2022年线性代数复习——计算或应用题

1、一21.设123, 线性无关，证明112，223，331也线性无关。22.计算行列式1110110110110111。23.利用逆矩阵解矩阵方程x11012011-111011-1。24.已知1120121012aaa，求 a 的值，使得()r a2。25.求向量组1110，2011，3121，4101的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。26.求矩阵 a=2112的特征值与特征向量。27.讨论当取何值时， 齐次线性方程组12312312343023020 xxxxxxxxx有非零解， 并在有非零解时求其通解。参考答案 ：21.如果112233kkko，112223

2、331()()()kkko，于是131122233()()()kkkkkko，由123,线性无关知1312230,0,0,kkkkkk此方程组只有零解1230,0,0kkk，因此123,线性无关。22.1110110110110111=1110001101010111=01 1101111=011101003=-10101 10033 23. 1121101-1101111-1101-111故1x11012011-111011-1121-111211-1-11-1111-11230-14-1-2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，

3、共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - -24.11 20001012012012012101 2101 2000aaaaaaa当 a=0 时，()r a2。25.记1234,a，a101110111120011101110000向量组的秩1234(,)()2rr a所以1,2是向量组的一个极大线性无关组，且3=1,+2，4=1,2。26.由特征方程21|12ea（ -3）1（）=0 得 a 的特征值1213，。对于特征值11，解方程组1)e

4、a xo（，求得一个基础解系111，故 a 的属于11的全部特征向量为11k，1k 为任意非零数。对于特征值23，解方程组2)ea xo（，即120 xx，求得一个基础解系211，故 a 的属于23的全部特征向量为22k，2k 为任意非零数。27.对增广矩阵作初等行变换得14323112a143011003101011003当3 时r(a) 2 3方程组有非零解。 此时对应方程组为132300 xxxx，基础解系为1x =( 1 1 1)t，所求通解为1xkx ，k 为任意常数。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 -

5、 - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - -二21.设12为 n 阶方阵 a 的两个互不相等的特征值与之对应的特征向量分别为x1x2证明 x1x2不是矩阵a 的特征向量。22.设函数22112( )112211f xxx求方程 f(x) 0 的根。23.解矩阵方程142031121 101x。24.若向量组 1(1 1 1)t2(1 2 3)t3(1 3 t)t线性相关求（ 1）t 的值； （2）将 3表示为 1和 2的线性组合。25.求方程组12312312

6、3320,50,3580.xxxxxxxxx的一个基础解系和通解。26. 已知二次型 f2x1x22x2x32x3x1 (1)求出二次型 f 的矩阵 a的特征值(2)写出二次型 f的标准形。27.当 取何值时方程组12323331 223 (1)(3)(1)xxxxxxx有唯一解，并求解。参考答案 :21.假设 x1x2是矩阵 a 的属于特征向量，即a(x1x2)（x1x2）因为ax1=1x1， ax22x2，所以a(x1x2) ax1ax21x12x2，消减（-1）x1（ -2） x2=o 因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以x1， x2线性无关，得 -1= -2=0 既 =1=2，矛

7、盾。22.2222112112( )112004211211f xxxxx22112004013xx220413xx22(4)(1)xx，得方程 f(x) 0 的根为 x1 x2。23.因为11142412116, 1120101 1122, 所以11143120120111x=12431101101121211212301224. (1)记123,a， 因为1 1 1| 1 2 351 3att因为向量组123,线性相关充分必精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择

8、p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - -要条件是0a，所以当t 5 时 向量组123,线性相关 ) （2）由 x11x223因为增广矩阵123,=1 1 11 011 2 30 121 3 50 00得方程组的解为x11 x22 从而3122。25.132132151021358042a132011/ 2000107 / 2011/ 2000方程组的一个基础解系为 x1(-7/2 1/2 1)t方程组的通解 x k x1(k 为任意常数 )。26.(1) 二次型 f 的矩阵为011101110a因为211|

