空间向量与立体几何题型设计

1、空间向量与立体几何题型设计题型1:空间向量的概念及性质1. 有以下命题：如果向虽:方/与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么方/的关 系是不共线；o,a,b,c为空间四点，且向量巫為,况不构成空间的一个基底，那么点 o,a,b,c 定共面；己知向m.a,b,c是空间的一个基底，则向量a + b.a-b,c ,也是空 间的一个基底。其中正确的命题是()(b)(c)(d)解析：对于“如果向与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么方,乙的关 系一定共线”；所以错误。正确。点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向最能成为一组基的条件，为此我们要掌握 好空间不共面与不共线的区别与联系。2. 下列命

2、题正确的是()(a) 若方与乙共线，乙与2共线，则方与7共线；(b) 向量方厶：共面就是它们所在的直线共面；(c) 零向量没有确定的方向;(d) 若方席，贝u存在唯一的实数2使得a =解析：a中向量b为零向量时要注意，b屮向量的共线、共而与胃线的共线、共面不一 样，d中需保证b不为零向量。答案c。点评:零向量是一个特殊的向量,时刻想着零向量这一特姝情况对解决问题有很大用处。 像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。图3. 在平行六面体abcdaibtctdj «|>, m为ac与bd的交点，若ab = a , ajdj =b , a/=c.则下列向最中与相等的向量是（）1 - 1

3、 711 7a. a hb + cb. -a- b + c2 222c. cib + cd.ab + c2 2 2 24. 在下列条件中，使m与a、b、c 一定共而的是a. om =20a-0b-0cb丽吕亦無+期c. ma + mb + mc = od. om oa + ob + oc = 0题型2：空间向量的基本运算(主要有加、减法及数乘、1. 如图：在平行六面体abcd-bxcdx中，m为 ac与的交点。若而=：，ad = b aa=c，贝ij下列向量中与丽相等的向量是(1 1 - 1 1 - 一(a)a+b +c (b) a+b +0丿22丿221 1 -11(c)ab+c () _a

4、 b + c72222数量积运算)解析:= bb +bm(ad-ab) + aa-a+-h+c2 2答案为a。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处 理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的 加法.考查学牛的空间想象能力。2. 已知空间四边形 abcd 中，oa = a,ob = b,oc = c，点 m 在 oa 上，h.0m=2ma,n为bc中点，则mn =1 - 2 r 1 -a. ab + c2 321 一 1 71一c. a+bc2 2 2b. a + b + c3 22d.2- 2; 1 -a+bc332

5、3. 已知：a =3m-2/i-4p0,b = (x + l)m + 8n + 2yp, ji.m,h. p 不共面若 a / b y 求x, y的值.解：*: a / b , y 且五工 0,/. b = 25,即(x + y)m + 8用 + 2yp = 3aifi 一 2an 一又 m, n. p 不共面，. a.二邑=21 . = _13),二 &3 -2-4-点评：空间向最在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。题型3：空间向量的坐标1. (1)已知两个非零向量0 =(* ffa. a ： a =b : h |ap a2, a3), b = (bf b2, b3),它们平行

6、的充要条件是()b.a) b】=a2 b2=a3 b3c.a|b|+a2b2+a3b3=0d.存在非零实数k,使a=kb(2) 已知向量d =(2,4, x), b = (2, y, 2),若a |=6, d 丄 b ,则 x+y 的值是()a. 一3 或 1b.3 或一 1c. 一3d.1x = 4, 尸一3 或y = .4 + 16 + f =364 + 4y + 2x = 0x = -4,-1 + 0 + 0a.d=(l,2,3)，b =(3,0,2)，c=(4,2,5)b.0=(1,0,0)，6=(0,1,0)，7=(0,0,1)c.cl =(1 ,1,0)，0,1)，；=(0,1,1

7、)d.a =(1,1,1)，=(1,1,0),c=(l,0,1)解7折：(1)d；1*1八、拨：由丿£线向冕:定线易知；(2) a点拨：由题知(3) a点拨：由共面向量基本定理可得。点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。2. 己知空间三点 a (-2, 0, 2), b (一1, 1, 2), c (一3, 0, 4)。.a = ab , b = ac ,(1) 求a和&的夹角o； (2)若向量ka +b与ka2庁互相垂直，求k的值.思维入门指导：木题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要 求的结果.解:va(-2, 0,2

