高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题四 数列 1.4.1 等差数列、等比数列课件 理 新人教版

1、第一讲等差数列、等比数列【知识回顾】【知识回顾】1.1.等差数列等差数列(1)(1)通项通项公式公式:a:an n=_=a=_=am m+_.+_.(2)(2)等差中项公式等差中项公式:2a:2an n=_(nn=_(nn* *,n2).,n2).(3)(3)前前n n项和公式项和公式:s:sn n=_=_.=_=_.a a1 1+(n-1)d+(n-1)d(n-m)d(n-m)da an-1n-1+a+an+1n+11nn(aa )21n n1nad2(4)(4)性质性质(n,m,(n,m,l,k,p,k,p均为正整数均为正整数):):若若m+n=m+n=l+k,+k,则则a am m+a+

2、an n=_(=_(反之不一定成立反之不一定成立););特别特别地地, ,当当m+n=2pm+n=2p时时, ,有有a am m+a+an n=_;=_;若若aan n 、bbn n 是等差数列是等差数列, ,则则kakan n+tb+tbn n(k(k、t t是非零是非零常数常数) )是等差数列是等差数列; ;a al+a+ak k2a2ap p等差数列的等差数列的“依次每依次每m m项的和项的和”即即s sm m,s,s2m2m-s-sm m,s,s3m3m-s-s2m2m,仍是等差数列仍是等差数列. .2.2.等比数列等比数列(1)(1)等比数列的通项公式等比数列的通项公式:a:an n

3、=_=_.=_=_.(2)(2)等比中项公式等比中项公式:a:an n2 2 =_(nn =_(nn* *,n2).,n2).(3)(3)等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式: :s sn n= =_(q=1)_(q=1)，_=_,(q1)._=_,(q1). a a1 1q qn-1n-1a am mq qn-mn-ma an-1n-1aan+1n+1nana1 11naa q1 qn1a (1 q )1 q(4)(4)性质性质(n,m,(n,m,l,k,p,k,p均为正整数均为正整数):):若若m+n=m+n=l+k,+k,则则a am maan n=_(=_(反之反之不一定成立

4、不一定成立););特别地特别地, ,当当m+n=2pm+n=2p时时, ,有有a am maan n=_;=_;当当n n为偶数时为偶数时, =q(, =q(公比公比););s sm m,s,s2m2m-s-sm m,s,s3m3m-s-s2m2m,(s,(sm m0)0)成等比数列成等比数列. .a alaak kss偶奇a ap p2 2【易错提醒】【易错提醒】1.1.忽略条件致误忽略条件致误: :应用公式应用公式a an n=s=sn n-s-sn-1n-1时忽略其成立的条时忽略其成立的条件件n2,nnn2,nn* *. .2.2.不能准确掌握数列的单调性致误不能准确掌握数列的单调性致误

5、: :等差数列的单调性等差数列的单调性只取决于公差只取决于公差d d的正负的正负, ,等比数列的单调性既要考虑公比等比数列的单调性既要考虑公比q,q,又要考虑首项又要考虑首项. .3.3.忽略对公比的讨论致误忽略对公比的讨论致误: :求等比数列的前求等比数列的前n n项和时项和时, ,一一定要先讨论公比定要先讨论公比q q是否为是否为1,1,然后选用相应的公式求解然后选用相应的公式求解. .4.4.注意隐含条件注意隐含条件: :利用二次函数求利用二次函数求a an n或或s sn n的最值时的最值时, ,易忽易忽略条件略条件nnnn* *. .【考题回访】【考题回访】1.(20161.(201

6、6全国卷全国卷)已知等差数列已知等差数列aan n 前前9 9项的和为项的和为27,a27,a1010=8,=8,则则a a100100= =( () )a.100a.100b.99b.99c.98c.98d.97d.97【解析】【解析】选选c.c.方法一方法一: :由题意可知由题意可知, , 解得解得a a1 1=-1,d=1,=-1,d=1,所以所以a a100100=-1+99=-1+991=98.1=98.方法二方法二: :由等差数列性质可知由等差数列性质可知: :s s9 9= =9a= =9a5 5=27,=27,故故a a5 5=3,=3,而而a a1010=8,=8,因此公差因

7、此公差d= =1,d= =1,所以所以a a100100=a=a1010+90d=98.+90d=98.11a4d3,a9d8,1959 aa9 2a22105aa1052.(20152.(2015全国卷全国卷)设设s sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,若若a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3,=3,则则s s5 5= =( () )a.5a.5b.7b.7c.9c.9d.11d.11【解析】【解析】选选a.aa.a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3a=3a3 3=3=3a a3 3=1,s=1,s5 5= = =5a=5a3 3=5.=5.155

