挑战动量中的“碰撞次数”问题

1、挑战动量中的 "" 碰撞次数问 题挑战动量中的“碰撞次数问题河南省信阳高级中 陈庆威 2021.11.04学2021 年的高考的考试范围没有出来之前，我们可以回避、 可以 假装看不见、还可以不理会动量问题中的“碰撞次数问 题。可是， 自从高中物理 3-5 纳入了必修行列之后，我们似乎 已经变的没了选 择。这里我整理了动量问题中的 9 道经典的 “碰撞次数问题，有的 是求碰一次的情况， 有的是求碰 N 次的情况， 题目能提升能力， 更能 激发思维。还等什么，快 来挑战吧。题目 1：如下图， 质量为 3kg 的木箱静止在光滑的水平面上， 木箱内粗糙的底板正中央放着一个质量为 1

2、kg 的小木块， 小木 块可视为质点 现使木箱和小木块同时获得大小为 2m/s 的方 向 相反的水平速度， 小木块与木箱每次碰撞过程中机械能损失 0.4J ，小木块最终停在木箱正中央 小木块与木箱底板间 的 动摩擦因数为 0.3 ，木箱内底板长为 0.2m 求： 木箱的最 终速度的大小；小木块与木箱碰撞的次数分析:由动量守恒定律可以求出木箱的最终速度； 应用能量守恒 定律与功的计算公式可以求出碰撞次数. 解析：设最终速度为v ,木箱与木块组成的系统动量守恒，以木箱的初速由能量守恒定律可度方向为正方向，由动量守恒定律得：Mv-mv= ( M+m) v ',代 入数据得： 对整个过程，E

3、1 M m v22设碰撞，木箱2底板长度为Ln=6;答：木箱次数为 贝g有：n( 口mgL+0.4 ) = E ,代入数据得:的最终速度的大小为1m/s ;小木块与木箱碰撞的次数为6次.点评：此题考查了求木箱的速度、木块与木箱碰撞次数，分析清 楚运动过程、应用动量守恒动量与能量守恒定律即可正确解题.题目2 :如图，长为L=0.5m、质量为m=1.0kg的薄壁箱子，放 在水 平地面上，箱子与水平地面间的动摩擦因数n=0.3 .箱内有一质量也 为m=1.0kg的小滑块，滑块与箱底间无摩擦.开始 时箱子静止不动，小滑块以vo=4m/s的恒定速度从箱子的 A壁 处向B壁处运动，之后与 B壁碰撞.滑块与

4、箱壁每次碰撞的时 间极短，可忽略不计.滑块与箱 壁每次碰撞过程中，系统的机 械能没有损失.g=10m/s2.求：1要使滑块与箱子这一系统损耗的总动能不超过其初始动能 的 50% ，滑块与箱壁最多可碰撞几次？2从滑块开始运动到滑块与箱壁刚完成第三次碰撞的期间， 箱子 克服摩擦力做功的平均功率是多少？分析： 1 根据题意可知， 摩擦力做功导致系统的动能损失， 从 而即可求； 2根据做功表达式，结合牛顿第二定律与运动 学公式，从而可确 定做功的平均功率解析： 1设箱子相对地面滑行的距离为s ，依动能定理和题目要求有系 统损失的总动能为 2 mgs 1mv02 50%2解得 s v0 0.67m8g由

5、于两物体质量相等， 碰撞时无能量损失， 故碰撞后交换速 度 即小 滑块与箱子碰后小滑块静止， 箱子以小滑块的速度 运动 如此反复第 一次碰后，小滑块静止，木箱前进L；第二次碰后，木箱静止，小滑块前进L ；第三次碰后，小滑块静止，木箱前进L.因为L<s< 2L ,故二者最多碰撞3次. 2从滑块开始运动到刚完成第三次碰撞，箱子前进了L箱子克服摩擦力做功W=2 pmgL=3J第一次碰前滑块在箱子上匀速运动的时间t1 l 0.125sv0第二次碰前箱子匀减速的加速度大小 a 2 mg 2 g 6m/s 2设箱子匀减速的末速度为V，时间为t 2v2-v o2=2aL v=v o+at 2求出

