50知识梳理不等式的综合应用(提高)

1、不等式的综合应用【考纲要求】1 .在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2 .掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式（组），会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3 .通过复习不等式的性质及常用的证明方法（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等 ），使学生较灵活的运用常规方法（即通性通法）证明不等式的有关问题；4 .通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；5 .能较灵活的应用不等式的基本知识

2、、基本方法，解决有关不等式的问题.6 .通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部 分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本 知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识.【知识网络】【考点梳理】考点一：不等式问题中相关方法1 .解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.在解不等式 中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基

3、本不等式， 通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运 用图解法可以使得分类标准明晰.2 .整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函 数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们 有机地联系起来，相互转化和相互变用.3 .在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、

4、形象的图象关系，对含有参数 的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰.通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解 变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用.4 .比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差（商）一变形一判断符号（值）.5 .证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维 等，将会起到很好的促进作用.在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择 适当的证明方法.通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等 式得到证明；反之亦可从明显的

5、、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.6 .证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的 基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思 维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.考点二：不等式与相关知识的渗透1 .不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体 现了一定的综合性、 灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很

6、好的促进作用. 在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最 小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。2 .不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等 式；另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定 值和相等”三个条件缺一不可，有时

7、需要适当拼凑，使之符合这三个条件.利用不等式解应用题的基本步 骤：审题，建立不等式模型，解数学问题，作答。要点诠释：解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一 元二次不等式(组)来求解，。解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选 用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。【典型例题】类型一：不等式求解问题例1 .解关于x的不等式旦1 .x 2【思路点拨】考虑转化为整式

8、不等式。解：不等式与 1可化为(a 1)x 2 0.x 2x 21)当a=1时，原不等式的解集为x|x 2；. .一 22)当a 1时，原不等式的解集为 x|x或x 2；a 12x 3)若a 1 0,则原不等式可化为 一La 0 ,x 2故当0 a 1时，原不等式的解集为x|2 x 2;1 a当a 0时，原不等式的解集为；2当a 0时，原不等式的解集为 x|4 x 2.1 a【总结升华】 分式不等式应移项、通分，转化为整式不等式。这是解决分式不等式的基本方法和思路。举一反三：x 22【变式1】己知三个不等式： 2x 4 5 x 二1 2x2 mx 1 0x2 3x 2(1)若同时满足、的 x值

9、也满足，求 m的取值范围；(2)若满足的x值至少满足和中的一个，求m的取值范围。解：记的解集为A,的解集为B,的解集为Co解得 A= (-1, 3);解得 B= 0,1)(2,4 , A B 0,1)(2,3)(1)因同时满足、的 x值也满足，ABC设f (x) 2x2 mx 1 ,由f(x)的图象可知：方程的小根小于0,大根大于或等于 3时，即可满足；(；0即m3m 17 017万(2)因满足的x值至少满足和中的一个，C此C (1,4方程2x2 mx 1 0小根大于或等于A B,而 A B (-1,大根小于或等于1,4因4,因而f( 1) 1 m 0f(4) 4m 31 0,解之得31 m4

10、【高清课堂：基本不等式394889典型例题一】【变式2】已知函数f(x) ax2 2x 1(a R)(1)若f (x)的图像与x轴恰有一个公共点，求 a的值;(2)若方程f (x) 0至少有一个正跟，求 a的范围。解：(1)当a 0时函数f(x)为一次函数，符合题意;当a 0时，函数f(x)为二次函数，则4 4a 0,所以 a 1综上，a 0或1.(2)当a 0时，f (x) 0为一次方程，不符合题意;当a 0时，f (x) 0为二次方程，显然 f (0) 1所以a 0时有一正一负根，符合题意;当a 0时，x1 x20x1x20综上，a的范围a 0.类型二：不等式证明例2.已知 ABC的三边长

11、是a, b,c,且m为正数，求证:【思路点拨】寻找各项的统一性，可以从函数单调性方面来考虑。证明：设f(x) -(m 0),易知(0,)是f(x)的递增区间xmc, f (ab) f (c),即h a而a mabb bb【总结升华】函数是高中数学的重要知识，很多问题都可以从函数的角度来思考和分析。举一反三:【变式1设函数f(x)定义在R上，对任意 m、n恒有f(m+n)=f(m) f(n),且当x>0 时,0<f(x)< 1.(1)求证：f(0)=1 ,且当 XV0 时，f(x)>1;(2)求证：f(x)在R上单调递减；(3)设集合 A= (x, y)|f(x2) f(

