2017年石牌中学中考专题复习导学案23：特殊四边形(含答案)

1、.2017年中考数学专题练习23特殊四边形【知识归纳】一、矩形 1.定义：有一个角是 的平行四边形叫做矩形2.性质(1)矩形的四个角都是 ；(2)矩形的对角线互相平分并且 (3)矩形是一个轴对称图形，它有 条对称轴3.判定(1)根据矩形的定义；(2)有 个角是直角的平行四边形是矩形；(3)对角线 的平行四边形是矩形二菱形1.定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质(1)菱形的四条边 ；(2)菱形的对角线互相 平分；(3)每条对角线平分 (4)菱形是 对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点3.判定(1)根据菱形的定义；(2)四条边 的四

2、边形是菱形；(3)对角线互相 的平行四边形是菱形三正方形1.定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的 叫做正方形2.性质正方形对边平行；正方形四边 ；正方形四个角都是 ；正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分 ；正方形既是轴对称图形也是 图形，对称轴有 条，对称中心是对角线的交点3.判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的 是正方形；(3)有一个角是直角的 是正方形【基础检测】1（2016舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A B C1 D2（2016兰州）如图，矩形ABCD的对角

3、线AC与BD相交于点O，CEBD，DEAC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（）A2B4 C4D83. （2016·云南昆明）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EFAD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH下列结论：EG=DF；AEH+ADH=180°；EHFDHC；若=，则3SEDH=13SDHC，其中结论正确的有（）A1个 B2个 C3个 D4个4（2016·黑龙江齐齐哈尔）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件 使其成为菱形（只填一个即可）5.

4、(2013山东烟台)如图，ABCD的周长为36对角线AC，BD相交于点O点E是CD的中点BO=12则DOE的周长为_.6. （2013四川雅安）在ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AECF(1)求证：ADECBF；(2)若DFBF，求证：四边形DEBF为菱形7.（2016·贵州安顺·10分）如图，在ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积8（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60°，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EA

5、F=60°（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15°时，求点F到BC的距离【达标检测】一选择题1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则BFC为( )A45° B55° C60° D75°2（2016·四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）A对角线相等的四边形是矩形B矩形的对角线相等且互相平分C对角线

6、互相平分的四边形是矩形D矩形的对角线互相垂直且平分3.（2016·四川内江）下列命题中，真命题是( )A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相垂直的四边形是菱形C对角线互相平分的四边形是平行四边形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形4（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后DAG的大小为（）A30°B45°C60°D75°5（2016·四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边B

7、C上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A B C D6（2016·湖北荆门）如图，在矩形ABCD中（ADAB），点E是BC上一点，且DE=DA，AFDE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）AAFDDCE BAF=AD CAB=AF DBE=ADDF二填空题7. （2016·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为点E，若EAC=2CAD，则BAE= 度 8. （2016·陕西）如图，在菱形ABCD中，ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以

8、点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 9. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 10. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7. 点E为DC上一个动点，把ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在ABC的角平分线上时，DE的长为 . 11. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C

9、2=D1D2=A1B2，依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为 三解答题12.（2016·黑龙江哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQBE于点Q，DPAQ于点P（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长13（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60°，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60°（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线

10、段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15°时，求点F到BC的距离14（2016河南）如图，在RtABC中，ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作O分别交AC，BM于点D，E（1）求证：MD=ME；（2）填空：若AB=6，当AD=2DM时，DE=；连接OD，OE，当A的度数为时，四边形ODME是菱形15（2016·陕西）问题提出（1）如图，已知ABC，请画出ABC关于直线AC对称的三角形问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD

11、上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由问题解决（3）如图，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使EFG=90°，EF=FG=米，EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AFBF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由【知识归纳答案】一、矩形 1.定义有一个角是直角 的平行四边形