6、t 2=0.14s第三次碰前滑块在箱子上匀速运 动的时间t3 1 0.16s v从滑块开始运动到刚完成第三次碰撞经历的 总时间 为t=t 1+t 2+t 3=0.425s摩擦力做功的平均功率为P W 7.1W t点评：考查做功的求法，掌握动能定理的应用，学会由牛顿第二定律与运动学公式综合解题的方法，理解求平均功率与瞬 时功率的区别。 题目3:有一长度为l=1m的木块A，放在足 够长的水平地面上.取 一无盖长方形木盒B将A罩住，B的左 右内壁间的距离为 L=3m . A、B质量相同，与地面间的动摩擦 因数分别为ua=0.1和ub=0.2 .开始时A与B的左内壁接触，两 者以相同的初速度v=18m

7、/s向右运动. A与B的左右内壁 发生的碰撞时间极短，且不存在机械能损失，A与B的其它侧面无接触.求：(1) 开始运动后经过多长时间A、B发生第一次碰撞；(2) 第一次碰撞碰后的速度VA和VB ；(3) 通过计算判断A、B最后能否同时停止运动？假设能， 那么经 过多长 时间停止运动？假设不能，哪一个先停止运动？4)假设仅v未知，其余条件保持不变，要使 A、B最后同时停止，而且A与B轻轻接触(即无相互作用力)，那么初速度v应满足何条件？只需给出结论，不要求写出推理过程)分析：木块和木盒分别做匀减速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求解.木块和木盒相碰过程动量守恒和机械能守恒， 列出等式求解.分

8、析木块、木盒的运动，根据运动学公式和几何关系求解.解答：解:( 1 )木块和木盒分别做匀减速运动，加速度大小分别为：aA= ag=im/s2 aB=盟g=2m/s 2设经过时间T发生第一次碰撞那么有:L-|=S a-Sb=VT-代入数据得：T=2s ( 2)碰前木块和木盒的速度分别为：Va =V-a AT=16m/sVb ' =V-aBT=14m/s相碰过程动量守恒有：mvA+mvB'=mvA+mvB1,21,21 21 、 TH -"' >1 1"' in'r "jr m 口为"r y 口*x?x *二 n

9、 |代入数据得：va=vb '=14m/s 方向向右vb=va '=16m/s 方向向右3)设第一次碰撞后又经过 T1时间，两者在左端相遇有：L-l=Sb-SaS B = v bT 1S a=v aT 1代入数据得；T1=T=2s在左端相碰前：木块、木盒速度分别为:v/2A=v A-a AT/ =12m/sV/ 2B =v B-a BT/ =12m/s可见木块、 木盒经过时间 t 1=2T 在左端相遇接触时速度恰好相同 同理可得：木块、木盒经过同样时间t 2=2T ，第二次在左端相遇V/ 3A=v/ 3B =6m/s木块、木盒第三次又经过同样时间 t 3=2T 在左端相遇，速度

10、恰好 为 零由上可知：木块、木盒，最后能同时停止运动经历的时间：t总=6T=12s4由 2归纳可知：v=6K K 取： 1，2，3? 点评：解决该题关键要清楚木块、 木盒的运动过程， 能够把相碰过程 动 量守恒和机械能守恒结合运用。题目 4：如下图，足够长光滑水平轨道与半径为 R 的光滑四 分之 一圆弧轨道相切 现从圆弧轨道的最高点由静止释放一 质量为m的弹性小球A，当A球刚好运动到圆弧轨道的最低 点时，与静止在该点的 另一弹性小球 B 发生没有机械能损失的 碰撞 B 球的质量是 A 球质量的 k 倍，且两球均可看成质 点八、 1 假设碰撞结束的瞬间， A 球对圆弧轨道最低点压力刚好等于碰前

