纳米电子学-纳米电子器件输运理论

1、第7章 纳米电子器件输运理论7.1 引言7.2 隧穿理论7.2.1 隧穿的波函数描述方法 7.2.2 隧穿时间7.2.3 隧穿电流7.2.4 量子化电荷隧穿7.1 引言电子器件的性能决定于其中电子的输运特性，而电子输运特性与材料的能带结构密切相关。在一个特定的能带结构中，载流子运动可能包括多种复杂的物理过程。为了计算器件的IV特性，需要建立器件的输运模型。模型应当包括两个方面信息。(1)特定器件材料的能带结构与参数 能带结构决定于组成器件的特定材料以及特定的材料界面和结构。例如，在异质界面处，能带会产生偏移和变化(如弯曲)。载流子的输运模型需要尽量精确的载流子有效质量等由能带结构所决定的材料参

2、数。(2)适当形式的输运理论该理论必须能够模拟器件的主要输运过程。在模型中总是要进行简化、近似和数值离散化，但是，这些处理不能违反基本的物理规律和量子力学原理。可是，在实际上，有些简化和近似常常危及某一原理。按照第一性原理的观点，纳米器件一般来说是一个开放量子系统，在其中电子起码可以在某一维方向运动。而且是与时间相关的。同时，输运具有时间不可逆性和耗散性。输运过程中还存在多体作用。器件与周围的环境既存在粒子交换也存在能量交换。所以电子器件作为一个物理系统与简单的孤立量子系统有很大的区别，后者可以具有守恒的哈密顿量，对薛定谔方程加上适当的边界条件，相对较容易求解。而适用于这种开放器件系统的易子计

3、算的通用多体形式的量子理论尚没有建立起来。对于特定器件的某些性质的计算可以不用通用的多体理论。实际应用中广泛采用各种近似和简化的模型口针对主要输运过程的模型，可以使计算简化。最近，共振隧穿器件（Resonant Tunneing Device，RTD）模拟工作已取得明显进展，模拟结果在估计RTD的量子效应方面和应用于器件设计方面均获得丰硕的成果。量子器件的全面模拟问题需要用高级的量子输运理论，可能包括相当复杂的多带有效质量理论的形式，它应该是建立在密度矩阵基础上的量子统计理论。本书仅在量子输运的简化概念性框架下，给出各种简单纳米结构量子输运描述方法。这样的理论框架可以解释大多数纳米结构巾的介观

4、输运现象。如共振隧穿，单电子现象。但是，这些现象的一些细微特征，如，普适电导涨落电导峰幅值和间距则需要更高级的动力学理沦，如非平衡格林函数方法予以计算。人们已发展了各种不同层次的量子器件输运模型并已取得一定的成功。建立精确的量子器件模型源于一个基本的动机探索介观输运规律并对器件优化设计提供指导。这一点对于构思新型器件和促使实用器件的发展是必不可少的。另外，与纳米制造技术相比，量子输运的理论模拟相对滞后二量子器件的模拟尚没有达到像传统的MOS场效应管和双极晶体管那样的模拟能力。在这个意义上，在推进纳米电子学进步的时候，量子器件模型可以作为输运理论模拟能力的检验媒介。另一方面，纳米器件的量于输运问

5、题，由于器件具有复杂的材料和结构，其模拟对计算机模拟工具依赖性很强。所以在研究理论模型的同时，还需要加强计算机模型和数值求解方法以及相应软件的研究。7.2.1 隧穿的波函数描述方法在波动力学中，概率密度定义为是与时间相关的薛定谔方程的解。从薛定谔方程出发可以得到概率密度的连续性方程概率流密度，或者“流”可以写做1.单矩形对称势垒 如图7. 1所示，包含一个宽度为W=2a的，嵌人GaAs中的一层AlxGa1-xAs，平面型势垒结构。只要能带的非抛物线效应可以忽略，就可以采用单一能带有效质量模型系统的波函数，且可以分为相对于势垒的平行部分和垂直部分。所需要求解的包络函数方程为图7.1 单矩形隧穿势