12、叫做矩形2.性质(1)矩形的四个角都是直角 ；(2)矩形的对角线互相平分并且相等 (3)矩形是一个轴对称图形，它有2 条对称轴3.判定(1)根据矩形的定义；(2)有 1 个角是直角的平行四边形是矩形；(3)对角线相等 的平行四边形是矩形二菱形1.定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质(1)菱形的四条边相等 ；(2)菱形的对角线互相垂直 平分；(3)每条对角线平分一组对角 (4)菱形是轴 对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点3.判定(1)根据菱形的定义；(2)四条边相等 的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直 的平行四边形是菱形三正方

13、形1.定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形2.性质正方形对边平行；正方形四边相等 ；正方形四个角都是直角 ；正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 ；正方形既是轴对称图形也是中心 图形，对称轴有四 条，对称中心是对角线的交点3.判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的矩形 是正方形；(3)有一个角是直角的菱形 是正方形【基础检测答案】1（2016舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A B C1 D【分析】过F作FHAE于H，根据矩形的性质得到AB=

14、CD，ABCD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论【解答】解：过F作FHAE于H，四边形ABCD是矩形，AB=CD，ABCD，AECF，四边形AECF是平行四边形，AF=CE，DE=BF，AF=3DE，AE=，FHA=D=DAF=90°，AFH+HAF=DAE+FAH=90°，DAE=AFH，ADEAFH，AE=AF，=3DE，DE=，故选D【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键2（201

15、6兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CEBD，DEAC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（）A2B4 C4D8【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可【解答】解：连接OE，与DC交于点F，四边形ABCD为矩形，OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，ODCE，OCDE，四边形ODEC为平行四边形，OD=OC，

16、四边形ODEC为菱形，DF=CF，OF=EF，DCOE，DEOA，且DE=OA，四边形ADEO为平行四边形，AD=2，DE=2，OE=2，即OF=EF=，在RtDEF中，根据勾股定理得：DF=1，即DC=2，则S菱形ODEC=OEDC=×2×2=2故选A【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键3. （2016·云南省昆明市·4分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EFAD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH下列结论：EG=DF；AEH

17、+ADH=180°；EHFDHC；若=，则3SEDH=13SDHC，其中结论正确的有（）A1个 B2个 C3个 D4个【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】根据题意可知ACD=45°，则GF=FC，则EG=EFGF=CDFC=DF；由SAS证明EHFDHC，得到HEF=HDC，从而AEH+ADH=AEF+HEF+ADFHDC=180°； 同证明EHFDHC即可；若=，则AE=2BE，可以证明EGHDFH，则EHG=DHF且EH=DH，则DHE=90°，EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=x，

18、CD=6x，则SDHC=×HM×CD=3x2，SEDH=×DH2=13x2 【解答】解：四边形ABCD为正方形，EFAD，EF=AD=CD，ACD=45°，GFC=90°，CFG为等腰直角三角形，GF=FC，EG=EFGF，DF=CDFC，EG=DF，故正确；CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，FH=CH，GFH=GFC=45°=HCD，在EHF和DHC中，EHFDHC（SAS），HEF=HDC，AEH+ADH=AEF+HEF+ADFHDC=AEF+ADF=180°，故正确；CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，FH=

19、CH，GFH=GFC=45°=HCD，在EHF和DHC中，EHFDHC（SAS），故正确；=，AE=2BE，CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，FH=GH，FHG=90°，EGH=FHG+HFG=90°+HFG=HFD，在EGH和DFH中，EGHDFH（SAS），EHG=DHF，EH=DH，DHE=EHG+DHG=DHF+DHG=FHG=90°，EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则SDHC=×HM×CD=3x2，SEDH=×DH2=13x2，3

20、SEDH=13SDHC，故正确；故选：D4（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件ACBC或AOB=90°或AB=BC使其成为菱形（只填一个即可）【考点】菱形的判定；平行四边形的性质【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可【解答】解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个适当的条件为：ACBC或AOB=90°或AB=BC使其成为菱形故答案为：ACBC或AOB=90°或AB=BC5. (2013山东烟台)如图，ABCD的周长为36对角线AC，BD相