11、其压力的一半，求 k 的可能取值：(2)假设k且等于某一适当的值时，A、B两球在水平轨道上经过 屡次没有机械能损失的碰撞后，最终恰好以相同的速度沿水平轨道运动.求此种情况下最后一次碰撞 A球对B球 的冲量.答案：解：(1 )设A球到达圆弧轨道最低点时速度为vo，那么由机械 能守恒定律，有：1 mvo mgR?( 1 ) 设此时A球对轨道压力为 N，那么：2N mg m Vo ?( 2)设碰撞后A球的速度大小为vi，对轨道的压力为 Ni, B球的速 度为V2,那么由动量守恒定律，有：mvo=kmv2 ± mvi?( 3) 机械能守恒，有：1 2 1 2 1 2mvomv1 kmv2 ?

12、 ( 4)222碰撞后，在最低点，有：2N mgmv1?( 5)R根据条件，有：1N1 N ?( 6)12代入数值解上述方程组可得：1k=3 或 k 31? 7即假设碰撞结束的瞬间， A 球对圆弧轨道最低点压力刚好等于碰 前其压 力的一半，求 k 为 3 或 132 设最终两球的速度大小为 v，根据机械能守恒可得:1 2 1 2 mgR mv kmv ? 8 最后一次碰撞前 A、 B 两球的速度分别为 恒和vA、VB，那么由机械能守动量守恒定律，得到：mv A+kmv B=kmv-mv ? 91 2 1 2 1 2 1 2 mvA2 kmvB2 mv2 kmv 2 ? 102 A 2 B2 2

13、设最后一次碰撞 A 对 B 的冲量为 I ，根据动量定理得：I=kmv-kmv B? 11 解上述方程组可得：I 4km 2gR ? 12 k1k1故最后一次碰撞 A 球对 B 球的冲量为 I k4km1 k2gR1题目 5:光滑的四分之一圆弧轨道固定在竖直平面内，与水平 轨道 CE 连接水平轨道的 CD 段光滑、 DE 段粗糙 一根轻质 弹簧一端固定 在 C 处的竖直面上，另一端与质量为 2m 的物块 b 刚好在 D 点接触不连接，弹簧处于自然长度 将质量为 m 的物块 a 从顶端 F点静止释 放后，沿圆弧轨道下滑 物块 a 与物块 b 第一次碰撞后一起向左压缩弹簧.圆弧轨道半径为 r ,

14、DE=I，物块a、b与DE段水平 轨道的动摩擦因数分别为 w =0.2和卩2=0.4，重力加速度为g.物块a、b均可视为质点.求：1物块a第一次经过E点时的速度是多少？2 试讨论I取何值时，a、b能且只能发生一次碰撞？解析：1物块a由F到E过程中，由机械能守恒有:1 2mgr mvi解得第一次经过E点时的速度vi 2gr2物块a从E滑至D过程中，由动能定理有:imgl 1 mvDi2 1 mvi222解得物块a在D点时的速度vd1 2g r 0.2I解得两物块在D点向左运动的速2 g r0.213物块a、b在D点碰撞，根据动量守恒有:mvD1=3mv D2a、b一起压缩弹簧后又返回D点时速度大

15、小2 g r0.2IVD3由于物块 b 的加速度大于物块 a 的加速度，所以经过 D 后， a、 b 两 物块别离，同时也与弹簧别离讨论：假设a在D点时的速度Vdi=O，即l=5r要使a、b能够发生碰撞，那么I <5r假设物块 a 滑上圆弧轨道又返回， 最终停在水平轨道上 P 点，物块 b 在水平轨道上匀减速滑至 P 点也恰好停止，设将 x 1| 和 VD3 2g r °21代入上式PE=x ，那么 DP=I-x 根据能量守恒，对 a 物块 : 1mg I x1 2 D31mVD320对 b 物块 : 2mg I x 1 2mV D32 02 由以上两式解得 x 1I3D3解得

