（赵日初）数学思想在小学教学中应用

1、数学思想在小学数学中的应用赵日初岭南师范学院数学与计算科学学院摘要：数学作为一门教育学科，研究数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示空间形式，使数量关系的精确把握与空间形式的直观形象巧妙相结合，从中寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。作为教师可以运用数学学科数、形之间的关系，开展数形结合教学方法，引导学生构建一定的数学知识结构体系，深化小学数学课堂教学质量。关于小学数学包含的各类数学思想方法的研究论有很多，其中包括验证思想、数形结合思想和转化思想。关键词：数学思想、验证思想、数形结合、转化思想数学思想是以具体数学内容为载体，又高于具体数学

2、内容的一种指导思想和普遍试用的方法。它能使学生领悟数学的真谛，学会数学地思考和处理问题，是学生未来发展的重要基础。转化思想是数学思想的重要组成部分。它是从未知领域发展，通过数学元素之间的因果联系向已知领域转化，从中找出它们之间的本质联系，解决问题的一种思想方法。在小学数学中，主要表现为数学知识的某一形式向另一形式转变，即化新为旧、化繁为简、化曲为直、化数为形等。研究数学思想在课堂教学中的体现和作用。 1、 验证思想的应用1.1、在练习中的应用在递等式的计算中，人们为了巧算，常常会遇到几类许多同学容易出错的问题，以下利用验证思想逐一分析他们的错误。先看这样的题目675-114+386，学生会做出

3、如下的巧算：675-114+386=675-（114+386）=675-500=175。让我们回忆学过的计算法则：在只有加减法或只有乘除法的算式中，按照从左往右的顺序依次计算。那么我们就按照计算法则来把这题做一次： 675-114+386=561+386=947。人们会发现不同的方法做出来的是两个不同的结果，很显然计算法则是不会错的，因而是巧算出错了。这样我们通过验证思想，考证了巧算的错误。又从实际生活中去考证：小强有85元钱，买数学趣味书用去28元，回家后，妈妈给了小强32元钱。现在小强有多少元钱？85-28+32的计算，从而也让学生理解运算的真实含义。我们再利用这种思想方法来看看下面的做法

4、对不对：312-（146+112）=312-112+146=200+146=346这题需要应用去括号的知识，括号前面是减号里面的数字怎么变号，对学生来学容易搞错。还是按照运算法则进行下面的计算： 312-（146+112）=312-258=54。又从实际生活中去考证：小强有312元钱，买衣服用去146元，买鞋子用去了112元。现在小强还剩多少元？去让学生探究。这样我们验证了原来的方法是不对的。正确的巧算应该是 312-（146+112）=312-112-146=200-146=54。通过以上两个例子，我们感受到了验证思想在递等式巧算当中的作用。1.2、在课堂中渗透验证的思想让学生经历数学结果的

5、推导过程是学生构建数学思想的重要过程。例如在面积单位的关系中，我们来推导平方分米和平方厘米之间的关系时，我们利用验证思想来证实1平方分米=10000平方厘米。将一个边长为1米的正方形的各边长100等分，那么这个正方形被平分成10000个小正方形，并且每个小正方形的边长是1厘米，从而每个小正方形的面积是1平方厘米，这样10000个小正方形的面积是10000平方厘米。另一方面，大正方形的面积是1平方米，所以得到1平方米=10000平方厘米。又例如在体积单位的关系中，推导立方分米和立方厘米之间的关系时，我们利用验证思想来证实1立方分米=1000立方厘米。将一个棱长为1分米的正方体的棱长等分成100份

6、，那么这个正方体被平分成1000个小正方体，并且每个小正方体的棱长是1厘米米，从而每个小正方体的体积是1立方厘米，这样1000个小正方体的体积是1000立方厘米。另一方面，大正方体的体积是1立方分米，所以得到1立方分米=1000立方厘米。此过程我们可以借助图形、实物，这样更可以帮助学生理解。2、简单的数形结合的应用数形结合就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题

7、的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。2.1、渗透数形结合思想，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。例如：二年级数学第一册中乘法的引入用每组图像数量相同的引导学生列出同数相加的算式，再利用数形结合思想，直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂

8、得乘法的由来；另外借助学生已有的知识经验看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。二年级数学新教材第一册中通过游乐场主题图来引入乘法。在实际课堂教学中运用Power Point幻灯片技术展现一条船上有三人，然后依次出现这样的第二条船，第三条船，一直到第六条船，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示满是船的湖面一边提出：“如果有20条船，30条船，甚至100条船，你们怎么办呢？“学生一片哗然：哦！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！教师归纳：可用乘法算式表示船的条数乘以一条船的人数或者用一条船上的人数乘以船的条数。数

9、形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。由此可以看出，新教材的这个课题取得非常好，凸现了学习的过程性及数形结合在课堂教学中的重要性。教师对教材的加工，把6条小船增加到20条，30条，甚至100条船，使学生产生更为强烈的认知冲突，感悟到乘法的简便。教师引领学生边观察边数，一个3，两个3一直到x个3，起到了强化同数连加概念的效果。其次，从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的小船，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。教学实践证明：在教学中运用数形结合，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征

10、，激发了学生学习数学的兴趣,增强了学生的求新、求异意识。2.2、渗透数形结合思想，使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然。数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。如，学习“植树问题”时，先与学生们一起玩手指游戏。即出示两个手指，让学生观察，有几个手指几个间隔？“两个手指一个间隔。”接着出示三个手指，让学生观察，有几个手指几个间隔？“三个手指两个