21、交于点O点E是CD的中点BO=12则DOE的周长为_.【答案】15【解题思路】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，两组对边分别相等，可以分别求出OD、OE+DE的长，即可求解.ABCD的周长为36，BC+CD=18，四边形ABCD为平行四边形，O是BD的中点，OD=6,又E是CD的中点，OE是BCD的中位线，OE+DE=9，DOE的周长=OD+OE+DE=6+9=15【方法指导】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及整体思想的运用.求三角形的周长可以分别求出三边的长，但是本题较新颖，根据对角线的交点是对角线的中点，可以求出其中一边的长，而另外两边运用整体思想，求出这两边的长度和后

22、即可求解.在平行四边形中，由于对角线的交点即为中点，再加上另一中点，所以中位线定理是我们的首选.6. （2013四川雅安）在ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AECF(1)求证：ADECBF；(2)若DFBF，求证：四边形DEBF为菱形【答案】 (1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，AC， 又AECF，ADECBF (2)证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ABCD AECF， BEDF，BEDF， 四边形DEBF是平行四边形， DFBF，DEBF是菱形【解析】（1）首先根据平行四边形的性质可得ADBC，AC，再加上条件AECF可利用SAS证明ADECBF；（2

23、）首先证明DFBE，再加上条件ABCD可得四边形DEBF是平行四边形，又DFFB，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论【方法指导】此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质7.（2016·贵州安顺）如图，在ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道ABE为等边三角形这样菱形的高就可求了，用面

24、积公式可求得【解答】（1）证明：在ABCD中，AB=CD，BC=AD，ABC=CDA又BE=EC=BC，AF=DF=AD，BE=DFABECDF（2）解：四边形AECF为菱形时，AE=EC又点E是边BC的中点，BE=EC，即BE=AE又BC=2AB=4，AB=BC=BE，AB=BE=AE，即ABE为等边三角形，（6分）ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，（7分）菱形AECF的面积为2（8分）【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以ABE为等边三角形8（2016广西南宁）已

25、知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60°，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60°（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15°时，求点F到BC的距离【考点】四边形综合题【分析】（1）结论AE=EF=AF只要证明AE=AF即可证明AEF是等边三角形（2）欲证明BE=CF，只要证明BAECAF即可（3）过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，根据FH

26、=CFcos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题【解答】（1）解：结论AE=EF=AF理由：如图1中，连接AC，四边形ABCD是菱形，B=60°，AB=BC=CD=AD，B=D=60°，ABC，ADC是等边三角形，BAC=DAC=60°BE=EC，BAE=CAE=30°，AEBC，EAF=60°，CAF=DAF=30°，AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF是等边三角形，AE=EF=AF（2）证明：如图2中，BAC=EAF=60°，BAE=CAE，在BAE和CAF中，BAECAF，BE=CF（3）

27、解：过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，EAB=15°，ABC=60°，AEB=45°，在RTAGB中，ABC=60°AB=4，BG=2，AG=2，在RTAEG中，AEG=EAG=45°，AG=GE=2，EB=EGBG=22，AEBAFC，AE=AF，EB=CF=22，AEB=AFC=45°，EAF=60°，AE=AF，AEF是等边三角形，AEF=AFE=60°AEB=45°，AEF=60°，CEF=AEFAEB=15°，在RTEFH中，CEF=15°，EFH=7

28、5°，AFE=60°，AFH=EFHAFE=15°，AFC=45°，CFH=AFCAFH=30°，在RTCHF中，CFH=30°，CF=22，FH=CFcos30°=（22）=3点F到BC的距离为3【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题 【达标检测答案】一选择题（每小题4分，满分40分）1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则BFC为( )A45° B5

29、5° C60° D75°【答案】C【解析】四边形ABCD是正方形，AB= AD，ABC=BAD=90°，BAC=BCA=45°ADE是等边三角形，AE=AD，BCA=45°BCE=135°，AB=AD.ABE=15°CBF=75°BFC=60°故选C2（2016·四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）A对角线相等的四边形是矩形B矩形的对角线相等且互相平分C对角线互相平分的四边形是矩形D矩形的对角线互相垂直且平分【考点】矩形的判定与性质【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可【

