数学分类讨论

1、分类讨论思想分类讨论思想 分类讨论型问题常与开放探究型问题综合分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识和灵活的思分类，都需要具备扎实的基础知识和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。分类讨论是中学数学中常用的一忌以偏概全。分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法，它能考查学生的综合的数学种数学思想方法，它能考查学生的综合的数学知识和灵活的应用能力，因此，分类讨论型问知识和灵活的应用能力，因此，分类讨论型问题也是题也是中考命题中

2、考命题的的热点热点之一，常出现在中考数之一，常出现在中考数学的压轴题中。学的压轴题中。 分类讨论思想，就是把要研究的数学对象按照一定的分类讨论思想，就是把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想。解的一种数学解题思想。 实质：实质：“化整为零，各个击破，再积零为整化整为零，各个击破，再积零为整”的策略。的策略。 作用：作用：克服思维的片面性，防止漏解。克服思维的片面性，防止漏解。 关键：关键：要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯，要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯，注意分类可能导致问题发

3、生质的变化的各种情况注意分类可能导致问题发生质的变化的各种情况。一、分类讨论思想定义与特点（1 1）确定分类对象；）确定分类对象；（2 2）进行合理分类（理清分类的界限，选择分类标）进行合理分类（理清分类的界限，选择分类标 准，并做到不重复、补遗漏）准，并做到不重复、补遗漏）; ;（3 3）逐类进行讨论）逐类进行讨论（4 4）归纳出结论）归纳出结论二、解答分类讨论问题的一般步骤三、分类讨论思想的常见题型1.1.实数化简实数化简 6.6.三角形相似三角形相似 2.2.等腰三角形等腰三角形 7.7.平行四边形平行四边形3.3.直角三角形直角三角形 8.8.函数函数 4.4.分式和不等式分式和不等式

4、 9.9.圆圆5.5.方程方程 10.10.动态问题动态问题1.1.分类讨论在实数化简中的应用分类讨论在实数化简中的应用 在实数中带有绝对值号，二次根式的化简中，应注意讨在实数中带有绝对值号，二次根式的化简中，应注意讨论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性，在保证各论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性，在保证各式有意义的前提下进行化简求解。式有意义的前提下进行化简求解。【例【例1 1】已知已知x x是实数，请化简是实数，请化简| |x x1|1|2x思路分析：思路分析：根据|a|的化简法则，当的化简法则，当a0时，时，|a|a，当a0,b+c=-m0,所以所以m=2m=2舍去，所以舍

5、去，所以m=-4,b+c=4,m=-4,b+c=4,所以所以ABCABC周长为周长为7.7. 综上所述：综上所述：ABCABC的周长为的周长为7.47.4或或7 7【例例4 4】ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ABAB的中垂线与的中垂线与ACAC所在的直线所在的直线相交所相交所得的锐角为得的锐角为40400 0，则底角，则底角B B的度数为的度数为 。6565或或 2525A ABCABC 思路分析思路分析： 由于不确定等腰三角形由于不确定等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，三的顶角是锐角还是钝角，三角形的腰上的高在该三角形角形的腰上的高在该三角形内部或外部，因此应分两种内部或外部，因此

6、应分两种情况讨论，如图所示：情况讨论，如图所示：(2)(2)在等腰三角形中求角在等腰三角形中求角【例【例5 5】已知等腰三角形的一个已知等腰三角形的一个内角内角为为7575则其顶角为（则其顶角为（ ）A. 30A. 30 B. 75 B. 75 C. 105 C. 105 D. 30 D. 30或或7575D思路分析：思路分析： 等腰三角形的一个内角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分等腰三角形的一个内角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分两种情况讨论。两种情况讨论。（3 3）由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类）由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类【例【例6 6】如图，已知二次函数】

7、如图，已知二次函数 的图象经过点的图象经过点 A(-2A(-2，m m）（）（m0),m0),与与 y y 轴交于点轴交于点 B B，ABABx x 轴，且轴，且B(0,-3)B(0,-3)0(2ccbxxy（1 1）求二次函数的解析式；）求二次函数的解析式；（2 2）如果二次函数的图象与）如果二次函数的图象与x x轴交于轴交于C C、D D两点（点两点（点C C在左侧）问线段在左侧）问线段BCBC上是否上是否存在点存在点P P，使，使POCPOC为为等腰三角形等腰三角形；如果；如果存在，求出点存在，求出点P P的坐标；如果不存在，的坐标；如果不存在，请说明理由请说明理由yOABCDxxOAB

8、-3-3CDP2-3-3yOC=OPOC=OP当当O O为顶点时为顶点时)(302，PxyOAB-3-3CDP3-3-3E2233 3CP=COCP=CO当当C C为顶点时为顶点时)(2232233，P045xyOAB-3-3CDP1-3-3EPC=POPC=PO当当P P为顶点为顶点)23,23(1P2【例【例7 7】在直角坐标系中，在直角坐标系中，O O为坐标原点，已知为坐标原点，已知 A A（1 1，1 1），在），在x x轴上确定点轴上确定点P P，使得，使得AOPAOP为为等腰三角形等腰三角形，则符合条件的，则符合条件的P P点共点共有有 个个4 4y yo ox xA (1,1)P