8、), b (-1, 1, 2), c(-3, 0, 4), a = ab , b =(l) cos&= t b_ = 10 ,i"vio：和乙的夹角为一而。*.*ktz + b =k (1, 1, 0) + ( 1, 0, 2) = (k 1, k, 2),ka -2b = (k+2, k, 一4), h.(ka+b)丄(ka2/?),(k-1, k, 2) - (k+2, k, -4) =(k-1 )(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0o5_则 k=-2 或 k=2。点拨：第(2)问在解答时也町以按运算律做。ca+b ) (ka-2b)=ca2-kab_5_2p=2k

9、2+k-10=0,解得 k=-2 ,或 k=2。3. 与向量 = (1,-3,2)平行的一个向量的坐标是()a. ( , 1, 1)b. ( 1, 3, 2)31 2c. (, , 1)d. ( v2 , 3, 2y2 )2 24. 已知a(-l, -2, 6), b(l, 2, 一6)0为坐标原点，则向量刃，与丙 的夹角是()a. v3b.23c. v6d.鱼26.已知 q = (1 -=,贝a-b的最小值为a逅5b.a/55c.朋511d.555.己知a (1,1, 1)、b (2, 2, 2)>c (3, 2, 4),则4abc的面积为a. 0b.71c. 713/r题型之四：空间

10、向量的应用1. 空间屮各种角包括：界面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。7t（1）界而直线所成的角的范围是（0,yo求两条异面直线所成的角的大小一般方法是 通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下： 利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶 点选择在特殊的位置上； 证明作出的角即为所求的角； 利用三角形来求角。7t（2）肓线与平面所成的角的范围是0,-o求肓线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下： 找过斜线上一-点与平面垂直的直线； 连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出 所求的角； 把该角置于三角形屮计算。注：斜

11、线和平面所成的角，是它和平面内任何一条肓 线所成的一切角中的最小角，即若0为线面角，（x为斜线 与平面内任何一条直线所成的角，则有e<a,（3）确定点的射影位置有以下儿种方法： 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; 如果一个角所在的平而外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平而上的射影在 这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； 两个平血相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的 交线上； 利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相

12、等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形 的外心；b.如果顶点到底血各边距离和等或侧血与底血所成的角相等，那么顶点落在底血上的射影是底面三角形的内心（或旁心）;c.如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三 角形的垂心；（4）二血角的范围在课木屮没有给出，一般是指（0,/r,解题吋要注意图形的位置和题目的要求。作二而角的平而角常有三种方法 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条 射线所成的角，就是二面角的平面角； 面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线 得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和

13、斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的 平而角； 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面介得两条射线，这两条射线 所成的角就是二面角的平面角。斜面面积和射影面积的关系公式：s二s cos。（s为原斜面面积,s'为射影面积,e为 斜面与射影所成二面角的平面角）这个公式对于斜面为三角形，任意多边形都成立.是求二面 角的好方法.当作二而角的平而角有困难时,如果能找得斜而而积的射彫而积，可肯接应用公 式,求出二面角的大小。2. 空间的距离（1）点到肓线的距离：点p到直线a的距离为点p到直线a的垂线段的长，常先找或 作直线a所在平面的垂线，得垂足为a,过a作a的垂线，垂足为b连p b,

14、则由三垂线定 理可得线段p b即为点p到肓线a的距离。在直角三角形p ab中求；l! p b的长即町。点到平面的距离：点p到平面&的距离为点p到平而q的垂线段的长.常用求法作 出点p到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面q的斜线上两点a, b到斜足 c的距离a b , ac的比为m : n ,则点a, b到平面a的距离之比也为mtn .特别地，a e = ac时，点a, b到平面a的距离相等；体积法（2）异面直线间的距离:异面直线a上间的距离为a,b间的公垂线段的长.常有 求法先证线段a b为界面直线的公垂线段，然后求岀a b的长即可.找或作出 过b且与d平行的平仙贝悄线。到平

15、面的距离就是异面肓线4小间的距离.找或作 出分别过且与b ,。分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面玄线a上间的 距离.根据界面直线间的距离公式求距离。（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行z间.为直线上任意一点到平面间 的距离。（4）平血与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间.为一个平血上任意一点到另 一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对m图形上两点 间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。（1）用法向量求界而直线间的距离如右图所示，a、b是两异|酊直线，卅是a和b的法向量，点eea, feb,则界而直线a与b之间的距离是