9、11(1) (2)11ae所以 a的特征值为12132。(2) 二次型 f化为标准形为2221232fyyy27.对增广矩阵进行初等行变换得1111111102120212(,)00130013001(3)(1)0002(3)(1)a b当3 或1 时 r(a b) r(a) 3方程组有唯一解；当3 时，解为3 1,02 2t；当1 时，解为73, 222t。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

10、 4 页，共 17 页 - - - - - - - - -三21.若 ako(k 是正整数 )求证 (e a)1e a a2ak1。22. 计算行列式xyxyyxyxxyxy。23.111121011011001x。24.已知(1 2 3)11(1 )23设 at求 a 及 an25.求向量组1242，2110，3231，4352的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。26.求解线性方程组1212341234522153223xxxxxxxxxx的通解。27.判断矩阵a2112是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。参考答案 : 21.由ako得e ake o

11、 e而e ak(e a)(e a a2ak1)所以(e a)(e a a2ak1) e因此 (e a)可逆且(e a)1e aa2ak1 22.xyxyyxyxxyxy=2()2()2()xyyxyxyxyxxyxy12() 11yxyxyxyxxy=12() 00yxyxyxyxyx=2()xyxyxyx=-332()xy23.1111011001=110011001111 112101 101100 1x110121011011001x=13301224.t3(t是个数 )an(t)(t)(t)t(t)(t)(t)t(t)n1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

12、- - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - -1t11112311 12332 (1 )212 3333312nn25.记1234,a，a21234135201221230111011121230111000020120111000011012011100001234,记=c，所以向量组的秩1234(,)()()2rr ar c；因为12,是列向量组1234,的一个极大线性无关组，所以12,是向量组1234,的

13、一个极大线性无关组，(2 分)并且31212，412。26.对增广矩阵作初等行变换得1100510108()211210110135322300012a b对应的方程组为132348132xxxxx取 x30，得方程组的一个特解为0x( 8 13 0 2)t取 x31，得导出组13234000 xxxxx的一个基础解系1x( 1 1 1 0)t，所求方程组的通解为011xxk x ，其中1k为任意常数。27.由221|(2)112ea=0，得 a 的特征值11，23。对11，解方程组)ea xo（，得其一个基础解系111；对23，解方程组)ea xo（3，得其一个基础解系211；因为矩阵 a

14、有两个线性无关的特征向量，所以a 可相似对角化取1211(,)11p， 则1pap =1003。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - -四21. 设方程组：121xxa ，232xxa ，343xxa ，454xxa ，515xxa 证明方程组有解的充分必要条件是510iia。22.计算行列式1234234134124123。23.设3000

15、11014a361123b满足 ax=2x+b求 x。24.设1110，2101，3002，314， (1)验证123, 线性无关；（2）将 用123, 线性表示。26.求矩阵100252241a的特征值和特征向量。27.设12 31 2323kkka, 试讨论 k 为何值时 ,（ 1） ）r(a) 1； （2） r(a) 2； （3）r(a) 3。参考答案 : 21.方程组的增广矩阵12345110000110000110(, )0001110001aaaa baa1234511100001100001100001100000iiaaaaa前四行都加到第五行因为方程组有解的充分必要条件是r(

16、a b) r(a) 。所以方程组有解的充分必要条件是510iia。22.1234234134124123=10234103411041210123=101234134114121123=101234011302220111=201234011301110111=201234011300220004160 23.(a 2e)x b,因为1002011012ae, 1100(2)021011ae,精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

17、- - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - -所以x (a 2e)1b110036360111141012233224.记123110,100012a，因为()3r a，或者axo只有零解，所以123,线性无关。或因为0a，所以123,线性无关。由112233xxx，即110100012123xxx=314，得惟一解：1231,2,1xxx故1223。25.111021832101a1110036301211110012100211001/ 201000011/ 2方程组的一个基础解系为x1(1/2,0,-1/2,1)t方程组的通解x k x1(k