9、 P1 1P P3 3P P4 41-1-11当当A A为顶点时为顶点时OA=APOA=APP P1 1(2,0)(2,0).当当O O为顶点时为顶点时OA=OPOA=OPP P2 2P P2 2( ,0),( ,0), P P3 3( ,0),( ,0),2P P4 4( ( 1, 0 )1, 0 )当当P P为顶点时为顶点时AP=OPAP=OP2【例【例8 8】 在在RtRtABCABC中中,AB=6,BC=8,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径则这个三角形的外接圆直径是（是（ ） A. 5 B. 10 C. 5A. 5 B. 10 C. 5或或4 D. 104 D. 10或或8

10、 83.3.分类讨论在直角三角形中的应用分类讨论在直角三角形中的应用思路分析：思路分析： 直角三角形的边直角三角形的边BCBC可能是直角边也可能是斜边，所以可能是直角边也可能是斜边，所以必须分情况讨论。必须分情况讨论。D D（1 1）在直角三角形中找斜边：）在直角三角形中找斜边：-55108642-2DBCOyxE【例【例9 9】如图，】如图，在直角梯形在直角梯形OBCDOBCD中中,OB=8,OB=8，BC=1BC=1，CD=10CD=10，点，点P P在在x x轴上，若轴上，若PDCPDC是是直角三角形直角三角形，求过，求过D D、P P、C C三点的抛三点的抛物线解析式。物线解析式。（2

11、 2）在直角三角形中找直角：）在直角三角形中找直角：思路分析：思路分析： PDCPDC是直角三角形是直角三角形可能指可能指D D是直角顶点，也是直角顶点，也可能指可能指P P是直角顶点，也是直角顶点，也可能指可能指C C是直角顶点是直角顶点, ,所所以必须分情况讨论。以必须分情况讨论。当当D D为直角顶点为直角顶点Ex 过点过点C C作作CEODCEOD于于E,E,利用利用CDECDE DPODPO即可求即可求得点得点P P坐标，再利用一般坐标，再利用一般式求出抛物线的解析式。式求出抛物线的解析式。当当P P为直角顶点为直角顶点xy 点点P P在以在以CDCD为直径的为直径的圆上，利用圆上，利

12、用DOPDOP PBCPBC即可求得点即可求得点P P坐标，从而坐标，从而求出抛物线的解析式。求出抛物线的解析式。当当C C为直角顶点为直角顶点Fxy 过点过点C C作作CFODCFOD于于F,F,利用利用CDFCDF CPBCPB即可求即可求得点得点P P坐标，从而出抛物坐标，从而出抛物线的解析式。线的解析式。的取值范围是的值为负数，则已知分式_xxxx244.4.分类讨论在分式和不等式中的应用分类讨论在分式和不等式中的应用【例【例1010】即可。分别解这两个不等式组得异号，因此与负”知由“两数相除，异号得的不等式（组），关于的取值范围，需要建立欲求.;-0403204032324xxxxx

13、xxx思路分析：思路分析：423xx或_,pbcaacbcbap则已知121020-)()()(或时，当时，由等比性质得当进行讨论。的范围不确定，因而要由于pcbapcbacbabaccacbbapcbacba【例【例1111】思路分析：思路分析：取何值时无解？当的分式方程关于mxxmxxx,234222时，分式方程无解或，综上所述：当（时，当（时，）当（或可能是时，由于分式方程增根当时，方程无解当根，二是有两种，一是方程有增程无解的原因，观察发现造成分式方化简得到（通过去分母得641610122241012212211011012322-,)-)(,)-.)()(mmmxmmxmmmxmxm

14、xx5.5.分类讨论在方程中的应用分类讨论在方程中的应用【例【例1212】思路分析：思路分析：【例【例1313】 已知关于已知关于x x的方程的方程(k(k2 21)1)x x2 22(k2(k1)x1)x1 10 0有实有实数根，求数根，求k k的取值范围。的取值范围。思路分析：思路分析：11111088141410114101411012222kkkkkkkkkkkkxkkk的取值范围是综上所述：且，得（意得为一元二次方程，由题时，当时无解。当，时，当时，当种情况进行讨论。方程和一元二次方程两此方程应该分一元一次,)(),-,x-,【例14】如图，在ABC中，AB8，AC6，D为AC上一点

15、且AD2，点E是AB上一点，连接DE，若以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE的长是 _6.6.分类讨论在三角形相似中的应用分类讨论在三角形相似中的应用。可求得另一个时，得当可求得时，得）当（分两种情况讨论：以要点为公共顶点确定，所对应边不确定，只有形对应顶点、点位置，所以两个三角由于没有确定AEAEACADABADEABCAEADACAEABAEDABCAE,)(;,21思路分析：思路分析：A AB BC CD D3823或.,)(;,-,615146172325143271721或的长为综上所述：得时，有当得时，有）当（为则为可以假设论：，因而要分两种情况讨两个直角边对应不确定直角