6、垒其中，z（垂直于势垒）方向的定态方程为对于图7. 1所示结构.在每个区域可以写出分片连续的解式中由波函数的标准条件，可得到式中包括了势垒两边的有效质量，如果进一步假设两边材料的有效质量相等，在x=-a处，应用边界条件，可以得到解出系数之间的关系在z=a处，可以得到类似的，可以写成如下矩阵方程由式（7.9）和（7.11）可得式中假设在势垒的右边仅有出射波，没有入射波，即假设式(7.12)中，F=0。势垒左边的入射波幅为A，射向势垒的概率流为式中,v是粒子的群速度。对于对称势垒的问题，入射波与幅值G相关的出射(或者称透射)波具有相同的群速度透射系数定义为透射与人射流密度的比率由(7.13)式可以

7、得到u 如果2a<<1u 如果2a>>1反射系数用反射与入射流密度的比定义显然，透射和反射系数的和为1，即，R+T=1。以上讨论的情况是假设粒子的能量小于势垒高度V0。对于能量大于势垒高度，上面的讨论一样成立，只不过是复数。令=-ik，相应的透射系数为振荡的，式(7.19)成为图7.2给出不同势垒高度透射参数随能量变化曲线。入射粒子能量低于势垒，随着粒子能量与势垒高度的差增加，透射概率呈指数衰减;入射粒子能量高于势垒，当能量E增大时，透射系数振荡趋于1，正如（7.23)式所预测的。图7.2 单对称势垒透射系数随能量变化2.非对称单矩形势垒非对称势垒可以认为是在势垒的左边

8、与右边之间加上了电压q-1V1(V1是静电能)的系统的一个粗略的近似(当然，加了电压以后，势垒高度V0将降低，为简单忽略掉这一效应)。波函数稍微复杂一些，为入射粒子能量为E，而由波函数边界连续条件可得同样假设势垒两边粒子有相同的有效质量。再一次构成连接矩阵，相应界面矩阵级联结果形成整个势垒的组合矩阵。复共扼关系式仍然正确，矩阵的行列式不再是1，而是比值k1/k0。左到右的透射和反射系数分别由入射流与透射流之比，入射流与反射流之比得到，比对称势垒稍微复杂一些是由于两个区域粒子的群速度不同 如果考虑在同样势垒的情况下，相反方向的透射系数，设A=0并求从右到左的透射流与入射流的比率能够从(7.12)

9、式的两个方程令A=0解出B作为F的函数，得到透射系数与入射波的入射方向无关！3.散射矩阵用势垒两边出射波系数B和G，与入射波系数A和F之间的关系定义不同的矩阵，而得到式中，S称为散射矩阵或S矩阵。透射和反射系数也可以令F=0，而用S矩阵表示出来如果考虑来自右边而不是来自左边的人射波，令A=0，透射和反射系数为它等于从左边到右边的透射系数。很明显，S矩阵是势散射问题自然的表示，因为对角元与反射系数直接相关，而非对角元与透射系数有关。4.双矩形势垒 假设在图7.4所示的对称双势垒结构中，连接A、B与G、F， A、B与G、F的传输矩阵可以由单势垒的结果得到。因为这里的系数相当于一个系统中统一波函数在

10、不同点的值。系数之间的差别只是简单的相位上的差别，对于向右传播的波有:,b是图7.4中阱的宽度，k是波在阱区域内的传播常数(即波矢)。图7.4 两个单势垒组合成为双势垒结构同样，对于向左传播的波有利用这两个关系可以定义一个传输矩阵Mw，它连接两个势垒的系数Ml和MR分别是左、右势垒的传输矩阵。双势垒结构的透射系数也与组合矩阵元MT11，平方的倒数相联系。由（7.43）式，MT11可简单写为共振行为可以通过出现在表示式里的相因子确定。这些相因子在MT11最小时为零，它将给出透射系数的峰值行为。5.完全对称矩形双势垒对称双势垒的情形下，传播常数k在阱中及其左边和右边区域有相同的值。进一步假设，两个

11、势垒有相同的宽度(aL=aR=a)、同样的高度和同样的衰减常数这样可以对出现在式(7.45)中的矩阵ML和MR用对称单势垒的公式(7.12)-(7.15)式。单势垒的矩阵元M11写为极坐标的形式其中，由(7.13)式的M11，可以得到而相位为代人式(7.45)并取平方(应用了M12=M21*)得到右边第一个括号是M矩阵的行列式，对于对称矩形势垒，如前所讨论的，它等于1。这样整个透射系数为式中，T1和R1分别为单对称势垒的透射和反射系数。u 当时，总透射系数最小，对应非共振情况，此时有u 当余弦函数为零的时候，产生共振。在对称势垒的情形，透射系数趋于1，即这表明在一个窄的能量范围，穿透系数可以达