16、efn den（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面 的距离问题。（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离 问题转化成点到平面的距离问题。要求总线a与平而a所成的角0,先求这个平而a的法向量与总线a的夹角的余弦cos,a),易知 8=02,a)或者彳-（1）：杲面直线所成的角1.（1）直三棱住a】bciabc, zbca=90° ,点d】、f）分别是ab】、a】c】的中点,bc=ca=ccp则bdj与af所成角的余弦值是（）(a )迥 (b)丄

17、(c)迥(d)返1021510解析：(1)连结d】f,则df仏丄bc，=2vbcad1f1/-bc= =2设点e为bc +点，df|gbe, bdiefi，二zef】a或其补角即为bd】与af】所成的角。由余弦定理可求得coszeg罟。故选a。(2)：肓线与平而所成的角2. pa、pb. pc是从p点岀发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°,那么肓线pc与平面pab所成角的余弦值是()a.v6t解：构造止方体如图所示，过点c作co丄平面pab, 足为o,则o为正aabp的中心，于是zcpo为pc与平2 v3pab所成的角。设pc=a,贝【j po=-pd = a ,故3 3cos

18、zcpo =pc3即选cld.血思维点拨：第(2)题也可利用公式cos& = cos0cosy直接求得。3.已知正方体abcqa/icqi的棱长为2,点e为棱a3的中点求：de与平面bcq所成角的大小(用余弦 值表示)解析：建立坐标系如图，则 4(2,0,0)、5(2,2,0), c(0,2,0),a（2,0,2）, d（2,2,2）, q（0,0,2）, £（2,1,0）,ac = （-2,2,-2）,菲=（2,1,-2）,乔= （0,2,0）,丽;=（0,0,2）。不难证明ac为平面bcq的法向量,cos农耐粽專d£与平面bcq所成的角的余弦值为o 点评：将界面

19、f1线间的夹角转化为空间向量的夹角。（3）：二面角4. 在四棱锥p-abcd中，abcd为正方形，pa丄平 面 abcd, pa=ab = a, e 为 bc 中点。（1）求平面pde与平面pab所成二面角的大小 （用正切值表示）；（2）求平面pba与平面pdc所成二面角的大小。解析：（1）延长ab、de交于点f,则pf为平面pde与平面pad所成二面角的棱，vpa丄平jfll abcd, a ad丄pa、ab, pacab=ada丄平而bpa于a,过a作ao丄pf于o,连结od,则zaod即为平面pde与平而pad所成二面角的 平面角。易得t心込孚故平面pde与平pad所成二面角的正切值为孚

20、（2）解法1 （面积法）如图tad丄pa、ab, paaab=a,a da丄平而bpa于a,同吋，bc丄平而bpa于b,pba是apcd在平面pba ±的射影，设平面pba与平面pdc所成二面角大小为 0, cos0=sapab/sapcd=i®/2 e=45°。即平面bap与平面pdc所成的二面角的大小为45。解法2 （补形化为定义法）如图：将四棱锥p-abcd补形得正方体abcd-pqmn,pq丄pa、pd,于是zapd是两面所成二面角的平面角。在rtapad中，pa=ad,贝ijzapd=45°0即平面bap与平面pdc所成二面角的大小 为 45。

21、5.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥p-abcd的底而abcd是边长为1的菱形，zbcd=60q ,e是cd的中点，必丄底面a3cd, pa = 2.（i ）证明：平面pbe丄平面用b;（ii ）求平血pad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小.解：解法一(i )如图所示，连结由abcd是菱形且zbc1x60。知， 'bcd是等边三角形.因为e是cd的中点，所以be丄cd,5lab/cd, 所以bea.ab.又因为丄平ft| abcd, be u平而abcd.所以 刖丄be.而pa rab=a,因此be丄平而pab.乂 be u平® pbe,所以平面pbe丄平面明(ii

22、)延长ad. be相交于点f,连结pf. 过点a作ah丄”于h,由(i )知 平面丄平面b4b,所以丄平面pbe. 在 rtaabf 中，因为zbaf=60° , 所以，af=2ab2=ap.在等腰rta4f»|>,取pf的中点g,连接ag.则ag丄".连结hg,由三垂线定理的逆定理得，"丄hg.所以zagh是平而用d和平面所成二面角的平面角(锐角).在等腰rt用尸屮,ahap 的 _ ap _ 2 _ 2亦pb j ap2 + ab? yf5 52a/5sin zagh =ahvioag2t故平面咙和平面咖所成二面角(锐角)的大小是arcsm乎解

