Ch线性规划实用实用教案

1、2021年11月24日星期三1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如(lr)，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。线性规划（Linear Programming,缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟(chngsh)，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。

2、第2页/共109页第1页/共109页第一页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润(lrn)分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润(lrn)收入最大？1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Math

3、ematical Model of LP1.1.1 应用模型(mxng)举例第3页/共109页第2页/共109页第二页，共110页。2021年11月24日星期三 产品产品 资源资源 甲甲 乙乙 丙丙现有资源现有资源设备设备A 3 1 2 200设备设备B 2 2 4 200材料材料C 4 5 1 360材料材料D 2 3 5 300利润（元利润（元/件）件） 40 30 50表1.1 产品资源(zyun)消耗1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP第4页/共109页第3页/共109页第三页，共110页。2021年11月24日星期三3

4、21503040maxxxxZ0003005323605420042220023321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx，【解】设x1、x2、x3 分别(fnbi)为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP 产品产品 资源资源 甲甲 乙乙 丙丙现有资现有资源源设备设备A 3 1 2 200设备设备B 2 2 4 200材料材料C 4 5 1 360材料材料D 2 3 5 300利润（元利润（元/件）件） 40 30 50最优解X=(50,30,10);Z=3400第5页/共10

5、9页第4页/共109页第四页，共110页。2021年11月24日星期三线性规划(xin xn u hu)的数学模型由决策变量 Decision variables 目标函数Objective function及约束条件Constraints构成(guchng)。称为三个要素。n其特征是：n1解决问题的目标(mbio)函数是多个决策变量的n 线性函数，通常是求最大值或 最小值；n2解决问题的约束条件是一组多个决策变量n 的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP第6页/共109页第5页/共109页第五页，共11

6、0页。2021年11月24日星期三【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作(gngzu)5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。表1.2 营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班(shng bn)人数，使商场总的营业员最少。 星期星期需要人数需要人数星期星期需要人数需要人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四4001.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP第7页/共109页第6页/共109页第六页，共110页。2021年11月24日星期三【解】 设xj(j=

7、1，2，7)为休息(xi xi)2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为 7, 2, 1, 0550600480400350300300min765436543254321743217632176521765417654321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZj1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP星星期期需要需要人数人数星星期期需要需要人数人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四400第8页/共109页第7页/共109页第

8、七页，共110页。2021年11月24日星期三1 1 X1X10 0 C1C1404404 =3003001041042 2 X2X26767 C2C2301301 =3003001 13 3 X3X3146146 C3C3350350 =3503500 04 4 X4X4170170 C4C4400400 =4004000 05 5 X5X59797 C5C5480480 =4804800 06 6 X6X6120120 C6C6600600 =6006000 07 7 X7X71717 C7C7550550 =5505500 0最优解：Z617（人）第9页/共109页第8页/共109页第八

9、页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根(y n)，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？ 【解】这是一个(y )条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。表13 下料方案(fng n) 方案方案

10、规格规格 1234 5678910需求量需求量y1(根根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料（余料（m）00.30.5 0.1o.4 00.30.60.20.51.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP第10页/共109页第9页/共109页第九页，共110页。2021年11月24日星期三设xj(j=1,2,10)为第j种下料方案(fng n)所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛

11、坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果(rgu)方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。102 , 1, 010005423210002342100022min10987542987643154321101，jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZjjj1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP 方案方案规格规格 1234 5678910需求量需求量y1(根根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料（余料（m）

12、00.30.5 0.1o.4 00.30.60.20.5第11页/共109页第10页/共109页第十页，共110页。2021年11月24日星期三1 1 X1X15005002 2 X2X20 03 3 X3X30 04 4 X4X40 05 5 X5X50 06 6 X6X662.562.57 7 X7X70 08 8 X8X80 09 9 X9X92502501010 X10X100 0Z812.5第12页/共109页第11页/共109页第十一页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产(shngchn)一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于

13、15%，铅恰好10%，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表1.4 矿石的金属(jnsh)含量 合金合金矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费用（元费用（元/t ）1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP第13页/