12、到1。共振能级可以认为是两个势垒之间形成的有限深阱中的准束缚态能级。当入射电子能量与这些准束缚态能级之中的一个对准时，电于的波就发生明显的透射。在共振时，电于的波在两个势垒之间以相干的方式来回反射。入射波激发共振能级，直至达到一个稳态。在该态入射波与出射波达到平衡，总的透射概率是1。 为了用以上的结论说明共振隧穿二极管，图7.5给出三个不同宽度的对称GaAs/AlAs双势垒透射系数的计算结果。图7.5 GaAs/AlAs双势垒结构及透射系数作为电子能量Ex函数的计算结果6.非对称双势垒 非对称双势垒的能带图由图3.6给出。可以近似看做是给对称势垒左右两边区域加上偏置电压的结果。现在必须分别考虑

13、组合势垒的左边和右边区域以及阱区的波矢，这些波矢分别表示为k，k1和K2。电子在两个势垒中衰减常数不同，但是(7.45)式的结果仍然正确，因此，该式可以作为寻找解的基本方程。图7.6 非对称双势垒 在(7.27)式和(7.28)式的基础上。推导非对称双势垒的传输矩阵。引人极坐标，与透射系数相关的(7.45)式中的矩阵元可以表示为代人(7.45)式得到组合传输矩阵元平方应用非对称单势垒左边和右边的透射和反射系数表示出(7.62)式中的矩阵元对应的透射系数，可以得到组合结构的透射系数在共振的时候,分母中右边的项为零。如果透射系数TL、TR比较小(一般情况如此)，分母中的反射系数可以展开为总的透射系

14、数是当式(7.63)中的余弦函数为1时，产生非共振最小透射。 这时分母中右边的项是主要的，因为透射因子于TL，TR均远远小于1时，它在1左右。非共振透射系数由下式给出这一结果表明对于非共振条件下，阱不起主要作用;也就是说双势垒结构的行为就相当于两个独立的势垒。通过像RTD这种结构的隧穿时间与处于阱中局域态的电子的退化时间相关。接近共振，可以把出现在(7.50)式和(7.63)式分母中的余弦函数的平方项围绕某一个共振能级En展开。在接近共振能级处有Lorentz形式非对称双势垒的透射可以围绕共振能级En，作类似展开，为7.2.2 隧穿时间对于一个开放系统，薛定谔方程的解可以像一般量子力学教科书所

15、讲的那样，用从局域散射中心的出射波来构造。按一般量子力学规定，仅用出射态表示解是不完全的，因为Hamilton量不是Hermit的。因此，能量本征值是复数，复能量的实部对应于阱中准束缚态的能量，由共振条件(7.52)式给出的;而虚部对应于粒子出现在量子阱中的概率密度的退化,。这样可以将共振峰宽度的倒数与电子从阱中逃逸的退化时间相联系，也就定性地与隧穿的固有延迟时间相联系。共振峰越尖锐.从阱中逃出的退化时间越长。(*)另一个与电子穿越势垒区域的时间有更密切关系的定义是波包的退化时间，被称为相位时间(phase time)。如果最初有一个Causs波包位于势垒左边，透射波包增加一个附加的相位，该相

16、位与复透射幅值的关系是是透射幅值，是的相位。 如果波包在动量空问是一个围绕波矢k、尖锐的函数，经过t时间以后波包的位置由下式给出<x(0)>是初始粒子的平均位置，并且作为渐进解展开波包峰的位置。第一项正好是与群速度相联系的半经典延迟，而第二项表示在隧穿区域多次反射相联系的延迟。对于非共振输运，第二项是比较小，所以与经典隧穿轨道相比仅有一个小的延迟。对于共振情况，波包可以在量子阱中来回反射多次，从而产生相当大的延迟。7.2.3 隧穿电流1.相干隧穿（coherent tunneling）为了将量子力学中的几率流与器件的电流相联系，需要引人统计力学分布函数，描述与入射和穿过势垒的透射相