30、解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键3.（2016·四川内江）下列命题中，真命题是( )A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相垂直的四边形是菱形C对角线互相平分的四边形是平行四边形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形答案C考点特殊四边形的判定。解析满足选项A或选项B中的条件时，不能推出四边形是平行四边形，

31、因此它们都是假命题由选项D中的条件只能推出四边形是菱形，因此也是假例题只有选项C中的命题是真命题故选C4（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后DAG的大小为（）A30°B45°C60°D75°【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出2=4，再利用平行线的性质得出1=2=3，进而得出答案【解答】解：如图所示：由题意可得：1=2，AN=MN，MGA=90°，则NG=AM，故AN=NG，则2=4，EFAB，4=

32、3，1=2=3=1/3×90°=30°，DAG=60°故选：C【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出2=4是解题关键5（2016·四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A B C D【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质【分析】过F作FHAD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF=2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到=，求得AM=AF=，根据相似三

33、角形的性质得到=，求得AN=AF=，即可得到结论【解答】解：过F作FHAD于H，交ED于O，则FH=AB=2BF=2FC，BC=AD=3，BF=AH=2，FC=HD=1，AF=2，OHAE，=，OH=AE=，OF=FHOH=2=，AEFO，AMEFMO，=，AM=AF=，ADBF，ANDFNB，=，AN=AF=，MN=ANAM=，故选B6（2016·湖北荆门·3分）如图，在矩形ABCD中（ADAB），点E是BC上一点，且DE=DA，AFDE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）AAFDDCE BAF=AD CAB=AF DBE=ADDF【考点】矩形的性质；全等三角形

34、的判定【分析】先根据已知条件判定判定AFDDCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可 【解答】解：（A）由矩形ABCD，AFDE可得C=AFD=90°，ADBC，ADF=DEC又DE=AD，AFDDCE（AAS），故（A）正确；（B）ADF不一定等于30°，直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由AFDDCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，AB=AF，故（C）正确；（D）由AFDDCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又BE=BCEC，BE=ADDF，故（D）正确；故选（B）二

35、填空题7. （2016·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为点E，若EAC=2CAD，则BAE=22.5度【考点】矩形的性质【分析】首先证明AEO是等腰直角三角形，求出OAB，OAE即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD，OA=OBOC，OAC=ODA，OAB=OBA，AOE=OAC+OCA=2OAC，EAC=2CAD，EAO=AOE，AEBD，AEO=90°，AOE=45°，OAB=OBA=67.5°，BAE=OABOAE=22.5°故答案为22.5

36、6;8. （2016·陕西）如图，在菱形ABCD中，ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为22【考点】菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质【分析】如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P此时PBC是等腰三角形，线段PD最短，求出BD即可解决问题【解答】解：如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P此时PBC是等腰三角形，线段PD最短，四边形ABCD是菱形，ABC=60°，AB=BC=CD=AD，ABC=A

37、DC=60°，ABC，ADC是等边三角形，BO=DO=×2=，BD=2BO=2，PD最小值=BDBP=22故答案为229. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 【答案】（4，4）【解析】连接AC、BD交于点E，如图所示：四边形ABCD是菱形，ACBD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），OD=2，BD=8，AE=OD=2，DE=4，AC=4，点C的坐标为：（4，4）；故答案为：（4，4）10. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7. 点E为DC上一个动点，把

38、ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在ABC的角平分线上时，DE的长为 . 【答案】或.【解析】如答图，连接B D'，过D'作MNAB，交AB于点N，交DC于点M，过D'作D'GBC于点G，点D'落在ABC的角平分线上，D'N= D'G.又NBG=900，四边形D'NBG是正方形，D'NB是等腰直角三角形.设BN=D'N=x，则AD=5，AB=7，AD'E是ADE沿AE折叠得到，AD'=5，.在RtD'NA中，由勾股定理得，即，解得.易证，EM D'D'NA，.当B