14、共109页第12页/共109页第十二页，共110页。2021年11月24日星期三解: 设xj（j=1,2，5）是第j 种矿石数量，得到下列(xili)线性规划模型 注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多(xdu)行业生产中都能遇到。1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费用（元费用（元/t ）125101025303402400030302603015520601804202004020230

15、5851517551901234512451345135123451234512min3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3450.40.80.4510,1,2,5jxxxxj第14页/共109页第13页/共109页第十三页，共110页。2021年11月24日星期三1 1 X1X10 02 2 X2X20.33330.33333 3 X3X30 04

16、 4 X4X40.58330.58335 5 X5X50.66670.6667最优解：Z=347.51.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP第15页/共109页第14页/共109页第十四页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳(cin)：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5第一年

17、：x1+x2=200(万元)第二年：(x1/2 +x3)+x4=x2第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3到第六年实有资金总额(zng )为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型 1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP【解】设 x1：第一年的投资； x2：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金 第16页/共109页第15页/共109页第十

18、五页，共110页。2021年11月24日星期三7912123413456356785789max22002220422204222042200,1,2,9jZxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP1 1 X1X155.284655.28462 2 X2X2144.7155144.71553 3 X3X3117.0732117.07324 4 X4X40 05 5 X5X552.032552.03256 6 X6X60 07 7 X7X7208.1301208.13018 8 X8X8

19、0 09 9 X9X90 0最优解：Z 416.26万元x1：第一年的投资(tu z)； x2：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资(tu z)；x4：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资(tu z)； x6：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资(tu z) x8：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金 第17页/共109页第16页/共109页第十六页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.6】均衡配套生产(shngchn)问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工

20、时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产(shngchn)，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。【解】 设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是)31,21min(21xxy 设备A、B每天加工工时(gngsh)的约束为60831096082452121xxxx要求一种设备每台每天的加工时间不超过(chogu)另一种设备1小时的约束为 60)109()452121xxxx（1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of

21、 LP第18页/共109页第17页/共109页第十七页，共110页。2021年11月24日星期三目标函数线性化。产品(chnpn)的产量y等价于2131,21xyxy整理(zhngl)得到线性规划模型 约束(yush)线性化。将绝对值约束(yush)写成两个不等式60)109()45(60)109()45(21212121xxxxxxxx1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP121212121212m a x1213549 6 091 01 4 4 0466 0466 00Zyyxyxxxxxxxxxyxx、第19页/共109页第18页/共109页第十八页

22、，共110页。2021年11月24日星期三1.1.2 线性规划的一般模型一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量xj, j=1,2,n，目标函数的变量系数用cj表示, cj称为价值系数。约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的(dund)常数用bi表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成1 1221111221121 1222221 122max(min)(, )(, )(, )0,1,2,nnnnnnmmmnnmjZc xc xc xa xa xa xba xa xa xba xaxaxbxjn 或或或为了(wi le)书写方便

23、，上式也可写成： 1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP第20页/共109页第19页/共109页第十九页，共110页。2021年11月24日星期三11max(min)(, )1,2,0,1,2,njjjnijjijjZc xa xbinxjn 或在实际中一般(ybn)xj0,但有时xj0或xj无符号限制。1.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP第21页/共109页第20页/共109页第二十页，共110页。2021年11月24日星期三1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理

24、中的几个应用(yngyng)例子2.线性规划数学模型的组成及其特征3.线性规划数学模型的一般表达式。作业(zuy)：教材P31 T 2，3，4，5，61.1 线性规划(xin xn u hu)的数学模型 Mathematical Model of LP下一节：图解法第22页/共109页第21页/共109页第二十一页，共110页。1.2 图解法 Graphical Method第23页/共109页第22页/共109页第二十二页，共110页。2021年11月24日星期三图解法的步骤(bzhu)：1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非 负要求的区域，其交集就是(jish)可行解集合，或称为

