第三章系统分析状态方程的解

1、第三章第三章 状态空间表达式的解状态空间表达式的解一种分析系统状态和输出特性的直接法 一一. .线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解 二二. .状态转移矩阵状态转移矩阵 三三. .线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解 四四. .线性时变系统状态方程的解线性时变系统状态方程的解 五五. .离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解 六六. .连续系统的离散化连续系统的离散化 一一. .线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解1、线性齐次状态方程解的定义2、线性齐次状态方程解的物理意义3、状态转移矩阵的引出引出 返回主页1.1.一阶齐次微分方程组解的定义一阶齐次微

2、分方程组解的定义 一阶齐次微分方程： 解为： 一阶齐次微分方程组： ， 解为： 返回 )()(taxtx03322)! 31! 211 ()0()(xtataatxetxat)()(taxtx)0()0()!1! 21()(22xextaitaatitxatii推导1阶齐次微分方程的解 )0()()0()(1)0()()()0()()(xetxxassxxsxassaxxssxtaxtxat返回2. 齐次方程解的物理意义齐次方程解的物理意义 由初始条件引起的运动规律为齐次方程的解 确定的，状态向量在任意时刻t1的取值可由 获得。并可以在以x（t）向量为坐标系的n维状态空间里绘制系统状态随时间运

3、动的轨迹，称为状态轨迹。 返回)0()(xetxat)0()(11xetxat 3. 3. 状态转移矩阵的引出状态转移矩阵的引出 系统由初始条件引起的运动的规律及特性主要取决与eat，eat是由系统矩阵a唯一确定的。系统由输入引起的运动规律除了和输入信号的大小形式有关与系统的结构及eat的形式也密切相关，定义 为系统状态转移矩阵。显然，状态空间表达式的求解关键在于求取系统的状态转移矩阵。 返回 nnatet)()()(taxtx)0()(xetxat二二. 状态转移矩阵状态转移矩阵1、状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质2 2、几个典型形式的状态转移矩阵几个典型形式的状态转移矩阵 3、 一般状

4、态转移矩阵的求法一般状态转移矩阵的求法 返回主页返回主页nnatet)( (1) (2) (3) (4) (5) 状态转移矩阵的逆为时间的逆转。 (6) (7) (8) 若 ，则有注：上述性质由定义导出。 返回nnatet)(i)0()()()(2121tttt)()(1tt)()()(020112tttttt)()(kttknnnnnnnnabbabtattbaeee)()0()0()!1! 21()(22xextaitaatitxatiiataetat)()(aa)0()0(1. 状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质 2. 几个典型形式的状态转移矩阵几个典型形式的状态转移矩阵 （1）若 为

5、对角阵，则 （2）若 t-1at= 为对角阵，则 （3）a= 为约旦阵，则 书上p5860页na21tttatneeeet21)(n21121)(teeetettttatn0001000100011000100!2110! 31!211)(232tttttteettat（4）t-1at= 为约旦阵，则 （5）若 ，则 举例1： 若 则 举例2： 若 则 返回00010001000112321000100! 2110! 31! 211)(tttttttteettatatttteettatcossinsincos)(4311000000000001atttttateeeteee4311100000

6、0000004000000010001111atttttttateeteeetteee41111110000000002123.一般状态转移矩阵的求法一般状态转移矩阵的求法 (1) 利用定义计算 (2) 利用laplace变换计算 (3) 化a阵为对角型或约旦标准型计算 （利用状态转移矩阵的性质计算）求特征值和特征向量由变换阵p化a为对角阵或约旦标准型求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵求原矩阵a的状态转移矩阵。 返回 )!1! 21(22iiattaitaatie11)(asileat推导laplace变换法 11111( )( )(0)( )()(0)()(0)( )() (0)( )

7、() atx tax tsx sxax ssia x sxx ssiaxx tlsiaxtelsia返回三三. .线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解1、非齐次方程解的通式非齐次方程解的通式 直接求解 laplace变换求解 2、典型输入下典型输入下非齐次方程解非齐次方程解 脉冲输入 阶跃输入 斜坡输入 返回主页返回主页 已知系统状态空间表达式为： 直接法积分求解直接法积分求解 初始状态引起的解：输入作用引起的解：由输出方程可以求出系统的输出解。 ducxybuaxxdbutxttxtdbuttxtttxttt)()()0()()(0)()()()()(00000) 0 ()(

