第51讲+空间几何点的坐标的写法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练+Word版含解析

1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第51讲:空间几何点的坐标的写法【知识要点】一、空间向量的正交分解空间的任意向量a ,均可分解为不共面的三个向量力、yj zk ,使a = xi + yj + zk .如果j,k两两垂 直，这种分解就是空间向量的正交分解.二、空间向量基本定理如果三个向量a,byc不共面，那么対于空间任意一个向量q ,存在一个唯一的有序实数组兀,y,z使 p = xa + yb + zc.我们把 a, b, c叫做空间的一个基底,其中ci. b, c叫基向量.三、单位正交分解如果空i'可一个基底的三个基向量互相垂直，长度都为1个单位，则这个基底叫做单位正交基底，通常用

2、表示.四、空间直角坐标若ij.k为有公共起点0的三个两两垂直的单位向塑，分别以的方向为兀轴，y轴，z轴的正方 向建立空间直角坐标系0 -xyz ,有序实数组x.y, z使得/? = xz + yj + zk ,我们把x, y, z称作向量在单 位正交基底z, j,k下的坐标，记作p - (x, y, z),则坐标(x,y,z)就是向量*的坐标.五、写空间点的坐标常用的有直接观察法、向量法、作坐标线法三种.【方法讲评】方法一直接观察法使用情景点的位置比较特殊，一般在坐标轴上或其它特殊位置.解题步骤直接利用空间向量点坐标的定义观察写出点的坐标.【例1】如图，在直三棱柱abc-aqg屮，bc = y

3、/2,ab = ac = aa=lf d是棱cc；上的一点,p是ad的延长线与ag的延长线的交点，且户冋平面bd.(1)求证：cd = cd；(2)求二面角的正弦值.【解析】d)连接启交04于otpbi"平面bda1?妁尸u面应f ,面期ffl面月4。= 0。gph仞又0対迟的中点，:.dap中点g为4尸中点/. aacd = apqd :. cd = c4(2) /在直三棱柱血c佔g中sc = 2z.4b = ac = 1.db丄4c以4为坐标原轧 以4% 4g 4x所在直线建立空间直角坐标系如图所示.由(1)知g为af中点点 a，5，d,p 坐标分别为 a(0,(),0), b,

4、 (1,0,0), d(o,1,|), p(0,2,0)设平面a b d的法向量加=(兀,y, z): m丄a/且加丄4£)co5'=y + z = ()2同理：平面的法向量n = (2丄2) 设二面角4 一月1。- p平面角为e 则©外五"吃，mn5【点评】该题中的几何体比较特殊的几何体直三棱柱，题目中的各个点比较容易直接观察得到，所以选 择直接观察法写出各点的坐标.在正方体、长方体、直棱柱、正棱柱等特殊几何体中也常用直接观察法.【反馈检测1】如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd丄底abcd,pd = dc, e是pc的中点，作e

5、f a.pb交pb于点、f .(1) 求证：pa 平面edb ；(2) 求二而角f-de-b的正弦值.向量法方法二使用情景点在一般位置，不是特殊位置.解题步骤利用向量的关系计算出空间点的坐标.【例2】己知四棱锥p abcd,其中底面abcd为矩形侧棱pa丄底血abcd,其中bc = 2, ab = 2pa = 6,为侧棱pc上的两个三等分点，如图所示:(1) 求证：如7|平面必3£；(2) 求二面角b_pc_a的余弦值.【解析证明：连结/c交bded于0,连结底面abcd矩形,j.oac中点，tmn/侧棱尸c的三等份点,:.cm = cn? ：.0man ?toaf u平面胚bd,血

6、7 平面a/bd的|平面affid(2)易知aabp为等腰直角三角形，所以bp为外接圆的直径，所以pb = 3忑,pa = 3,如图所示，以4为原点，建立空间直角坐标系a - xyz ,则 a (0, 0, 0), ? ,?设m 坐标为(心，九,zw),由题得pm=-pc,所以(心，九，z,w 3) = -(3,6,-3) = (2,4, 2)所以 如=4)切=4,所以m坐标为(2,4,1),同理n点坐标为(1,2,2),设平面3cp的勺-3 = -2 匚=1法向量为加= (x,y,z), .丽=(一3,0,3),蔬= (0,6,0),并且加丄丽，加丄貳-3x + 3z = 06y = 0令兀