25、可行域；2.绘制目标函数图形(txng)。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形(txng)；3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。一般地，将目标函数直线放在可行域中 求最大值时直线沿着矢量方向移动 求最小值时沿着矢量的反方向移动1.2 图解法The Graphical Method第24页/共109页第23页/共109页第二十三页，共110页。2021年11月24日星期三x1x2O1020304010203040(3,4)(15,10

26、)最优解X=(15,10)最优值Z=8540221 xx305 . 121xx0, 0305 . 1402212121xxxxxx例1.72143maxxxZ1.2 图解法The Graphical Method第25页/共109页第24页/共109页第二十四页，共110页。2021年11月24日星期三246x1x2246最优解X=(3,1)最优值Z=5(3,1)006346321212121xxxxxxxx、min Z=x1+2x2例1.8(1,2)1.2 图解法The Graphical Method第26页/共109页第25页/共109页第二十五页，共110页。2021年11月24日星期

27、三246x1x2246X（2）（3,1）X（1）（1,3）(5,5)006346321212121xxxxxxxx、min Z=5x1+5x2例1.9有无穷(wqing)多个最优解即具有多重解,通解为 01 ,)1 ()2() 1 (XXX 当=0.5时=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2) 1.2 图解法The Graphical Method第27页/共109页第26页/共109页第二十六页，共110页。2021年11月24日星期三246x1x2246(1,2)006346321212121xxxxxxxx、无界解(无最优解)max Z=x1+2x2例1.10第2

28、8页/共109页第27页/共109页第二十七页，共110页。2021年11月24日星期三x1x2O102030401020304050500, 050305.140221212121xxxxxxxx无可行(kxng)解即无最优解max Z=10 x1+4x2例1.111.2 图解法The Graphical Method第29页/共109页第28页/共109页第二十八页，共110页。2021年11月24日星期三由以上例题可知(k zh)，线性规划的解有4种形式：1.有唯一(wi y)最优解(例1.7例1.8)2.有多重解(例1.9)3.有无(yu w)界解(例1.10)4.无可行解(例1.11

29、)1、2情形为有最优解3、4情形为无最优解1.2 图解法The Graphical Method第30页/共109页第29页/共109页第二十九页，共110页。2021年11月24日星期三1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式2.作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确 (2)目标函数增加(zngji)的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动作业(zuy)：教材P34 T7 1.2 图解法The Graphical Method下一节：线性规划(xin xn u hu)的标准型第31页/共109页第30页/共109页第三十页，共110页。1.3 线性规划(xin xn u hu)的

30、标准型Standard form of LP第32页/共109页第31页/共109页第三十一页，共110页。2021年11月24日星期三 在用单纯法求解线性规划问题时，为了(wi le)讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。1.3 线性规划(xin xn u hu)的标准型Standard form of LP线性规划问题的标准型为:1目标函数(hnsh)求最大值（或求最小值）2约束条件都为等式方程3变量xj非负4常数bi非负第33页/共109页第32页/共109页第三十二页，共110页。2021年11月24日星期三mibnjxbxaxaxabxaxaxabxaxaxaijmnmn

31、mmnnnn,2, 1,0,2, 1,02211222222111212111max(或min)Z=c1x1+c2x2+cnxn1.3 线性规划(xin xn u hu)的标准型Standard form of LP注：本教材默认(mrn)目标函数是 max第34页/共109页第33页/共109页第三十三页，共110页。2021年11月24日星期三njjjxcZ1maxminjxbxajnjijij, 2 , 1, 2 , 1, 010maxXbAXCXZ或写成下列(xili)形式： 或用矩阵(j zhn)形式1.3 线性规划(xin xn u hu)的标准型Standard form of

32、LP第35页/共109页第34页/共109页第三十四页，共110页。2021年11月24日星期三111211121222221212, ,)nnnmmmnnmaaaxbaaaxbAXbCc ccaaaxb； (通常X记为： 称为约束方程的系数矩阵，m是约束方程的个数，n是决策变量的个数，一般情况mn，且r()m。TnxxxX),21（max0ZCXAXbX其中(qzhng):1.3 线性规划(xin xn u hu)的标准型Standard form of LP第36页/共109页第35页/共109页第三十五页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.12】将下列(xili)线性规划化