8、)(xttxdbuttxt)()()(01.1.非齐次方程解的通式非齐次方程解的通式 laplaelaplae变换求解变换求解 状态方程两边同时求拉氏变换得： 系统的状态与输出的形式取决与系统结构初始条件和输入信号的形式，所以在系统为典型输入信号作用时的状态解和输出解的形式可以依据上述通式导出。 返回 )()()0()()(11sbuasixasisx)()() 0()()(111sbuasixasiltx)()()0 ()(1111sbuasilxasil 2 2 典型输入下非齐次方程的解典型输入下非齐次方程的解 （1 1） 脉冲脉冲 输入下的解为：输入下的解为： （2 2） 阶跃阶跃 输入

9、下的解为：输入下的解为：( (使用条件使用条件a a的逆存在的逆存在) ) （3 3）斜坡）斜坡 输入下的解为：输入下的解为：( (使用条件使用条件a a的逆存在的逆存在) )注意：线性系统的输出输入特性。 返回)()(tktubkexetxatat)0()()( 1)(tktubkieaxetxatat)()0()(1)( 1)(ttktubktaieaxetxatat)()0()(12四四. .离离散系统状态方程的解散系统状态方程的解1 1、差分方程组的求解方法差分方程组的求解方法 迭代法 z变换法2、引入状态转移矩阵，简化离散系引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方程的求解统状态方程的求解

10、 返回主页1. 1. 差分方程组的求解方法（差分方程组的求解方法（1 1） （1） 迭代法迭代法 得系统状态的迭代计算式为： 注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。与连续状态方程的求解公式在形式上类似)()() 1(khukgxkx10112)()0() 1()2()0()0() 1() 1()(, 1) 1 ()0()0() 1 () 1 ()2(, 1)0()0() 1 (, 0kjjkkkkjhugxgkhukghuhugxgkhukgxkxkkhughuxghugxxkhugxxk)()0()(101jhugxgkxkjjkk（2） z 变换法变换法 注：计算结果为封闭

11、的解析形式。 返回 )()() 0()()()()() 0()()()() 0()()()()() 0()()()() 1(111111zhugzizxzgzizkxzhugzixzgzizxzhuzxzxgzizhuzgxzxzzxkhukgxkx)()0()(101jhugxgkxkjjkk2. 引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方程的求解程的求解（1）状态转移矩阵的定义及计算：）状态转移矩阵的定义及计算：kgk )()(11zgziz)()0()(101jhugxgkxkjjkk)()() 0 ()()(1111zhugzizxzgzizkx)() 1

12、()0()()(10jhujkxkkxkj（2）g 阵为典型结构形式的状态转移矩阵的计算阵为典型结构形式的状态转移矩阵的计算g为对角型时 g为约旦型 g可化对角型（变换阵为p） g可化约旦型（变换阵为p） kkkkkkgk001)(11321000000)(ppgkkkkk110)(pkpgkkkkkkkkkkgk321321000000000000)(（3 3）状态转移矩阵的性质）状态转移矩阵的性质 返回gkgkk)() 1(1ig 0)0(五五. 连续系统的离散化连续系统的离散化 1. 连续系统离散化的意义连续系统离散化的意义 意义 2. 连续系统离散化的假设条件连续系统离散化的假设条件

13、(1) 离散化按等采样周期处理； (2) 采样脉冲为理想脉冲信号； (3) 输入向量u（t）只在采样点变化，两相邻采样点 之间的输入由零阶保持器保持不变； (4) 采样周期的选择满足香农定理。 3. 线性定常系统状态方程的离散化方法线性定常系统状态方程的离散化方法 (1) 化连续状态方程为离散状态方程化连续状态方程为离散状态方程 连续系统状态方程：连续系统状态方程： 理论理论推导可得推导可得：取：取 时，时，t t为采样周期，为采样周期， 则离散化以后的状态空间表达式为：则离散化以后的状态空间表达式为： )()()()()()() 1(ktduktcxktyktuthktxtgtkx)()()(tbutaxtxtatatbdtethetg0)(,)(例题连续系统的离散化的意义连续系统的离散化的意义 线性连续系统的状态方程为1阶微分方程组。可采用解析法求解。也可以采用数值解法求解，此时对微分方程做近似解，给出离散采样时刻的状态方程解的近似值。利用计算机对线性定常连续系统求数值解是现代科学技术研究中常用的一种方法，不但方便而且精确。由于实际工业生产中线性定常连续系统的被控对象需要在线控制等，必须将连续系统的状态方程化为离散系统的状态