23、法二：如图所示，以4为原点，建立空间直角坐标系贝j相关 各点的坐标分别是a (0, 0, 0), b (1, 0, 0),c弓,0), £)(*,0),p (0, 0, 2) ,e(l,y-,0).(i )因为 be = (o,0),平面pab的一个法向量是石=(0,1,0), 所以匪和石共线.从而be丄平而pab.又因为be u平而pbe,(ii)易知pb = (1,0-2),be = (0,用=(0,0,_2),丽= (*,£,0)设兀i =oi,zj是平面p朋的一个法向最,西 +0x) -2© =0,爲所以x =0,旺=2z故可取n =(2,0,1).0 x

24、 %y2 + 0 x z2 = 0.一n pa = 0设石=(x22，z2)是平而必的一个法向量，则由上 '得ad = 00 x %2 + 0 x y2 -2z2 =0,所以z2 = 0,x2 = ->/3 y2.故可取兀2 =(馆厂1,0).+ 兀 2+£y2+0xz2=0.故平面和平面力、所成二面角(锐角)的大小是arccos5(4)：点面距离6 如图,已知abcd为边长是4的正方形,e,f分别是ab, a d的中点，gc垂直于abcd所在的平面，且gc = 2,求点b到平面ef g的距离。解法一：连结b f , b g ,s aref= *""

25、*22 = 2,乂 e , f分别是a b , ad的中点eb故平面pbe丄平面屁ch 气ac,v22 o:.gh = jgc? +c/2 = 22 +解法二e, f分别是ab, ad的中点，.e f / / b d, b到平jfij'g e f的 距离为b d±任一点到平而gef的距离，bd丄ac于o, e f / / b d,ef丄ac,又gc丄平面a b c d, efu平面a bcd, /. e f丄gc, efu 平面gef, .平面gef丄平面gch,过0点作00'丄hg,则00'丄平面gef, 00'为0到平而g c ii的距离，即b到平

26、面g e f的距离。oh =-ac = 2 由解法一知：gh =辰，由 ahoof - nhcg 得 孔竺,00亠。gh gc11思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利卅平面互相垂直作距离也是一种常川 的方法。（5）线面距离7. 已知正三棱柱abc-a.b,g的底而边长为8,对角的距离。（2）求直线ab】到平面c" 的距离。线b】c = 10, d是ac的中点。（1）求点$到直线acbd丄ac,所以就是§点到直线ac的距解析：（1）连结bd, b、d,由三垂线定理可得:在rfabbd 中 bb =bxc2 -bc2 =7102 -82 = 6, bd = 43 . b

27、d = jbd? +b、b? = 2v2t o（2）因为ac与平面bdc交于ac的中点d,设b、ccbc严e ,贝所以/¥面g bd,所以到平imbdq的距离等于a点到平面bdc,的距离，等于c点到平iflibdc的距离，也就等于三棱锥c-bdc的高。t c-bdcx - vq-bdc » - jhs、bdc = js型dccc ,./2=仝叵所以，肓线到13平血bdc的距离是o思维点拔：求空间距离多用转化的思想。8. 如图7,已知边长为4血的正三角形4bc中，e、f 分别为bc和ac的中点，pa丄面abc , f.pa = 2 f 平面a过pf且少ae平行。求ae与平面a

28、间的距离？分析：设丽、ae.瓦的单位向量分别为e；、&、选取e2 ,勺作为空间向量的一组基底。易知片勺=ei'e3 =e2'e3 = °，ap = 2 弓,ae = 2/6e2, ec = lle3,pf = pa + af = pa + -ac = pa+-(ae + ec) = -2e+y/6e2+>j2e3 ,2 2设 =xet + ye2 +是平面a的一个法向量,则齐丄ae,n丄丽,f仔0,即n pf 02衙)”2-2x + &y”2+ 血 ”3=0 =>2=0y = 0<a/2，x =2疚+l直线与平面。间的距离d网nn2+©)2v3（6）：异面直线间的距离9. 如图，已知正方体aecd ai3c°棱长为a, 求异面直线b d与d c的距离.解法一：连结ac交bd的中点0,収cc的中点m, 连结bm交bc于