33、为标准型 3213minxxxZ无符号要求、32132132132100) 3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx【解】（）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值(f zh)，标准型中要求变量非负，所以令 0,33333 xxxxx其中1.3 线性规划(xin xn u hu)的标准型Standard form of LP第37页/共109页第36页/共109页第三十六页，共110页。2021年11月24日星期三 (3)第二个约束条件是号，在号 左端减去剩余变量(binling)(Surplus variable)x5，x50。也称松驰变量(binling)3213mi

34、nxxxZ无符号要求、32132132132100)3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx1.3 线性规划(xin xn u hu)的标准型Standard form of LP(2) 第一个约束条件是号，在左端加入松驰(sn ch)变量 (slack variable) x4，x40,化为等式；(4)第三个约束条件是号且常数项为负数，因此在左边加入松驰变量x6，x60，同时两边乘以1。 （5）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z=Z,得到max Z=Z，即当Z达到最小值时Z达到最大值，反之亦然。 第38页/共109页第37页/共109页第三十七页，共110页。2021年

35、11月24日星期三综合起来(q li)得到下列标准型 332133maxxxxxZ 05)(233826543321633215332143321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx、1.3 线性规划(xin xn u hu)的标准型Standard form of LP第39页/共109页第38页/共109页第三十八页，共110页。2021年11月24日星期三 当某个(mu )变量xj0时,令x/j=xj 。 当某个(mu )约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束 974321xxx将其化为两个(lin )不等式 974974321321xxxxxx

36、再加入松驰(sn ch)变量化为等式。 1.3 线性规划的标准型Standard form of LP第40页/共109页第39页/共109页第三十九页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.13】将下例线性规划(xin xn u hu)化为标准型无约束、211212145|maxxxxxxxxZ【解】 此题关键是将目标(mbio)函数中的绝对值去掉。令 0000000000002222222211111111xxxxxxxxxxxxxxxx，222222111111,|,|xxxxxxxxxxxx 则有1.3 线性规划(xin xn u hu)的标准型Standard form o

37、f LP第41页/共109页第40页/共109页第四十页，共110页。2021年11月24日星期三得到(d do)线性规划的标准形式 112211223114112234max()()540Zxxxxxxxxxxxxxxxxxx 、 、 、 、 、1.3 线性规划(xin xn u hu)的标准型Standard form of LP对于axb(a、b均大于零)的有界变量化为标准形式有两种方法。 一种方法是增加两个约束xa及xb 另一种方法是令x=xa，则axb等价于0 xba，增加一个约束xba并且将原问题(wnt)所有x用x= x+a替换。第42页/共109页第41页/共109页第四十一页

38、，共110页。2021年11月24日星期三1.如何(rh)化标准形式？ 可以对照四条标准逐一(zhy)判断！ 标准形式是人为定义的，目标函数(hnsh)可以是求最小值。2.用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。图解法时不必化为标准型。3.单纯形法求解时一定要化为标准型。作业：教材P34 T 81.3 线性规划的标准型Standard form of LP下一节：基本概念第43页/共109页第42页/共109页第四十二页，共110页。1.4 线性规划(xin xn u hu)的有关概念Basic Concepts of LP第44页/共109页第43页/共109页第四十三页，共110页。20

39、21年11月24日星期三 设线性规划的标准型 max Z=CX （1.1） AX=b （1.2） X 0 （1.3）式中A 是mn矩阵，mn并且r（A）=m，显然A中至少有一个(y )mm子矩阵B，使得r（B）=m。1.4 基本概念Basic Concepts 基 (basis)A中mm子矩阵B并且有r（B）=m，则称B是线性规划的一个基（或基矩阵basis matrix ）。当m=n时，基矩阵唯一，当mn时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过mnC第45页/共109页第44页/共109页第四十四页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.14】线性规划(xin xn u hu) 321