16、 I 5 r13要使 a、 b 只发生一次碰撞，那么 I 5 r13综上所述，当 5r I 5 r 时， a、 b 两物块能且只能发生一次碰撞13题目6 :在光滑水平地面上有一凹槽 A，中央放一小物块 B物块与 左右两边槽壁的距离如下图，L为1.0m。凹槽与物块的质量均为m ,两者之间的动摩擦因数为0.5。开始时物块静止，凹槽以 初 速度向右运动， 设物块与凹槽壁碰撞过程 中没有能量损失，且碰撞时 间不计。g取10m/s2。求：1物块与凹槽相对静止时的共同速度；2 从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次 数；3从凹槽开始运动到两者相对静止所经历的时间及该时间内 凹槽运动的位移大小解

17、析：1 设两者间相对静止时的速度为 v，由动量守恒定律得：2物块与凹槽间的滑动摩擦力设两者间相对静止时的路程为 S1，由动能定理得L=1m，可推知物块与右侧槽壁共发生 6次碰撞。2设凹槽与物块碰前的速度分别为 vi、V2,碰后的速度分别 为、。有得即每碰撞一次凹槽与物块发生一次速度交换，在同一坐标系上 两 者 的速度图线如下图，根据碰撞次数可分为13段，凹槽、物块的v-t图象在两条连续的匀变速运动图线间转换，故可用匀变速直线运动规 律求时间。那么凹槽的v-t图象所包围的阴影面积即为凹槽的位移大小S2。等腰三 角形面积共分13份，第一份面积为0.5 L。其余每份面积均为L题目7:如下图，质量为

18、mA=2kg的木板A静止在光滑水平面 上，一质量为mB=1kg的小物块B以某一初速度v从A的左端 向右运动，当A向右运动的路程为L=0.5m时，B的速度为VB=4m/s， 此时A的右端与固定竖直挡板相距x.木板A足够长(保 证B始终不从A上掉下来)，A与挡板碰撞无机械能损失，A、 B之间的动摩擦因数为卩2=0.2 , g 取 10m/s2(1 )求B的初速度值v ；(2)当x满足什么条件时，A与竖直挡板只能发生一次碰撞？分析：(1 )以A为研究对象，根据动能定理求出路程为L时的速度，分析A此时处于加速还是匀速状态，再根据系统的动 量 守恒列式，求出B的初速度.(2 ) A与竖直挡板只能发生一次

19、碰撞，碰撞后，A的动量应大于或等于B的动量.对系统，根据动量守A，由动能理列式，结合条件可求 x的范围.解析：(1)假设B的速度从v减为v B=4m/s时，A 一直加速 到va，以A为研究对象，由动能定理1 2mBgl2mAvA2 ?代入数据解得：v A=1m/s < v b，故假设成立在A向右运动路程L=0.5m的过程中，A、B系统动量守恒mBvo=mAVA+mBVB? 联立解得v 0 =6m/svai、 vbi , 由动(2)设A、B与挡板碰前瞬间的速度分别为守恒定律：mBV。=mAv ai +mBv bi ? 以A为研究对象，由动能定理mBg L x 1 mAVAi2? 2由于A与

20、挡板碰撞无机械能损失，故A与挡板碰后瞬间的速度大小为v A1，碰后系统总动量不再向右时，A与竖直挡板只能发生一次碰撞，即mAVA1 > mBVB1?由mBVo < 2m ava1解得 VA1 m2mBVA0 1.5m/ S ?由联立解得x > 0.625m答:( 1) B的初速度值vo为6m/s .2 当x > 0.625m时，A与竖直挡板只能发生一次碰撞. 点评：此题考查了动量守恒定律、动能定理的应用，此题第2 小题是此题的难点，知道A与挡板碰撞一次的条件是正确解题 的前提与关键.题目8 :如下图，质量为 mA=2kg的木板A静止放在光滑水 平 面上，一质量为 mB=