39、N=D'N=3时，；当BN=D'N=4时，.DE= D'E，DE的长为或.11. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为 【答案】【解析】在RtA1BB1中，由勾股定理可知；=，即正方形A1B1C1D1的面积=；在RtA2B1B2中，由勾股定理可知：=；即正方形A2B2C2D2的面积=，正方形AnBnCn

40、Dn的面积=故答案为：三解答题12.（2016·黑龙江哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQBE于点Q，DPAQ于点P（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，BAQ=ADP，再根据已知条件得到AQB=DPA，判定AQBDPA并得出结论；（2）根据AQAP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析【解答】解：（1）正方形ABCDAD=BA，BAD=90°，即BAQ+DAP=90&

41、#176;DPAQADP+DAP=90°BAQ=ADPAQBE于点Q，DPAQ于点PAQB=DPA=90°AQBDPA（AAS）AP=BQ（2）AQAP=PQAQBQ=PQDPAP=PQDPBQ=PQ13（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60°，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60°（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=

42、15°时，求点F到BC的距离【考点】四边形综合题【分析】（1）结论AE=EF=AF只要证明AE=AF即可证明AEF是等边三角形（2）欲证明BE=CF，只要证明BAECAF即可（3）过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，根据FH=CFcos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题【解答】（1）解：结论AE=EF=AF理由：如图1中，连接AC，四边形ABCD是菱形，B=60°，AB=BC=CD=AD，B=D=60°，ABC，ADC是等边三角形，BAC=DAC=60°BE=EC，BAE=CAE=30°，AEBC，EAF=6

43、0°，CAF=DAF=30°，AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF是等边三角形，AE=EF=AF（2）证明：如图2中，BAC=EAF=60°，BAE=CAE，在BAE和CAF中，BAECAF，BE=CF（3）解：过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，EAB=15°，ABC=60°，AEB=45°，在RTAGB中，ABC=60°AB=4，BG=2，AG=2，在RTAEG中，AEG=EAG=45°，AG=GE=2，EB=EGBG=22，AEBAFC，AE=AF，EB=CF=22，AEB=AFC=45&

44、#176;，EAF=60°，AE=AF，AEF是等边三角形，AEF=AFE=60°AEB=45°，AEF=60°，CEF=AEFAEB=15°，在RTEFH中，CEF=15°，EFH=75°，AFE=60°，AFH=EFHAFE=15°，AFC=45°，CFH=AFCAFH=30°，在RTCHF中，CFH=30°，CF=22，FH=CFcos30°=（22）=3点F到BC的距离为3【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知

45、识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题 14（2016河南）如图，在RtABC中，ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作O分别交AC，BM于点D，E（1）求证：MD=ME；（2）填空：若AB=6，当AD=2DM时，DE=2；连接OD，OE，当A的度数为60°时，四边形ODME是菱形【考点】菱形的判定【分析】（1）先证明A=ABM，再证明MDE=MBA，MED=A即可解决问题（2）由DEAB，得=即可解决问题当A=60°时，四边形ODME是菱形，只要证明ODE，DEM都是等边三角形即可【解答】（1）证明：ABC=90&

46、#176;，AM=MC，BM=AM=MC，A=ABM，四边形ABED是圆内接四边形，ADE+ABE=180°，又ADE+MDE=180°，MDE=MBA，同理证明：MED=A，MDE=MED，MD=ME（2）由（1）可知，A=MDE，DEAB，=，AD=2DM，DM：MA=1：3，DE=AB=×6=2故答案为2当A=60°时，四边形ODME是菱形理由：连接OD、OE，OA=OD，A=60°，AOD是等边三角形，AOD=60°，DEAB，ODE=AOD=60°，MDE=MED=A=60°，ODE，DEM都是等边三角形，OD=OE=EM=DM，四边形OEMD是菱形故答案为60°【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，记住菱形的三种判