40、24maxxxxZ5 , 1, 0226103553214321jxxxxxxxxxj 求所有(suyu)基矩阵。 【解】约束方程的系数(xsh)矩阵为25矩阵 10261001115A,610151B,010152B,110053B26114B10019B,12017B,02118B,16016B,06115B容易看出r(A)=2，2阶子矩阵有C52=10个，其中第1列与第3列构成的2阶矩阵不是一个基，基矩阵只有9个，即1.4 基本概念Basic Concepts 第46页/共109页第45页/共109页第四十五页，共110页。2021年11月24日星期三由线性代数知，基矩阵B必为非奇异(q

41、y)矩阵并且|B|0。当矩阵B的行列式等式零即|B|=0时就不是基 当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为(chn wi)基向量(basis vector)，其余列向量称为(chn wi)非基向量 基向量(xingling)对应的变量称为基变量(basis variable)，非基向量(xingling)对应的变量称为非基变量 在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量是非基向量，x1、x4是基变量，x2、x3、x5是非基变量。基变量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基变量和非基变量也不同。010152B10261001115A1.4 基本概念Basic

42、Concepts 第47页/共109页第46页/共109页第四十六页，共110页。2021年11月24日星期三可行解(feasible solution) 满足(mnz)式（1.2）及（1.3）的解X=（x1,x2，xn)T 称为可行解 。基本(jbn)可行解(basis feasible solution) 若基本(jbn)解是可行解则称为是基本(jbn)可行解（也称基可行解）。 例如， 与X=（0，0，0，3，2，）都是例1 的可行解。 TX) 1 ,27,21, 0 , 0( 基本(jbn)解(basis solution) 对某一确定的基B，令非基变量等于零，利用式（1.） 解出基变量

43、，则这组解称为基的基本(jbn)解。 最优解(optimal solution) 满足式 （1 .1）的可行解称为最优解，即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解，例如可行解 是例2的最优解。TX)8 ,0,0,0,53(非可行解(Infeasible solution) 无界解 (unbound solution)1.4 基本概念Basic Concepts 第48页/共109页第47页/共109页第四十七页，共110页。2021年11月24日星期三显然，只要基本解中的基变量的解满足式（1.）的非负要求，那么这个(zh ge)基本解就是基本可行解。 在例1.13中，对来说，x1,x2是基

44、变量(binling)，x3,x4，x5是非基变量(binling)，令x3=x4=x5=0，则式（1.）为2610352121xxxx,610151B对B2来说，x1,x4,为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式（1.2）得到 ，x4=4，511x因|B1|，由克莱姆法则(fz)知，x1、x2有唯一解x12/5,x2=1则 基本解为TX)0 , 0 , 0 , 1 ,52()1(1.4 基本概念Basic Concepts 第49页/共109页第48页/共109页第四十八页，共110页。2021年11月24日星期三由于 是基本解，从而它是基本可行解，在 中x10i表1-4(1)XBx1

45、x2x3x4bx3211040 x4130130j3400 (2)x3x2j (3)x1 x2 j 基变量(binling)110001/301/3105/31-1/3405/30-4/330103/5-1/51801-1/5 2/5400-1-1将3化为1乘以1/3后得到(d do)1.5 单纯形法 Simplex Method3018第62页/共109页第61页/共109页第六十一页，共110页。2021年11月24日星期三最优解X=(18，4，0，0)T，最优值Z=70O20301040(3,4)X(3)=(18,4)最优解X=(18,4)最优值Z=7040221 xx305 . 121

46、xx0,30340243max432142132121xxxxxxxxxxxxZX(1)=(0,0)2010 x2x1301.5 单纯形法 Simplex Method0, 0305 . 1402212121xxxxxxX(2)=(0,10)第63页/共109页第62页/共109页第六十二页，共110页。2021年11月24日星期三单纯形法全过程的计算(j sun)，可以用列表的方法计算(j sun)更为简洁，这种表格称为单纯形表（表1.4）。计算(j sun)步骤：1.求初始基可行解，列出初始单纯形表，求出检验(jinyn)数。其中基变量的检验(jinyn)数必为零； 2.判断： （a）若j