21、1kg的小物块B从固定在地面上的光滑 弧形轨道距木板A上外表某一高H处由静止开始滑下，以某一初 速度v滑上A的左端，当A向右运动的位移为L=0.5m时， B的速度为VB=4m/s，此时A的右端与固定竖直挡板相距x ,已知木板A足够长保证B始终不从A上滑出，A与挡板碰撞 无机械能损失，A、B之间动摩擦因数为1=0.2 , g取10m/s 21 求B滑上A的左端时的初速度值V0及静止滑下时距木板 A 上外表的高度H2当x满足什么条件时，A与竖直挡板只能发生一次碰撞*1 VI TbJ1B4 *IA自桩 WIM1r 1jrjP-r匸111II 1r r r *jF r r jf j j X jF.A

22、Jr f亍 . r w if乃尹 F# * F ZZZ/r/r/F/ Z Z ZZ Z/ T Z專h Fi1分析1 A、B组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出A的初速度，由机械能守恒定律或动能定理可以求出物体下滑的高度.2A、B 组成的系统动量守恒，当碰撞之后系统动量向左或 为 零时， A 只于挡板碰撞一次，由动量守恒定律、动能定理即 可 正确解题解析： 1假设 B 的速度从 v0 减为 v B=4m/s 时， A 一直加速 到 vA，以 A 为研究对象，由动能定理mBg 21mAvA2 0 ，代入数据解得VA=1m/s < v b，故假设成立；在 A 向右运动位移 L=0.5m

23、的过程中， A、B 系统动量守恒，联立解v 0=6m/s ；1B 下滑过程中机械能守恒，由机械能守恒定21BmB Bv02 mBgH由动量守恒定律得： mBv0=mAvA+mBvB ，解得 H=1.8m ；2设 A、B 与挡板碰前瞬间的速度分v A1 、vB1，由动量守恒定律 mBV o=mAv Ai+mBV bi，以A为研究对象，由动 能定理mBg L x i2mAvAi20 ，由于 A 与挡板碰撞无机械能损失， 故 A 与挡板碰后瞬间的速 度大小为 v Ai ，碰后系统总动量不再向右时， A 与竖直挡板只能发生一次碰撞，mAvAi mBvBi ，答： iB 滑上 A 的左端时的初速度值v0

24、 为 6m/s ，静止滑下时距木板 A 上外表的高度为 i.8m；2当x> 0.625m时，A与竖直挡板只能发生一次碰撞.点评：此题考查了动量守恒定律、动能定理的应用，此题第(2) 小题是此题的难点，知道A与挡板碰撞一次的条件是正确解 题的前提与关键.题目9 :如图，在水平面上有一弹簧，其左端与墙壁相连，O点为弹簧原长位置，0点左侧水平面光滑.水平段 0P长L=1m ,P点右侧一与水平方向成 6=30 °角的皮带轮与水平面在p点平滑连接，皮带轮逆时针动，速度为 3m/s . 质量为1kg可 视为质点的物A压缩弹簧(与弹簧不连接)，弹性势能EpI9J，物块与0P段动摩擦因素 皆=0.1 ；另一与A完全相同的物 块B停在P点，B与皮带轮的摩擦因素 2 3，皮带轮足够长.3与B的碰撞为弹性碰撞且碰撞事件不计，重力加速度g取1/s 2，现释放A，求：(1 )物块A与B第一次碰撞前的速度；(2) A、 B第一次碰撞后到第二次碰撞前B运动的时间；分析： 1从释放到与 B 碰撞前的过程，对 A 运用动能定 理列式，即可求解物块 A 与 B 第一次碰撞前的速度； 2根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰后A、B 的速度