（汪正文）平面向量的数量积

1、高三数学（理）集体备课材料 主备人：汪正文平面向量的数量积一、教学目标1、理解平面向量的数量积的含义及其物理意义；2、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积求两个向量的夹角；3、掌握两个向量垂直的充要条件.二、重点、难点、易错（混）点、常考点平面向量数量积的含义及其应用.三、知识梳理【创新设计P70】四、精选例题+变式训练考点一平面向量数量积的运算【例1】(1)(2013·茂名二模)若向量a，b，c满足ab，且b·c0，则(2ab)·c_. (2)(2014·威海期末考试)已知a(1,2)，2ab(3,1)，则a·b_

2、.(3) 正三角形边长为2,设,则=_.规律揭示：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.【训练1】(1)已知向量与的夹角为,且,则_.(2)已知向量a,b,满足|a|=1,| b |=,a+b=(,1),则向量a+b与向量a-b的夹角是_.(3)在边长为3的正方形ABCD中,E为DC的中点,AE与BD相交于点F,则·的值为_.(4) 设点O是ABC的外心,AB=17,AC=15,则·=_.考点二向量的夹角与向量的模【例2】(1)(2013·安徽卷)若非零向

3、量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_ (2)已知向量a，b满足a·b0，|a|1，|b|2，则|2ab|_.规律揭示：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)|a|常用来求向量的模【训练1】(1)(2014·长沙模拟)已知向量a，b夹角为45°，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2)若平面向量a，b满足|a|1，|b|1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为，则a和b的夹角的取值范围是_【训练2】已知向量满足，则 .【训练3】已知平面向量,满足,的夹角等于,且,则的取值范围是 .考点三 平面向量的垂直问题【例3】已知a(c

4、os ，sin )，b(cos ，sin )(0<<<) (1)求证：ab与ab互相垂直； (2)若kab与akb的模相等，求(其中k为非零实数)规律揭示：(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明a·b0x1x2y1y20.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b0.(3)数量积的运算a·b0ab中，是对非零向量而言的，若a0，虽然有a·b0，但不能说ab.【训练1】已知平面向量a(，1)，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时

5、为零的实数k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t)【训练2】在四边形中，若且，则四边形的形状是 .【训练3】(1) 如图，在ABC中，BAC1200，ABAC2，D为BC边上的点，且，则 .(2) 如图，在等腰直角三角形ABC中，ACBC1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P是ABC（包括边界）内任一点则的取值范围为 ABCDECABMNP（第2题）五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法