47、（j，n）得到最解； （b）某个k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解(见例1.18)。 （c）若存在k0且aik (i=1,m)不全非正，则进行换基；1.5 单纯形法 Simplex Method第64页/共109页第63页/共109页第六十三页，共110页。2021年11月24日星期三min0,0,iiLikikikikbbaaM Maa当 时为任意大的正数第个比值最小 ，选最小比值对应(duyng)行的基变量为出基变量，若有相同最小比值，则任选一个。aLk为主元素； (c）求新的基可行解：用初等行变换(binhun)方法将aLk 化为,k列其它元素化为零（包括检验数行）得到新

48、的可行基及基本可行解，再判断是否得到最优解。（b）选出基变量(binling) ，求最小比值：1.5 单纯形法 Simplex Method3.换基：（a）选进基变量设k=max j | j 0,xk为进基变量第65页/共109页第64页/共109页第六十四页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.16】 用单纯形法求解(qi ji)3212maxxxxZ02053115232321321321xxxxxxxxx、【解】将数学模型化为标准(biozhn)形式：3212maxxxxZ5 , 2 , 1, 0205311523253214321jxxxxxxxxxj不难看出x4、x5可作

49、为初始基变量(binling)，单纯法计算结果如表 1.所示 。 1.5 单纯形法 Simplex Method第66页/共109页第65页/共109页第六十五页，共110页。2021年11月24日星期三Cj12100bCBXBx1x2x3x4x50 x423210150 x51/3150120j12100 0 x42x2j 1x1 2x2 j 表151/3150120301713751/30902M2025601017/31/31250128/91/92/335/30098/91/97/3最优解X=(25，35/3，0，0，0)T，最优值Z=145/31.5 单纯形法 Simplex Met

50、hod第67页/共109页第66页/共109页第六十六页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.17】用单纯形法求解(qi ji) 42122minxxxZ5 , 1, 0212665521421321jxxxxxxxxxxj【解】 这是一个极小化的线性规划问题,可以将其化为极大化问题求解,也可以直接求解,这时判断标准是：j0(j=1，n)时得到最优解。容易观察到,系数矩阵中有一个3阶单位矩阵,x3、x4、x5为基变量(binling)。目标函数中含有基变量(binling)x4,由第二个约束得到x4=6+x1x2，并代入目标函数消去x4得12121222(6)6Zxxxxxx 1.

51、5 单纯形法 Simplex Method第68页/共109页第67页/共109页第六十七页，共110页。2021年11月24日星期三XBx1x2x3x4x5bx3x4x51-1611210001000156215621/2j1-1000 x2x4x51-241001-1-20100015111 j20100 表中j0,j=1,2,5所以最优解为X=(0,5,0,1,11,)最优值 Z=2x12x2x4=251=11极小值问题,注意(zh y)判断标准,选进基变量时,应选j0, x2进基，而a120，a220且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零

52、的基本可行解。1.5 单纯形法 Simplex Method第75页/共109页第74页/共109页第七十四页，共110页。2021年11月24日星期三在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式(dngsh)左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。【例1.20】用大M法解 下列(xili)线性规划012210243423max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、1. 大M 单纯形法1.5.2大M和两阶段(

53、jidun)单纯形法1.5 单纯形法 Simplex Method第76页/共109页第75页/共109页第七十五页，共110页。2021年11月24日星期三【解】首先将数学模型化为标准(biozhn)形式5 , 2 , 1, 012210243423max32153214321321jxxxxxxxxxxxxxxxZj式中x4，x5为松弛(sn ch)变量，x5可作为一个基变量，第一、三约束中分别加入人工变量x6、x7，目标函数中加入Mx6Mx7一项，得到人工变量单纯形法数学模型用前面介绍(jisho)的单纯形法求解，见下表。 7 , 2 , 1, 012210243423max732153