8、 aa23.(20143.(2014全国卷全国卷)等差数列等差数列aan n 的公差为的公差为2,2,若若a a2 2, ,a a4 4,a,a8 8成等比数列成等比数列, ,则则aan n 的前的前n n项和项和s sn n= =( () )a.n(n+1) b.n(n-1)a.n(n+1) b.n(n-1)c.c. d. d.n n12n n12【解析】【解析】选选a.a.因为因为d=2,ad=2,a2 2,a,a4 4,a,a8 8成等比成等比, ,所以所以a a4 42 2=a=a2 2a a8 8, ,即即(a(a2 2+2d)+2d)2 2=a=a2 2(a(a2 2+6d),+6

9、d),解得解得a a2 2=4,a=4,a1 1=2.=2.所以利用等差数所以利用等差数列的求和公式可求得列的求和公式可求得s sn n=n(n+1).=n(n+1).4.(20164.(2016江苏高考江苏高考) )已知已知aan n 是等差数列是等差数列,s,sn n是其前是其前n n项项和和. .若若a a1 1+a+a2 22 2=-3,s=-3,s5 5=10,=10,则则a a9 9的值是的值是_._.【解析】【解析】设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,d,则由则由s s5 5=10=10得得a a3 3=2,=2,因为因为a a1 1+a+a2 22 2=-3,=-3,所以所

10、以(2-2d)+(2-d)(2-2d)+(2-d)2 2=-3,=-3,整理解得整理解得d=3,d=3,所以所以a a9 9=a=a3 3+6d=2+18=20.+6d=2+18=20.答案答案: :20205.(20155.(2015全国卷全国卷)数列数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=2a=2an n,s,sn n为为aan n 的前的前n n项和项和, ,若若s sn n=126,=126,则则n=_.n=_.【解析】【解析】因为因为a an+1n+1=2a=2an n, ,所以数列所以数列aan n 是首项是首项a a1 1=2,=2,公比公比q=2q=2的

11、等比数列的等比数列, ,由由s sn n=126,=126,可得可得n=6.n=6.答案答案: :6 6热点考向一热点考向一等差等差( (比比) )数列的基本运算数列的基本运算命题解读命题解读: :主要考查利用等差、等比数列的通项公式、主要考查利用等差、等比数列的通项公式、前前n n项和公式项和公式, ,在这两种数列中的五个基本量的在这两种数列中的五个基本量的“知三求知三求二二”运算以及求最值运算以及求最值, ,以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主. .【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015全国卷全国卷)已知已知aan n 是公差为是公差为1 1的的等差数列等差数列,s,sn

12、 n为为aan n 的前的前n n项和项和, ,若若s s8 8=4s=4s4 4, ,则则a a1010=(=() )a. b. c.10 d.12a. b. c.10 d.12172192(2)(2016(2)(2016全国卷全国卷)设等比数列设等比数列aan n 满足满足a a1 1+a+a3 3=10, =10, a a2 2+a+a4 4=5,=5,则则a a1 1a a2 2aan n的最大值为的最大值为_._.【解题导引】【解题导引】(1)(1)依据等差数列的通项公式及前依据等差数列的通项公式及前n n项和公项和公式求解式求解. .(2)(2)先利用等比数列的通项公式构建首项先利

13、用等比数列的通项公式构建首项a a1 1与公式与公式q q的方的方程组程组, ,求出求出a a1 1,q,q,得到得到aan n 的通项公式的通项公式, ,再将再将a a1 1a a2 2 a an n表示为表示为n n的函数的函数, ,进而求最大值进而求最大值. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选b.b.设等差数列的首项为设等差数列的首项为a a1 1, ,则则s s8 8=8a=8a1 1+ =8a+ =8a1 1+28,+28,s s4 4=4a=4a1 1+ =4a+ =4a1 1+6,+6,因为因为s s8 8=4s=4s4 4, ,即即8a8a1 1+28=16a+28=1

14、6a1 1+24,+24,所以所以a a1 1= ,= ,则则a a1010=a=a1 1+(10-1)d=+(10-1)d= 88 11244 112121199.22(2)(2)由于由于aan n 是等比数列是等比数列, ,设设a an n=a=a1 1q qn-1n-1, ,其中其中a a1 1是首项是首项,q,q是是公比公比. . 所以所以a a1 1aa2 2aan n= = 21131132411n 4na8,aa10,aa q10,1aa5,q.a qa q5,21a( ),2所以即解得：故 211749n n 7(n)32n 42224111( )( )( ).222 当当n=