11、间隔。”从而得出手指数和间隔数之间的关系是：手指数间隔数1。情境引入后，出示例题：“同学们要在长30米的小路一边植树，每隔5米种一棵，两端也要种。一共需要多少棵树苗？”然后让学生分组讨论，根据自己的理解列式解答，并设法验证。汇报时，有些学生是通过画示意图，进行“实地”植树来验证；更多的学生是通过画线段图来说明。大家均验证出：在两端都种的情况下，植树的总棵数间隔数1。又如，与学生们一起玩跳格游戏。在一个大圆圈上划分成12等份，从1跳到2，跳了几格？跳到3呢？跳到4、5、6、7、8、9、10、11、12、1呢？从而得出点数和间隔数之间的关系是：点数间隔数。出示例题：“在长50米，宽30米的操场四周

12、植树，每隔5米种一棵，四个角上都植上一棵。一共需要多少棵树苗？然后让学生分组讨论，汇报时，有些学生是通过画示意图，进行“实地”植树来验证；更多的学生是通过画线段图来说明。只要是首尾相接，植树的总棵数间隔数。像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解了分数乘分数的算理。2.3、渗透数形结合思想，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问

13、题简单化，抽象问题具体化，化难为易。能调动学生主动积极参与学习，能提高学生的思维能力。如：下例是从二年级数学第一册的一次练习中，此前，学生已经掌握“一个数的几倍是多少”和“一个数是另一个数的几倍”的知识。这道题的意思是：一个数减少几，另一个数减少到几才能使剩下的量是第一个量的几倍。如果没有图形只给出数量关系，对二年级学生来说比较难的，因为这是四年级知识。但是此题将图形与数量结合呈现，就大大降低了解题的难度，学生可以一边借助图形一边思考寻找解题方式。实际教学中有90%的学生做对了！而且这道题既包含了图形的表义，又揭示“倍”的含义，无形中把学生一般思维过渡到高级思维，并且训练了学生综合运用所学知识

14、处理问题的能力。这道题引发了学生的创新思路，它将学生头脑中原有的思维方式进行了更新，它的解题过程，成功地成为发动认识与构思的内在机制。又如：五年级数学下册第四单元：求三个数的最小公倍数。如求10、15和20的最小公倍数，因为20是10的倍数，可用圆圈圈数的方法去找出10和20的公倍数，结果学生就会发现所有是20的倍数，就一定是10的倍数。因此，只要求出15和20的最小公倍数，就必定是10、15和20的最小公倍数。数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象

15、之间的转化，发展学生的思维。2.4、分数教学中的数形结合在分数的教学中，很多问题我们可以利用数形结合的思想巧妙地解决问题。我们来看下面的例子：的值是多少？针对这个问题，大部分学生会自然地想到先通分再进行分数加法运算。现在我们利用图形的方法来解决这个问题，出示图形： 从图形中可以看出，与的每份的大小不一样， = 、 = ，而与的每份的大小一样。从这个例子中，利用数形结合的方法，把枯燥的代数问题转化成了规则的图形。2.5、生活问题中的数形结合在教学中，教师要联系生活实际，调动学生的知识储备和生活经验，积极的开展智力活动，采用合理方法来解决数学问题。比如：把32只荔枝，每5只装一盒，一共需要要多少个

16、盒子？通过图形出示：5只一份，分得6份，还剩2只。知道2只也要1个盒子去装，共要7个盒子，要用进一法。又如：有14米长的布料，做一套衣服要用3米布料，这些布料可做衣服多少套？通过图形出示：3米剪成一份，分得4份，还剩2米。知道2米布料做不了1套衣服，这些布料只做衣服4套，要用去尾法。3、转化思想的应用任何一个新知识，总是在原有知识的基础上发展和转化的结果。在实际教学中，教师可以把学生感到生疏的问题转化成比较熟悉的问题，并利用已有的知识加以解决，促使其快速高效地学习新知，而已有的知识就是这个新知的生长点。如空间与图形中的平行四边形、三角形、梯形等图形的面积公式推导，它们均是在学生认识了这些图形，

17、掌握了长方形面积的计算方法之后安排的，是整个小学阶段平面图形面积计算的一个重点，也是整个小学阶段中能较明显体现转化思想的内容之一。教学这些内容，一般是将要学习的图形转化成已经学会的图形，再引导学生比较后得出将要学习图形的面积计算例如，平行四边形的面积推导，当教师通过创设情境使学生产生迫切要求出平行四边形面积的需要时，可以将“怎样计算平行四边形的面积”直接抛向学生，让学生独立自由地思考。这个完全陌生的问题，需学生调动所有的相关知识及经验储备，寻找可能的方法，解决问题。当学生将没有学过的平行四边形的面积计算转化成已经学过的长方形的面积的时候，要让学生明确两个方面：一是在转化的过程中，把平行四边形剪一剪、拼一拼，最后得到的长方形和原来的平行四边形的面积是相等的(即等积转化)。在这个前提之下，长方形的长就是平行四边形的底，宽就是平行四边形的高，所以平行四边形的面积就等于底乘高。二是在转化完成之后，应提醒学生反思“为什么要转化成长方形的”。因为长方形的面积先前已经会计算了，所以，将不会的生疏的知识转化成了已经会了的、可以解决的知识，从而解决了新问题。在此过程中转化的思想也就随之潜入学生的心中。其他图形的教学亦是如此。1、