7、=1,得 y = 0，z = l,二平面mbd的一个法向量为m=(l,03l),设平面pac法向量为n = (x12y11z1)7同理可得h = (2-10)- mn 2 j1ocos <m.n>= =fk = l l =mn yf2yf5 5由團可知,二面角b-pc-a为锐角， 二面角b-pc-a的余弦值为乎.【点评】本题屮的点的坐标不是很好写，所以要根据向量的关系pm=-pc,pn = -pc列出方33程，再解方程即可推算出m,n的坐标.【例3】如图，在各棱长均为2的三棱柱abc abc中，侧面acc,丄底面abc, za,ac = 60°.(i )求侧棱a4,与平面

8、ab、c所成角的正弦值的大小；(ii)已知点d满足bd=ba+bc,在直线上是否存在点p,使dp/平面ab.c ?若存在，请 确定点p的位置；若不存在，请说明理由.b【解析】（i ） 侧面aacc|丄底面abc,作ao丄ac于点o,£0丄平面abc .又zabc = za1ac = 60°,且各棱长都相等，ao = 1, 04 =ob = y3, bo a. ac故以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系o-兀yz,则a （0, - 1, 0）, b（v3，0, 0）, £ （0,0,巧），c （0, 1, 0）,鬲设妁（兀y,z）,由题得aa. =bb所以

9、巫=（0丄筋,”n） 所x = ,y = ,z=.所以月（石丄右）.画=（、氏 2,語）,ac =（0,2,0）.设平面abc的法向量为h =（兀h1）解得;= (21)而侧棱与平面血c所成角,即是向量 应 与平面血1。的法向量所成锐角的余角，二侧棱4血与平面血1c所成角的正弦值的犬小为 世斗(id vsd = ba + bc,而 丽=(一希,一1,0) ,bc = (-73,1,0)丽=(-2爺,0,0).又b怎,0,0),点d的坐标为d(-v3,0,0).假设存在点p符合题意，则点p的坐标可设为p(0, y, z).dp =(羽,y,z)t dp /平面abc , n = (1,0,1)为

10、平面abc的法向量,由 ap = aaat ,得又dp q平面abc,故存在点p,使dp/平面abq,其坐标为(0,0,能)，即恰好为人点【点评】本题中的点妨的坐标不是很好写，但是两=画 利用列出关于点冋坐标的方程便可以比较方便地写出它的朋标.【反馈检测2】正三棱锥o-abc的三条侧棱04、ob、0c两两垂直，且长度均为2. e、f分别是ab、ac的中点，h是ef的中点，过ef的一个平面与侧棱04、ob、0c或其延长线分别相交于3 冋、c|,己知0人二一.2(1)证明：妨g丄平面oah；(2)求二面角0 aqg的余弦值；(3)求点b到平面ab.c,的距离.方法,作坐标线法使用情景点所在的三角形

11、是直角三角形.解题步骤作出点的坐标线，根据坐标线写出点的坐标.【例4】如图，四棱锥p-abcd的底面abcd为矩形，且pa = ad = , ab = 2, zpab = 120°,zpbc = 90°.(i )求证：d4丄平面pab；(ii)求直线pc与平面abcd所成角的正弦值.【解析】(i )平面pad丄平面pabvzp5c = 9o°bc 丄 pb.四棱锥p-abcd的底面应cd为矩形:.bc丄应pb c 平面 pab , /bu 平面 pab ,且:.bc丄平面mbad bc血丄平面mb(ii )以点a为坐标原点，ab所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如

12、右图示，则依题意可得d(0,0,l),c(0,2,l),p(a/32cb v3 5可得c(2，i)平a abcd的单位法向量为/77 =(1,0,0),设直线pc与平面abcd所成角为q ,血0也，即直线pc与平面abcd所成角的正弦值为$ 8【点评】本题中点p的坐标，直接观察不是很方便，需要过点p作ph丄垂足为再解三角形aph ,得到ah.ph的长度，即可得到点p的坐标.【反馈检测3】如图在底面为菱形的四棱锥p abcd, zabc = 60°ypa = ac = l9pb = pd = y/2fpe点e在pd上,且=2.ed(i )求证：p4丄平面abcd；(ii)求二面角e-a