18、 为任意常数 )。26.由2100|252(1) (3)241ea=0，得a的特征值11（二重），23。对11，将方程组)ea xo（化简为1232420 xxx，它的一个基础解系为1210，2101。a的属于11的全部特征向量为11k+22k(1k ,2k 不全为零 )。对23，解方程组)ea xo（3，即112312320,2220,2440,xxxxxxx它的一个基础解系为3011。a的属于23的全部特征向量为3k(0k)。27.2123123123022332302233kkkkkkkka21230223300633kkkkk=b 。精品学习资料 可选择p d f - - - - -

19、- - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - (1) 当k=1时， b =123000000,()r a1 (2) 当k=-2时， b =126069000,()r a2;(3) 当1.2k时，123023001k，()r a3。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p

20、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - -五21.如果方阵 a 满足2aa ，则 a 的特征值只有0 或者 1。22.计算行列式xyyyyxyyyyxyyyyx。23.已知1pap, 其中1411p,1 002, 求2a，a11。24.设 3 阶方阵 a b c 满足方程c(2a b) a求矩阵 a其中123012001b124012001c。25.求向量组1 ( 1 1 4)t2( 2 1 5)t3( 4，2 10)t4 (1 01)t的一个极大无关组并把其余向量用极大无关组线性表示。26.已知二次型2221

21、2312232344fxxxx xx x (1)求出二次型 f 的矩阵 a的特征值(2)写出二次型 f 的标准形。27.讨论 a、b 为何值时非齐次线性方程组123123123304235xxxxxa xbxxx有无穷多解并求其通解。参考答案 : 21.设为 a 的任一特征值，为 a 的属于的特征向量，即a，所以22aa，2，而o，故20 ，得=0 或 1，因此 a 的特征值只有0 或者 . 23333xyyyxyyyyyxyyxyxyyyyxyxyyxyyyyxxyyyx11(3 )11yyyxyyxyyxyyyx1000(3 )000000yyyxyxyxyxy3(3 )()xyxy23.

22、1114113p，a=p1pa2.=p2p-1=141122( 1)002114113=1151254301 03a11=p111p=14111111( 1)002114113=14111111141223=131311111124212423精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - -24. (2c e)a cbcb=103010001，

23、(2c e)可逆并且 (2c e)1=148014001得 a (2c e)1(cb)=148103014010001001141101400125.因为1234,1241()1120451011 0010 1210 000所以向量组的秩r(1234,) 2因为12,线性无关所以12,是一个极大无关组并且322，412。26.二次型的矩阵为120222023a因为120|222(1)(2)(5)023ae所以 a的特征值为122531 (2) 二次型 f的标准形为22212325yyy27.对增广矩阵进行初等行变换得13101310(,)14011121350021a babab当 a2且 b

24、1 时 r(a) r(a b) 2 3 方程组有无穷多组解此时1023(,)01110000a b对应的方程组为1323231xxxx取 x30，得方程组的一个特解为0x(3 1 0)t取 x31，得导出组1323200 xxxx的一个基础解系1x( 21 1)t，所求方程组的通解为011xxk x ，其中1k为任意常数。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - -

25、 - - - - - -六21.设方阵 a 满足 a23a e o证明 (a 2e)可逆并求 (a 2e)1。22.计算 n 阶行列式111111111111naadaalllllllll。23.解矩阵方程ax b x其中010111101a112053b。24.求一个非零向量3，使得3与向量11 21t， ，2111t， ，都正交。25.确定a的值，使方程组12312312311xxxaaxxxxxax有无穷多个解，求出它的通解。26.求矩阵1122a的特征值及特征向量。27.设1110，2101，3003，311，能否用123, 线性表示？若能，表示法是否惟一？参考答案 : 21.由a23

26、a e o可知 a23a 2e e即(a 2e)(a e) e所以 (a 2e)可逆且(a 2e)1a e22. 把 第 二 列 加 到 第 一 列 ， 再 把 第 三 列 加 到 第 一 列 一 直 到 把 第 n列 加 到 第 一 列 ， 得1111111111111nananadanaanalllllllll1111111(1) 111111aanaalllllllll=11110100(1) 00100001aanaalllllllll=1(1)(1)nana23.由 ax b x 得(e a)x b因为110101102ea10211()321301 1ea所以1()exab0211