15、3n=3或或4 4时时, , 取到最小值取到最小值-6,-6,此时此时 取到最大值取到最大值2 26 6. .所以所以a a1 1aa2 2aan n的最大值为的最大值为64.64.答案答案: :646421749(n)22421749(n)2241( )2【规律方法】【规律方法】等差等差( (比比) )数列基本运算的解题思路数列基本运算的解题思路(1)(1)设基本量设基本量a a1 1和公差和公差d(d(公比公比q).q).(2)(2)列、解方程组列、解方程组: :把条件转化为关于把条件转化为关于a a1 1和和d(q)d(q)的方程的方程( (组组),),然后求解然后求解, ,注意整体计算

16、注意整体计算, ,以减少运算量以减少运算量. .【题组过关】【题组过关】1.(20161.(2016吕梁一模吕梁一模) )已知已知s sn n是公差不为是公差不为0 0的等差数列的等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,且且s s1 1,s,s2 2,s,s4 4成等比数列成等比数列, ,则则 等于等于 ( () )a.4a.4b.6b.6c.8c.8d.10d.10231aaa【解析】【解析】选选c.c.设公差为设公差为d,d,则则s s1 1=a=a1 1,s,s2 2=2a=2a1 1+d,s+d,s4 4=4a=4a1 1+6d,+6d,因为因为s s1 1,s,s2 2,s,

17、s4 4成等比数列成等比数列, ,所以所以s s2 22 2=s=s1 1s s4 4, ,即即(2a(2a1 1+d)+d)2 2= = a a1 1(4a(4a1 1+6d),+6d),解得解得d=0(d=0(舍去舍去) )或或d=2ad=2a1 1, ,所以所以 11111ada2d8a8.aa231aaa2.(20162.(2016邯郸一模邯郸一模) )设设aan n 是首项为是首项为a a1 1, ,公差为公差为-1-1的等的等差数列差数列,s,sn n为其前为其前n n项和项和, ,若若s s1 1,s,s2 2,s,s4 4成等比数列成等比数列, ,则则a a1 1= = ( (

18、) )a.2 b.-2 c. d.-a.2 b.-2 c. d.-1212【解析】【解析】选选d.d.因为因为s s1 1,s,s2 2,s,s4 4成等比数列成等比数列, ,所以所以s s2 22 2=s=s1 1s s4 4, ,即即(a(a1 1+a+a1 1-1)-1)2 2=a=a1 1 , ,解得解得a a1 1=- .=- .11(4a4 3)2 123.3.已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an n=a=an-1n-1+ (n2),+ (n2),则数列则数列aan n 的前的前9 9项和等于项和等于_._.12【解析】【解析】当当n2n2时时,a,an

19、 n=a=an-1n-1+ + 且且a a2 2=a=a1 1+ ,+ ,所以所以aan n 是是首项为首项为1,1,公差是公差是 的等差数列的等差数列, ,所以所以s s9 9=9=91+ 1+ =9+18=27.=9+18=27.答案答案: :27271212129 8212【加固训练】【加固训练】1.1.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和项和s sn n, ,若若a a1 1=2,s=2,s3 3=12,=12,则则a a6 6=(=() )a.8a.8b.10b.10c.12c.12d.14d.14【解析】【解析】选选c.c.由题意得由题意得, , 解得解得 所以所以a a

20、6 6=a=a1 1+5d=12.+5d=12.11a23a3d 12 ，1a2d2 ， ，2.(20162.(2016重庆一模重庆一模) )在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,a3 3+a+a5 5=10,=10,则则a a7 7= =( () )a.5a.5b.8b.8c.10c.10d.14d.14【解析】【解析】选选b.b.设公差为设公差为d,d,因为因为a a1 1=2,=2,所以所以a a3 3+a+a5 5=2+2d+2+4d=4+6d=10,=2+2d+2+4d=4+6d=10,解得解得d=1,d=1,所以所以a a7 7=a=a1 1+6d=2+6

21、=8.+6d=2+6=8.3.(20163.(2016唐山二模唐山二模) )设设x,y,zx,y,z是实数是实数, ,若若9x,12y,15z9x,12y,15z成成等比数列等比数列, ,且且 成等差数列成等差数列, ,则则 =_.=_.1 1 1x y z，xzzx【解析】【解析】由题意知由题意知 解得解得 从而从而答案答案: : 212y9x 15z211yxz，222121632xzyyxzy9 151515，2222xz2xzxzxzxz2zxxzxzxz22232() y15216y15341534.15热点考向二热点考向二等差等差( (比比) )数列的性质数列的性质命题解读命题解读