13、c-d的正弦值;(iii)在棱pc上是否存在点f使得bf n平面e4c?若存在，试求pf的值；若不存在，请说明理由.高屮数学常见题型解法归纳及反馈检测第51讲:空间几何点的坐标的写法参考答案【反馈检测】答案】证明过程详见解析；（2）半.【反馈检测1详细解析】如图建立空间直角坐标系，点d为坐标原点，设dc = .（1）证明：连结acac交妙于点g,连结eg依题意得血0,0）屮（0。1）攻0占 因为底面4bcd是正方形，所以点g是此正方形的中心，故点g的坐标为（鳥，q），且皿=（l0-1xeg = （130-|）所以pa = 2eg,即而egu平面edb ,且mu平面edb ,因此m "

14、平面ed5 * 1 1 -（2）3（1 丄 0），pb 二（1j-1）,又 de = （0二二），故 pb de = 0,所以 pb 丄 de 2 2由已知ef丄,且ef d de = e,所以pb丄平面efd.' . 1 所以平面efd的一个法向量为pb = （1,1-1） de = （0-db = （1,0）,2 2不妨设平面deb的法向量为a = (%, y, z)ade =丄(y + z) = o则2a db = x + y = 0不妨取x = 1 则 y = -l,z = 1 ,即 a = (1,-1,1)设求二面角f-de-b的平面角为&cos&= f竺-=

15、-丄因为&“0,刃，所以sine二空1«| pb 33n py二面角f-de-b的正眩值大小为土 3【反馈检测2答案】(1)见解析；(2) ； (3)叵6 6【反馈检测2详细解析】(1)证明:依题设,ef是abc的中位线,所以efii bc f则ef i!平面obc, 所以又耳是ef的中点，所以佰丄ef,则血丄ec】.因为0/丄qb, c以丄0c,所以加丄面0bcf则q4丄g,因此0g丄面。血(2)c作0n丄人目于w,连gn.因为0c；丄平面0人色,根据三垂线定理知，gn丄儿目， 乙onc、就是二面角0-ab】g的平面角.作em ± obx于m,则em /0a,则m

16、是0b的中点，则em = 0m =1.设ob严x,由竺=竺得，=3mb、 em x-l解彳寸入一"在 rtaoa,b,中，a、b严 joaf + obf =亠頁,贝 ij, on-°ac°b - 3 所以tan zonc严冷=运,故二面角o 人妨c】余弦值为普解法二：(1)以直线o/、oa off分别为环f込轴，建立空间直角坐标系，。羽迂贝u/(2q 0)a jbq oa 2), c(oa 2a 0 eq oj), f(t k 0)a hq 匸.-)所 ahbc=q3ohbc=q由ef ii bc得bc,故：耳6丄平面q価3(2)由已知 a(-,0,0),设 4(

17、0,0,z)则命=(-丄,0,1),画=(-l,0,z-1)2由4e与共线得:存在qg /?有砂=®得nz = 3.冋(003)=a2l = a(z-l)同理：q(0,3,0)33ai =(亍 0,3), ac = (>3,0)设旳=oq ji,勺）是平面4场q的一个法向量3x+3z = 0则 2令兀=2 得 y = x = l 二 6=(2 丄 1).又云=（0丄0）杲平面o佔的一个法量j. cos < % 阳 >=-、;<4+1+1所臥二面角的余弦值为学.63一由 知，4（-a0）, 5（0.0.2）,平面举g的一个法向量为旳=（2丄1）.h3则举=(护.

18、£ab x则点b到平面举g的距离为d =吕竿=弓秽=普111【反馈检测3答案】（1）见解析;【反馈检测3详细解析】(i )证明：在菱形abcd中，zabc = 60° ,:.ac ab ad pa = ac = , :.pa = ab = ad = .: pb = pd =近, pa2 + ab2 二 pbpa1 + ad2 = pd2.pa丄ab. pa丄4d. abcad = at:.pa丄平面abcd.(ii)如图，以a为原点建立空间直角坐标系，依题意可得/(o,qo)c小°(阿)疋 一tme ="1 3 1 i2 2 j3 3 3则ac =设平面eac的一个法向量为“=(益”刃nac = qn - ae = 01申n_lx+£y+lz=q,333设f