抛物线的焦点弦问题(重要结论-绝对经典)

1、抛物线的焦点弦性质 例1过抛物线产=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 线相交，两交点为此1,门)、B(*,y)则 (1)|AB|=xi+m+p； 通径长为2 p； (3)X!X2=p2/4;门门=9?； (4)若直线AB的侦斜角为8,则AB =2p sin (5)以AB为直径的圆与准线相切； 焦点F对A、B在准线上射影的张角为90。.G 112西-西=万过抛物线y'2Px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点 为A(M,yD、Bgy)则(3)、iM=p?/4; yiy?=p?； 证明：法3韦达定理 r当mb _苜由时，易得 A ( > p) , B (&

2、gt; 一 2, 2二 yj：=-p* x：x：=g； 25斜率存在时设为k, (k 则直线AB方程为y=k ( x- y) 代入抛物线方程y： =21消元得y： = 2次工-二)即y：-®-加=0 k 2k法2:由题知AB不与x轴平行，设且5方程为工=”-与，(?n e R) f y: - 2px2尸=J： = 2p(冽+ 4)即 y2 - 2 pmy - p2 - Qx = wy + 4-2 > ：>： = - P' (定值)二 X ：x： = 2.由J (定值) p a p q p q法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°。解：过.

3、；，3点作准线的垂线，垂足二尸(一孝)。(-争光)，尸(争。) ，VPF.0F :.PF-OF = 0即(Pf)(P7)= 0, P' + >j= 0 即比=一p-易得： XjX; = £为R2过抛物线y、2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交两交点为A(X,、D、B(xl),则(4)若直线XB的倾斜角为。则AB|=2p sin? 0证明：|AB|=|AF|+|BF尸 X： +X2 +夕(1) 6 = 90：时，k不存在，易得A (E, p) , B (E, -p) ,_22|AB|=2P= 1 1sin-90-(2) 6 *90：时，斜率r = ian区直

4、线方程为Yr2P sin.d然后联立方程组用韦达定理得|ab| =p-x；-X:思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短故以AB为直径的圆与准线相切.过抛物线y'2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交.两交点为 a(m,vD、B(x2,y2)J5M 证明：如图，焦点F对A. B在准线上射影的张角为90% B一证明：如图，Z1=Z 2 = Z3, Z 4=Z 5 = N6,又 /1- N4 - N3 - N6 = 180°,Zl- Z4 = N3 - N6Nl- N4 = 90：,即N月尸5 = 90°过抛物线y?=2px(p:0)的焦点的一条直线

5、和抛物线相交，两交点为 A(M,yD，B(m,门)贝J ")鼻一品=二证明：(7)以门=/+旨|3尸|=X; + W以尸I BF八+冬与 优+41北+今) 工工X /VX /例2若直线过定点、I(s,0)(s>0)与抛物线y?=2p、(p>0)交于A(xi,yi卜B(M,y)求证：X!X：=s:; d=2ps证明：设45的方程Rx=my+s (m R)代人抛物线得2Pmy -2ps=0,=-2/2S x.x：例3若直线与抛物线y?=2px(p>0)交于AGio D，B(x经?),且有 x1x2=s2; yiy?=2ps.求证：直线过定点(s,0)(s>0).证

6、明旧:外相减得一谷八 2 = 2 px.X x2二.直线MB方程为y -力=(X -X) ,>1 + 打令y = 0得-y - yyz = 2px- 2Pxi 因为J：i=2px：, y；y； = -2ps代入上式得 X = 5二直线月5必过点(5,0 )证明：Q)AO交准线于C则直线CB平行于抛线的对称轴.A例4过抛物线y?=2Px(p>0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于证明：设直线的方程：x =加 1 -三代入=2 px,得J一 一 2pmy = 0.设4 X，梵)，5( x:, >2)则歹必=-0二Ty二工 X=T联立得以-衿)X.222x.pyx py： -p: y

7、y2 1一" V 1 2xi 2"”2p. BC | X轴 例4过抛物线y'2Px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(xi,yi). B(x2,y2),证明：过B作BC1准线1,垂足为C,则AC过原点双线.证明：设直线的方程：>/x = "+与:弋入 / = 2Px:得y: -2pmy-pz =0._ o /f设Xx：, “，Xx;, y:)则N咫=-匚S ZNl*/ BX轴二 C(-3,即 C(-, 弋;?22 w、.。|。.4且共点。,，直线/。过点。抛物线中的直角三角形问题例5 A. 6是抛物线/ = 2八Q>0)上的两点，且。4

8、1。凡(1)求人5两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线4B过定点；(3)求弦.必中点P的轨迹方程；(4)求.403面积的最小值；(5)求。在48上的射影J琳迹方程.例5 A. 5是抛物线j' = 2"Q；，0）上的两点，且。.4108,”x2(1)求4、刀两点的横坐标之积和纵坐标之积；Q)设Wgm),中点pg,*), ka4 k0BV OA ± OBk0Kk0B=-l,二工1三七此=0; jf = 2pxv jy = 2pxz -立.&! + o；2p Ip:对, J'D?=-4p? :. xxx2=4p2.例5 A, 5是抛物线产=2内3

9、0）上的两点，且。41。兄 (2)求证：直线”过定点；解答(2) .:1/=2内1，y=2px. /. (n-vjXvj+)*：) =.2P_ 2p* *一 .- - K.4B '一三八+比Vi + V2：直线45 : y -y = 2P (x-xx)2Px + I，】_ 2Pxi . v ： 2" Fi2 PA +”J'l+J'2 一 .l'l+J'2 - J、l+$2 n+n-4pJi +J22 、/ 22Px： y = 2,为，yy2 = Tp /. y =+2J'1+4二 $ =T-(x-2p)T6 过定点 T(2“0).例5

10、3 8是抛物线/ = 2riQ>0）上的两点，且。41。兄（3）求弦工与中点P的轨迹方程；设。.4：j = kv,代入，=如得-0, 同理，T以代&得以2夕艮-29）.N二 %=（&）、2 P P即 行=内）-2夕"二中点"轨迹方程J'=px-2"例5 A.刀是抛物线/ = 2内伽>0）上的两点，且。/I。凡（4）求口。6面积的最小值；（4） ,«* S、405 = Sxo + 50M=：|。71（1外| + | 先 I）=P（IJ'1I + | 先 I） AB22入伍ET = 4p当且仅当网=心|=22时，等号成立.例5 A. 6是抛物线产=2八">0)上的两点，且。(5)求。在”上的射影M轨迹方程.(5)法一：设Mg，.门)，则=,_ X3/*出=77. .45 ：y-y3=-(x-x3)J、入即x = - (v- v3) + 叼代入>''=2px得. “.2)二 十 一。】W y - "" 2 p& =" 由(D知 9 .Vlv2=4P：,'£ ' 丫32* 一 + 2px3 =4p2整理得：疗出 -2Px3=0,弓二点