17、联系的态占据状况。 在初始的模型中，假设在势垒结构的左边和右边各有一个接触盘或接收器，它们基本上处于平衡态，并且由费米能级标志的Fermi-Dirac函数所描述。加有偏置的隧穿势垒结构如图7.7所示。所加偏置使得左边和右边的费米能级相差eV的量值。假设势垒两边的哈密顿量都可以分为垂直方向(z方向)分量和横向方向分量，如果选择势能的零点在势垒左边导带的最小处，即Ec,l=0，隧穿前后粒子的能量可以写为图7.7因为假设横向动量在隧穿过程中是守恒的，势垒左边和右边z方向的能量有如下关系假设接触端具有完全吸收的性质。这意味着，当粒子从一边注人到达另一边的接触区域，它的相位是相干的，而过剩能量通过与接触

18、端费米海中其他电子的非弹性碰撞而耗散掉。按照这个图像，考虑垂直势垒沿z方向的电流密度，能量E是确定的，其z分量为Ez。在势垒左边动量空问围绕kl一个无限小的体积元dkl内，从左边人射的电流密度可以写为式中，fl是势垒左边电子库中载流子的分布函数。D(k)是k空间的态密度。左边载流子垂直于势垒方向的速度为这样假设一边的接触端中，一定能量E的电子，具有由边界条件和势垒所决定的透射概率T(E)，透射过程中保持动量和能量守恒，最终被另一边的接触端所吸收，失去对能量和先前态的记忆。在这样的图像下，电流的流动正比于每单位时间沿两个相反方向通过势垒的粒子数目的差。这种隧穿观点被认为是相干隧穿，因为粒子在跨越

19、整个结构而在接触端中失去能量之前保持了相位的相干性。从左边到右边的透射电流密度简单由( 7.79 )式加上透射系数作为权重而得到 式中，T(kz)是理想情况的透射系数，仅是垂直方向动量和能量的函数。同样，从右向左的透射电流为沿电压降的方向的净电流是左边与右边透射流对所有k值积分的差，即对左边和右边的分布函数作出进一步的假设。最低阶的近似是假设分布函数是势垒两边电子库中费米能级决定的平衡费米-狄拉克分布函数同样，横向波矢的积分转化为对整个能量的积分。假设能带为抛物型的，(7.83)式成为采用费米-狄拉克分布函数，对能量积分容易计算，得到这个公式有时被称为Tsu-Esaki公式，对数项有时称做供应

20、supply函数，因为在给定垂直方向能量的情况下，它决定可以利用的载流子的相对权重。2.非相干或相继隧穿(Icoherent or sequential tunneling）图7.10给出说明电子按照这种隧穿机制通过双势垒结构的示意图。图中Ic为相干隧穿产生的电流。Is为相继隧穿产生的电流。图7.10 RTD结构中非相干隧穿说明 载流子首先隧穿通过第一个势垒，进入量子阱中，并融人阱中的2DEG。接着在那里通过散射过程失去对相位的记忆。相位随机化后的载流子经过第二个不相干的隧穿过程通过第二个势垒。这种隧穿过程被称为相继隧穿过程或不相干隧穿过程。 载流子通过第一个势垒时总能量守恒，即Kt,e和Kt

21、,w 表示发射极和阱中的波矢。如果隧穿过程本身是能量守恒的，横向动量也是守恒的，产生隧穿的条件为因为波矢的垂直分量kz是实的，当Ec>En时.也就是，当发射极的导带边高于阱的束缚态能量时，没有电子能够在保持横向动量守恒的情况下产生隧穿。在低温下，只有Ec<En而费米能级高于束缚态能级才有电子隧穿。可以隧穿的电于的产生自EF-En的范围内。一旦上式的条件被破坏，电流突然降低，就会产生负微分电阻现象。 7.2.4 量子化电荷隧穿1.隧穿哈密顿本章前面一部分用散射矩阵描述隧穿。历史上，建立在转换或者隧穿哈密顿量基础上的方法也同样成功地应用于隧穿问题。这种技术曾经广泛用于描述超导隧道结的输运。现在这种方法已成为描述包括库仑阻断效应的小隧道结输运的基本理论方法。在隧穿哈密顿方法中。隧道势垒作为对于比较大(包括电极)系统的微扰。可以通过时间相关的微扰论计算从左边到右边(以及从右边到左边)粒子转移速率来描述隧穿电流。因此，仅当微扰充分小时，这种描述方法才是正确