12、y2)>f(1),集合 B=(x, y)|f(axg+2)=1 , aCR, 取值范围.证明：令 m>0, n=0 得:f(m)=f(m) f(0).f(m) w 0,f(0)=1取 m=m, n= m, (m< 0),得 f(0)=f(m)f( m)1. f(m)=1,m< 0,m>0,，0vf(m)v1,，f(m)>1f ( m)若A n B=，求a的(2)证明：任取 x1, x2eR,则 f(x1) f(x2)=f(x1) f (x2xi)+xi= f(x1) f(x2 Xi) - f(x1 )=f(x1) 1 f(x2Xi),-f(x1)>0,

13、 1-f(x2-x1)>0,f(x1)>f(x2),函数f(x)在R上为单调减函数.由f(x2f (axy2)f(1)得 x2y 2) 1 f( ) axy2 1y 2,由题意此不等式组无解, 0数形结合得:.|2|>1,解得, a2 1a2<31.a ：- V3,百类型三：不等式与相关知识的融合例3.(2015 甘肃一模)已知函数f x1 .1m - ln x x(其中常数 m>0) m x当m=2时，求f x的极大值.(2)时谈论f x在区间0,1上的单调性当m 3,时，曲线y f x上总存在相异两点P x1, f x1 , Q x2, f x2在点P,Q处的

14、切线互相平行，求 x1 x2的取值范围51【解析】当m=2时，f x -ln x - x 2x52xx 2 2x 12 x 02x人，1令f x 0可得0 x 或x 221令f x 0解得一x 221 一，、，1、，f x在0,-和2, 上单调递减，在 -,2单调递增221故f x的极大值为f 2 In 21m 1(2) f x m 2 1x x2 一 1x m x 1 m2x1x m x m2x1当0 m 1时，则一 1故x 0,m , f xm'm,1 时，f x此时f x在0,m上单调递减，在 m,1上单调递增1当m 1时，1故xm0,1 有 f x2x 1一2- 0恒成立, x

15、此时f x在0,1上单调递减 一 1当m 1时，0 1 m一 11故 x 0,一时，fx 0；x ,1 时 fx 0 mm,.1 , ,.1, 此时f x在0,上单调递减，在 ,1上单调递增mm'由题意，可得f Xf x2 x1，x2 0 且 xx21m -1即一m三1x1x1x212 X21所以Xx2Q x1x2由不等式性质可得x1x22K x2恒成乂又 x1, x2 ,m 02xx2x22即x1x2对m1 m m3,恒成立m 3易知g m在3, 上单增gm g 310故3XiX2X)x2的取值范围为举一反三：2x 1 x 1恒成立【变式】(2015辽宁二模)已知a b 1 ,对 a

16、,b 0,1 4求一一的最小值；a b(2)求X的取值范围.【解析】(1) Qa0,b 0 且 a b 1当且仅当b 2a时等号成立，又a b 1即a1 .2 ,一，二，b 二时，等万成立33,1 4 故一一的取小值为9.a b(2)因为对a,b 0,1 4使一+ 2xa b1恒成立所以 |2x 1 x 1 9当x 1时，2 x 9 .1 一当1 x 一时，3x21 . 一一当x 时，x 2 927 x 191x121x 112综上可知x的取值范围是7,11 .类型四：不等式相关应用题例4.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道全长2.5(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高 h和拱宽l , 半个椭圆形隧道的土方工程最小？(半个椭圆的面积公式为s=-|h,柱体体积为：底面积乘以高,4J2 1.414, J7 2.646本题结果均精确到 0.1米)【思路点拨】显然本题是一个椭圆模型的实际问题，应该考虑从椭圆方面入手。【解析】1)建立如图所示直角坐标系，则P (11,4.5)隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。千米，才能使22椭圆方程为：与 4 1 a b将b=