16、顶点对应，都是直角三角形，只有与APxxxxBPCADPBPADBCAPxxxBCPADPBCADBPAPxBPxAPPABPDCD DA AB BC C.P P【例15】如图，在梯形梯形ABCD中，ADBC, ,A=90=900 0，AB7，AD2，BC=3，若在，若在AB上一点P,若以P、A、D为顶点的三角形与以以P、B、C为顶点的三角形为顶点的三角形相似，则PA的长是 _思路分析：思路分析：7-xx23【例【例1616】在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0 0，0 0）（）（4 4，0 0）（）（3 3，2 2），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶

17、），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（点不可能在（ ） A .A .第一象限第一象限 B .B .第二象限第二象限 C .C .第三象限第三象限 D .D .第四象限第四象限C C(3,2)(4,0)(7,2)(-1,2)(1,-2)7.7.分类讨论在平行四边形中的应用分类讨论在平行四边形中的应用331431xxyy或【例【例1717】 一次函数一次函数y=kx+by=kx+b的自变量的取值范围是的自变量的取值范围是 -3x -3x 6 6，相应的函数值的取值范围是，相应的函数值的取值范围是-5y-2 -5y-2 ，则这个函数的解，则这个函数的解析式析式 。 8.8.分类讨论在函

18、数中的应用分类讨论在函数中的应用思路分析：思路分析： “ “两点确定一条直线两点确定一条直线”，根据自变量与函数的取值范围，根据自变量与函数的取值范围，一次函数可能过（一次函数可能过（-3-3，-5-5）、（）、（6,-2);6,-2);也可能过（也可能过（-3-3，-2-2）、）、（6 6，-5-5），因此要分两种情况讨论。），因此要分两种情况讨论。【例【例1818】：函数函数y=y=a ax x2 2- -（a-3a-3）x+1x+1与与x x轴只有一个交点，求轴只有一个交点，求a a的的值与交点坐标。值与交点坐标。）时，交点是（当）时，交点是（当）时，交点是（综上所述：当）或（交点为（或

19、解得：（由题意得时，为二次函数当），交点为（时，为一次函数当要分两种情况讨论可能是二次函数，因而函数可能是一次函数也0319011030030191091043130031130222,-,1-,1,-,aa)-)(,-yaaaaaaaaxaaxyax思路分析：思路分析：512R【例【例1919】在】在RtRtABCABC中，中，C=90C=900 0，AC=3AC=3，BC=4BC=4。若以为圆心。若以为圆心, ,以以R R为半为半径的圆与径的圆与斜边斜边只有一个公共点，则只有一个公共点，则R R的的取值范围为多少？取值范围为多少？CBAD或或33R R44349.9.分类讨论在圆中的应用分

20、类讨论在圆中的应用【例【例2020】半径为】半径为1 1的两个等圆外切，则半径为的两个等圆外切，则半径为2 2且和这两个圆都且和这两个圆都相切相切的圆有几个？的圆有几个？（1 1）和两圆都外切）和两圆都外切（2 2）和两圆一内切一外切）和两圆一内切一外切（3 3）和两圆都内切）和两圆都内切思路分析：思路分析：练习：1 1、已知、已知O O的半径为的半径为5cm5cm，ABAB、CDCD是是O O的弦，且的弦，且AB=6cmAB=6cm， CD=8cmCD=8cm，ABABCDCD，则则ABAB与与CDCD之间的距离为之间的距离为 。7cm7cm或或1cm1cm2 2、ABCABC是半径为是半径

21、为2cm2cm的圆的内接三角形，若的圆的内接三角形，若BC=2cm,BC=2cm,则则 A A的度数是的度数是_ _ 60600 0或或1201200 03 3、半径为、半径为3cm3cm、5cm5cm的两圆相切，则它们的圆心距为的两圆相切，则它们的圆心距为 。8cm8cm或或2cm2cm4 4、已知两圆内切，一个圆的半径是、已知两圆内切，一个圆的半径是3 3，圆心距是，圆心距是2 2，那么另一个圆的半径是，那么另一个圆的半径是_。1 1或或5 55 5、点、点P P到圆上一点的最大距离是到圆上一点的最大距离是8cm8cm，最小距离是，最小距离是2cm,2cm,则圆的半径是则圆的半径是_。3c

22、m3cm或或5cm5cm6.6.若若O O为为ABCABC的外心，且的外心，且 BOC=60BOC=600 0 , ,则则BAC=BAC= 。 30300 0或或1501500 0【例【例2222】如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=20,AB=20厘米厘米,BC=4,BC=4厘米厘米, ,点点P P从点从点A A开始开始沿折线沿折线ABCDABCD以以4 4厘米厘米/ /秒的速度移动秒的速度移动, ,点点Q Q从点从点C C开始沿开始沿CDCD以以1 1厘米厘米/ /秒的速度移动秒的速度移动, ,如果点如果点P P和和Q Q分别从点分别从点A A、C C同时出发同时出发, ,当其中一当其中一个点到达个点到达D D点时点时, ,另一点也随之停止运动另一