吋，以g, b, c为三边的三角形是钝角三角形；若«2+z?2>c2,吋，以g, b, c为三边的 三角形是锐角

14、三角形；定理中a, b, c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边 长a, b, c满足a2+c2=b2,那么以a, b, c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜 边 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和 时，这个三角形是直角三角形6 .勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2屮，a, b, c为 正整数时，称b, c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25等 用含字母的代数式表示组勾股数：n2 -1,2/t,n2 +

15、 1 （ n>2, 为正整数）；2n +1,2n2 + 2/t,2n2 + 2n +1 （比为正整数）tn2 -n2y2mn,m2 -iv （ m>n, tn ,死为正整数）7. 勾股定理的应用勾股泄理能够帮助我们解决直角三角形小的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的 证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角门角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边 和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造 直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边z间的数量关系判断一个三角形是否是直角 三角形，在具体推算过程小，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思 考的用两边的平方和与第