22、: :主要考查利用性质求解基本量及前主要考查利用性质求解基本量及前n n项和的最项和的最值问题值问题, ,以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主. .【典例【典例2 2】(1)(2016(1)(2016长沙一模长沙一模) )等差数列等差数列aan n 中中, ,若若a a4 4+a+a6 6+a+a8 8+a+a1010+a+a1212=120,=120,则则s s1515的值为的值为( () )a.180a.180b.240b.240c.360c.360d.720d.720(2)(2016(2)(2016开封一模开封一模) )设等比数列设等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为s s

23、n n, ,若若s sm-1m-1=5,s=5,sm m=-11,s=-11,sm+1m+1=21,=21,则则m=m=( () )a.3a.3b.4b.4c.5c.5d.6d.6【解题导引】【解题导引】(1)(1)利用等差数列的性质及前利用等差数列的性质及前n n项和公式求项和公式求解解. .(2)(2)根据等比数列的通项公式和前根据等比数列的通项公式和前n n项和公式项和公式, ,建立方程建立方程组即可解得组即可解得m m的值的值. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选c.c.因为数列因为数列aan n 是等差数列是等差数列, ,所以所以a a4 4+a+a6 6+a+a8 8+a+

24、a1010+a+a1212=5a=5a8 8, ,又因为又因为a a4 4+a+a6 6+a+a8 8+a+a1010+a+a1212=120,=120,所所以以5a5a8 8=120,s=120,s1515= =15a= =15a8 8=3=3120=360.120=360.11515 aa2(2)(2)选选c.c.在等比数列中在等比数列中, ,因为因为s sm-1m-1=5,s=5,sm m=-11,s=-11,sm+1m+1=21,=21,所以所以a am m=s=sm m-s-sm-1m-1=-11-5=-16,a=-11-5=-16,am+1m+1=s=sm+1m+1-s-sm m=

25、21-(-11)=32,=21-(-11)=32,则公比则公比q= =-2,q= =-2,因为因为s sm m=-11,=-11,所以所以 =-11, =-11,又又a am+1m+1=a=a1 1(-2)(-2)m m=32,=32,两式联立解得两式联立解得m=5,am=5,a1 1=-1.=-1.m 1ma32a16m1a 1212 【规律方法】【规律方法】等差、等比数列性质问题的求解策略等差、等比数列性质问题的求解策略(1)(1)解题关键解题关键: :抓住项与项之间的关系及项的序号之间的抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系关系, ,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解从这些特点入手选

26、择恰当的性质进行求解. .(2)(2)运用函数性质运用函数性质: :数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数, ,具有函数的具有函数的一些性质一些性质, ,如单调性、周期性等如单调性、周期性等, ,可利用函数的性质解题可利用函数的性质解题. .【题组过关】【题组过关】1.(20161.(2016太原一模太原一模) )在等差数列在等差数列aan n 中中, ,有有3(a3(a3 3+a+a5 5)+ )+ 2(a2(a7 7+a+a1010+a+a1313)=48,)=48,则此数列的前则此数列的前1313项和为项和为( () )a.24a.24b.39b.39c.52c.52d.104d.10

27、4【解析】【解析】选选c.c.因为因为3(a3(a3 3+a+a5 5)+2(a)+2(a7 7+a+a1010+a+a1313)=48,)=48,利用等差数列的性质可得利用等差数列的性质可得6a6a4 4+6a+6a1010=48,=48,所以所以a a1 1+a+a1313=a=a4 4+a+a1010=8,=8,所以所以s s1313= =52.= =52.11313 aa13 8222.2.设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,d,若数列若数列 为递减数列为递减数列, ,则则( () )a.d0a.d0b.d0b.d0d0d.ad.a1 1d0d01 na a2【解析】【解析】选选d

28、.d.由于数列由于数列 为递减数列为递减数列, ,得得 再由指数函数性质得再由指数函数性质得a a1 1a an naa1 1a an-1n-1, ,由等差数列的公差为由等差数列的公差为d d知知,a,an n-a-an-1n-1=d,=d,所以所以a a1 1a an naa1 1a an-1n-1,a,a1 1a an n-a-a1 1a an-1n-10,0,所以所以a a1 1(a(an n-a-an-1n-1)0,)0,即即a a1 1d0.d0,0,所以所以a a2525= .= .所以所以a a1 1aa2 2aa2525aa4848aa4949=(a=(a2525) )5 5=9 .=9 .334.(20164.(2016衡阳二模衡阳二模) )设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为s sn n, ,若若-a-a2 0152 015aa1 1-a0,0,且且s s2 0172 01700b.sb.s2 0152 0150,00c.ac.a2 0152 0150,0,且且a a2 0172 01700d.ad.a2 0152 0150,00【解析】【解析】选选a.a.因为因为-a-a2 0152 015aa1 1-a0,a0,a1 1+a+a2 0172 0170,0