54、216432176321jxxxxxxxxxxxxxxMxMxxxxZj1.5 单纯形法 Simplex Method第77页/共109页第76页/共109页第七十六页，共110页。Cj32100MMbCBXBx1x2x3x4x5x6x7M0Mx6x5x74123121211000101000014101j3-2M2+M-1+2MM000M01x6x5x3632532001100010100381j5-6M5M0M00201x2x5x36/53/52/51000011/53/52/50103/531/511/5j50000231x2x1x301010000111025/32/31331/319

55、/3j0005-25/3第78页/共109页第77页/共109页第七十七页，共110页。2021年11月24日星期三（1）初始表中的检验数有两种算法，第一种算法是利用第一、三约束将x6、x7的表达式代入目标涵数消去x6和x7，得到用非基变量表达的目标函数，其系数就是检验数；第二种算法是利用公式计算，如（2）M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；MMM232)(10)4()(31最优解X（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值Z152/3注意(zh y)：1.5 单纯形法 Simplex Method第79页/共109页第78页/共109页

56、第七十八页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.21】求解(qi ji)线性规划 0,426385min21212121xxxxxxxxZ【解】加入(jir)松驰变量x3、x4化为标准型4 , 2 , 1, 0426385min42132121jxxxxxxxxxZj在第二个方程中加入人工变量(binling)x5，目标函数中加上M x5一项，得到 1.5 单纯形法 Simplex Method第80页/共109页第79页/共109页第七十九页，共110页。2021年11月24日星期三5 , 2 , 1, 0426385min5421321521jxxxxxxxxMxxxZj用单纯

57、形法计算(j sun)如下表所示。 Cj5800MbCBXBx1x2x3x4x50Mx3x5311210010164j5M8+2M0M0 5Mx1x5101/37/31/31/3010122j029/3+7/3M5/3+1/3MM0 1.5 单纯形法 Simplex Method第81页/共109页第80页/共109页第八十页，共110页。2021年11月24日星期三表中j0，j=1，2，5，从而得到最优解X=（2，0，0，0，2）， Z=10+2M。但最优解中含有人工变量x50说明这个解是伪最优解，是不可行的，因此(ync)原问题无可行解。 两阶段单纯形法与大M单纯形法的目的类似，将人工变量

58、从基变量中换出，以求出原问题的初始基本可行解。将问题分成两个阶段求解，第一阶段的目标(mbio)函数是miiRw1min约束条件是加入人工变量后的约束方程，当第一阶段的最优解中没有人工变量作基变量时，得到原线性规划的一个基本可行解，第二阶段就以此为基础(jch)对原目标函数求最优解。当第一阶段的最优解w0时，说明还有不为零的人工变量是基变量，则原问题无可行解。1.5 单纯形法 Simplex Method2. 两阶段单纯形法第82页/共109页第81页/共109页第八十一页，共110页。2021年11月24日星期三【例1.22】用两阶段单纯形法求解(qi ji)例19的线性规划。【解】标准型为

59、5 , 2 , 1, 012210243423max32153214321321jxxxxxxxxxxxxxxxZj在第一(dy)、三约束方程中加入人工变量x6、x7后，第一(dy)阶段问题为7 , 2 , 1, 0122102434min732153216432176jxxxxxxxxxxxxxxxxwj用单纯形法求解，得到第一阶段问题(wnt)的计算表如下：1.5 单纯形法 Simplex Method第83页/共109页第82页/共109页第八十二页，共110页。2021年11月24日星期三Cj0000011 bCBXBx1x2x3x4x5x6x7101x6x5x741231212110

60、00101000014101j2121000 100 x6x5x3632532001100010100 381j650100 000 x2x5x36/53/52/51000011/53/52/5010 3/531/511/5j00000 1.5 单纯形法 Simplex Method第84页/共109页第83页/共109页第八十三页，共110页。2021年11月24日星期三最优解为 最优值w=0。第一阶段最后一张最优表说明找到了原问题的一组基可行解，将它作为初始基可行解，求原问题的最优解，即第二阶段问题为)5310 ,511,53, 0(X123124145134max326135553331