27、13113212020301 15311精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - -24.设3=123,tx xx，由题意130t，230t，即123123200 xxxxxx，方程组的基础解系为1,0,1t(2 分) 取31,0,1t即可。25.2111111(, )1110 1111110011aaa baaaaaaa当 a=1 时， r

28、(a) r(a, b) 13方程组有无穷多解。当 a=1 时， (a, b)11 1100 0000 00取 x2x30，得方程组的一个特解为0x(1 0 0)t分别取 x21，x30，和 x20，x31，得导出组的一个基础解系1x(-1 1 0)t，2x(-1 0 1)t .方程组的通解为01122xxk xk x ，其中12,kk为任意常数。26.由特征方程11|22ea1（）=0 得 a 的特征值1201，对于特征值10，解方程组1)ea xo（，即-120 xx求得一个基础解系111，故 a 的属于10的全部特征向量为11k，1k为任意非零数。对于特征值21，解方程组2)ea xo（，

29、即 -2120 xx，求得一个基础解系21/ 21，故 a 的属于21的全部特征向量为22k，2k为任意非零数。27.由112233xxx，即110100013123xxx=311，得惟一解：1231,2,1xxx故1223，(1 分) 且表示法惟一。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - -七21.如果向量组a1a2as线性无关证明向量组

30、a1a1a2a1a2as线性无关。22.设1111011xxx求 x。23.设101020101a，且 abe a2b，求 b。24.设向量组 1(1 1 3 1)t2(31 2 4)t3(2 2 71)t求向量组123, 的秩，并问向量组123, 是线性相关还是线性无关？3能否由向量组12线性表示 ? 25.a取何值时，齐次线性方程组20030 xyzaxzxz有非零解，并求其通解。26. a 取何值时矩阵11123512536aa的秩()r a2？27.判断矩阵a71247是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。参考答案 : 21.设 x1a1x2(a1a2)xs(a1a2as)

31、o则(x1x2xs)a1(x2xs)a2xsaso因为 a1a2as线性无关所以122000sssxxxxxx显然此方程只有零解故向量组a1a1a2a1a2as线性无关。22.112111111121(2) 11112111xxxxxxxxxxx111(2) 010001xxx2(2)(1)0 xx得x2或x 1。23. ab e a2bab b a2e(a e)b (a e)(a e)因为 a e 可逆，所以(a e)1(a e)b (a e)1(a e)(a e)b a e20103010224.记123,a，对 a 施行初等变换得a132132112010327001141000123(

32、,)r= ()r a = 3 (2 分) 向量组123,是线性无关，3不能由向量组12线性表精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - -示。25.211103012111 0301aaa1030170013a当 a=13时，r(a) 2 3，方程组有非零解或由系数行列式等于0，得 a=13时方程组有非零解，基础解系为13, 7,1tx，所求通

33、解为1xkx ，k 为任意常数。26.对矩阵 a作初等变换11123512536aa111208440854a111208440010a当 a=1 时，()r a2。27.由2712|147ea=0，得 a 的特征值11，21对11，解方程组)ea xo（，得其一个基础解系121对21，解方程组)ea xo（-1，得其一个基础解系23 / 21因为矩阵 a 有两个线性无关的特征向量，所以a 可相似对角化取1223/ 2(,)11p，并且1pap =1001。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - -

34、 - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - -八21. 设 为 n 维非零列向量， 且1t， e 为 n 阶单位矩阵， 则2tae为正交矩阵。22.计算行列式d=2345345645675678。23.已知1pap，其中2312p，=1001，计算3a，2na。24.求向量组 1(1 0 1)t2(1 1 1) t3(011) t4(3 56) t的一个极大线性无关组；并将其他向量表示为极大线性无关组的线性组合。25.求方程组13412341234203202530 xxxxxxxxxxx的一个基础解系和通解。26.求矩阵 a=1102的特征值与特征向量。27. 讨论当a取何值时123(,)f